福建省南安市教師進(jìn)修學(xué)校 (362300)

陳俊斌

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基于數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的試題評(píng)析

福建省南安市教師進(jìn)修學(xué)校 (362300)

陳俊斌

2014年3月,《全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》提出著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革，研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)科核心素養(yǎng)體系，提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象，數(shù)據(jù)分析；同時(shí)貫徹德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念.本文結(jié)合自身的認(rèn)識(shí)，談?wù)勅绾螐摹皵?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”的角度進(jìn)行試題講評(píng)，以達(dá)拋磚引玉的效果.

一、理解運(yùn)算對(duì)象，邊算邊思

數(shù)學(xué)概念的復(fù)習(xí)要準(zhǔn)確到位，要通過(guò)具體問(wèn)題的分析來(lái)理清概念的內(nèi)涵、外延，明確它們?cè)趯W(xué)科知識(shí)系統(tǒng)中的地位和作用，從而正確地使用它們來(lái)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.如求函數(shù)最值問(wèn)題，教師常常利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)研究，而缺乏運(yùn)算素養(yǎng)的培育，即根據(jù)問(wèn)題的條件探求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，求得運(yùn)算結(jié)果.

例1 (2013年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f(x)的最大值是 .

解法一采用的是求函數(shù)最值的通法：先求導(dǎo)后借助單調(diào)性求最大值.解決本題對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求很高，須先進(jìn)行基本的代數(shù)式運(yùn)算(兩個(gè)二次式相乘)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，又須求解一元三次方程(要根據(jù)圖像的對(duì)稱性判斷出-2為f′(x)的一個(gè)零點(diǎn))，后在判斷兩個(gè)極大值大小關(guān)系時(shí)運(yùn)算量仍不小，最后才得出f(x)的最大值是16.若教師在日常教學(xué)過(guò)程中能注意學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，提醒學(xué)生解題時(shí)要“邊算邊思”則學(xué)生在本題求出a、b值后，便能根據(jù)f(x)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形，從而得出如下的便捷解法.

此外，根據(jù)f(x)特點(diǎn)我們也還可以采用換元的方法轉(zhuǎn)換成求二次函數(shù)最值的方法等等.

二、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，柳暗花明

有關(guān)函數(shù)奇偶性研究問(wèn)題上，我們常常是借助對(duì)稱性由其一側(cè)性質(zhì)研究另一側(cè)性質(zhì)，卻較少關(guān)注對(duì)稱性的本質(zhì)(如奇函數(shù)最大值、最小值互為相反數(shù)等).上題求解函數(shù)最大值的過(guò)程中，利用導(dǎo)數(shù)法求解時(shí)，雖說(shuō)運(yùn)算量大，不好求，但仍然可以求出.下述例子也是有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題，如果仍采用此法，則會(huì)碰到極值點(diǎn)求不出的情況，這時(shí)我們可根據(jù)函數(shù)解析式的特殊情況，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形，便可把最值關(guān)系與對(duì)稱性結(jié)合起來(lái)研究.

例2 (2012年高考全國(guó)Ⅱ卷文科第16題)

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.本題講解有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是對(duì)所給函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行分拆式的運(yùn)算(類似于分離變量法);一是從數(shù)量關(guān)系運(yùn)算中推導(dǎo)出奇函數(shù)對(duì)稱性的本質(zhì)：最大值與最小值互為相反數(shù).因此通過(guò)本題的講解，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，從而在后續(xù)學(xué)習(xí)中更容易抓住函數(shù)概念的本質(zhì).

三、“心求通而未得”，追本溯源

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何，很多師生似乎有同感：解析幾何試題是數(shù)學(xué)考試難中之難.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生常會(huì)碰到一些背景熟悉、解法思路很常規(guī)的解析幾何試題，這種情況下，他們心里有想法，也樂(lè)于進(jìn)行嘗試，但由于種種原因，卻無(wú)法正確解答，這時(shí)可以讓學(xué)生追本溯源，回歸定義，比如下面的例題.

分析：本題要求雙曲線的漸近線方程，關(guān)鍵是求出a、b之間的關(guān)系.

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：本解法先是從雙曲線的定義出發(fā)得到兩個(gè)關(guān)系式，后根據(jù)PQ、QF長(zhǎng)度關(guān)系引入?yún)?shù)m，并在Rt△QPF2中據(jù)勾股定理列式，最后才在焦點(diǎn)△PF1F2求解a、c的關(guān)系.比對(duì)上述常規(guī)解法，不僅解答更為簡(jiǎn)潔明快，更是巧妙地避開(kāi)了復(fù)雜的運(yùn)算量及繁雜的關(guān)系代換.整個(gè)解法過(guò)程中，算得有方向，算得有思路，本試題既有效地關(guān)注了學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，又十分注重圖形性質(zhì)的運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透(直觀想象核心素養(yǎng)).當(dāng)然此法對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的要求不低，要求學(xué)生引進(jìn)參數(shù)，活用平幾知識(shí).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所達(dá)成的綜合性能力，是廣大數(shù)學(xué)教育工作者在數(shù)學(xué)學(xué)科的教與學(xué)過(guò)程應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的基本素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》在課程總目標(biāo)中指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提高作為未來(lái)公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng),以滿足個(gè)人的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)步的需要.”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)如此強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性,因此，本文僅以三道試題評(píng)析談?wù)勎覍?duì)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為，從“三大能力”中的“計(jì)算”到五大能力“運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理”，再到教育部《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》研制組組長(zhǎng)、首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師王尚志教授提出的“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”，數(shù)學(xué)始終離不開(kāi)數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)未來(lái)社會(huì)一個(gè)最基本的素養(yǎng).只要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中多關(guān)注運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)必將有所提升.