福建省泉州市第三中學(xué) (362000)楊秋環(huán)福建省泉州市第五中學(xué) (362000)
楊蒼洲
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一道中考題與一道高考模擬題的同源探究
福建省泉州市第三中學(xué) (362000)楊秋環(huán)福建省泉州市第五中學(xué) (362000)
楊蒼洲
圖1
(1)求h的值;
(2)通過操作、觀察,算出△POQ面積的最小值(不必說理);
(3)過點(diǎn)P、C作直線,與x軸交于點(diǎn)B,試問:在直線l的旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形AOBQ是否為梯形?若是,請(qǐng)說明理由;若不是,請(qǐng)指出四邊形的形狀.
題2 (2013年福建省高考模擬)某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線E:y2=2px,在拋物線上任意畫一個(gè)點(diǎn)S,度量點(diǎn)S的坐標(biāo)(xS,yS),如圖2.
(1)拖動(dòng)點(diǎn)S,發(fā)現(xiàn)當(dāng)xS=4時(shí),yS=4,試求拋物線E的方程;
圖2
(2)設(shè)拋物線E的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F,構(gòu)造直線SF交拋物線E于不同兩點(diǎn)S、T,構(gòu)造直線AS、AT分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn),連接直線MT、NS.經(jīng)觀察得:沿著拋物線E,無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)S,恒有MT∥NS.請(qǐng)你證明這一結(jié)論;
(3)為進(jìn)一步研究該拋物線E的性質(zhì),某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試:在(2)中,把“焦點(diǎn)F”改變?yōu)槠渌岸c(diǎn)G(g,0)(g≠0)”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“MT與NS不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(2)中的其它條件,使得仍有“MT∥NS”成立?如果可以,請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.
1.3.1 誘捕器試驗(yàn) 試驗(yàn)設(shè)A、B、C 3個(gè)處理,每個(gè)處理設(shè)5次重復(fù),各小區(qū)隨機(jī)排列。將3種誘捕器同時(shí)安裝到茶園,誘捕器離茶叢表面20 cm,各小區(qū)之間間距10 m,配備北京中捷四方生物科技股份有限公司茶尺蠖誘芯,比較3種誘捕器在試驗(yàn)期間的誘捕量。試驗(yàn)時(shí)間為2017年7月11日至8月2日,每周調(diào)查1次,連續(xù)調(diào)查4周。圖1為3種茶尺蠖誘捕器。
2.題源探究
上述兩道試題,一道面向初中畢業(yè)生,一道面向高中畢業(yè)生.從表象上看,似乎風(fēng)馬牛不相及,而實(shí)際上它們卻有共同的題源,有著相同的數(shù)學(xué)本質(zhì).兩道試題都是源于拋物線的定性性質(zhì),經(jīng)過命題者的巧妙包裝、設(shè)計(jì),編制成分別適用于中考考生和高考考生的試題.為加深對(duì)試題的理解,筆者探究了拋物線的這一性質(zhì).
拋物線的性質(zhì)1 已知拋物線E:y2=2px的頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線為l.直線m過F,與E相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A′,B′在l上.若AA′∥BB′∥x軸,則A,O,B′三點(diǎn)共線,B,O,A′三點(diǎn)共線;反之,若A,O,B′三點(diǎn)共線(或B,O,A′三點(diǎn)共線),則AA′∥BB′∥x軸.
進(jìn)一步推廣拋物線的性質(zhì),把“焦點(diǎn)和準(zhǔn)線”一般化后我們能得到下述命題:
拋物線的性質(zhì)2 已知拋物線E:y2=2px的頂點(diǎn)為O,直線m過G(g,0),與E相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A′,B′在l:x=-g上.若AA′∥BB′∥x軸,則A,O,B′三點(diǎn)共線,B,O,A′三點(diǎn)共線;反之,若A,O,B′三點(diǎn)共線(或B,O,A′三點(diǎn)共線),則AA′∥BB′∥x軸.
(1)若AA′∥BB′∥x軸,則A′(-g,y1),
同理可證,B,O,A′三點(diǎn)共線.
同理可證:AA′∥x軸.
若B,O,A′三點(diǎn)共線,同理可證AA′∥BB′∥x軸.
3.圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)
著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找找,很可能附近就有好幾個(gè).”通過上面的探究,我們知道,拋物線具有性質(zhì)1,2,那么在橢圓、雙曲線中是否也有相似的幾何性質(zhì)呢?回答是肯定的,我們?cè)谙旅娼o出橢圓和雙曲線的性質(zhì),證明從略.
*本文由四川師范大學(xué)2017屆研究生優(yōu)秀學(xué)位論文培育基金項(xiàng)目資助.