江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校(210005)

謝麗麗●

?

全面思考小心漏解

江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校(210005)

謝麗麗●

幾何圖形的說(shuō)理與證明過(guò)程中，往往因?yàn)轭}目中未畫(huà)出圖形，而只是對(duì)題目進(jìn)行文字性描述，做題時(shí)需要一邊讀題一邊畫(huà)出圖形，但是學(xué)生往往容易忽略題中的隱含條件導(dǎo)致漏解.現(xiàn)以七年級(jí)學(xué)生初學(xué)幾何圖形時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)考慮不全為例，列舉如下：

例1 一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的關(guān)系是 ____.

錯(cuò)解 相等.

錯(cuò)解分析 本題主要考察平行線性質(zhì)的應(yīng)用.

角的兩邊是兩條射線，射線是有方向的，因此要考慮到這兩個(gè)角的兩邊的方向是否相同.

當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊的方向都相同時(shí)，這兩個(gè)角相等；

當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊的方向都相反時(shí)，這兩個(gè)角相等；

當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ).

正解 相等或互補(bǔ).

例2 等腰三角形的周長(zhǎng)為60，一腰上的中線把它分成兩個(gè)小三角形，這兩個(gè)小三角形的周長(zhǎng)之差是6，試求這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng).

錯(cuò)解 設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是2x，則底邊長(zhǎng)為(60-4x)一腰上的中線長(zhǎng)是a.則分成的兩個(gè)小三角形的周長(zhǎng)之差是(2x+x+a)-[a+x+(60-4x)]=6.

解得x=11. 所以腰長(zhǎng)是22.

錯(cuò)解分析 兩個(gè)小三角形的周長(zhǎng)之差是6，但是并沒(méi)有指明誰(shuí)大誰(shuí)小，因此有兩種情形.

正解 設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是2x，則底邊長(zhǎng)為(60-4x)一腰上的中線長(zhǎng)是a.由題意可得： (2x+x+a)-[a+x+(60-4x)]=±6.

解得x=11或9. 所以腰長(zhǎng)是22或18.

當(dāng)腰長(zhǎng)是22時(shí)，底邊長(zhǎng)是16；當(dāng)腰長(zhǎng)是18時(shí)，底邊長(zhǎng)是24.經(jīng)檢驗(yàn)，這兩個(gè)解都符合要求，所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是22或18.

例3 已知,線段AB∥CD，E為AB、CD之間的一點(diǎn)，連接EA、EC，∠A=x°，∠C=y°試用x、y表示∠AEC的度數(shù).(其中x、y都不等于90).

錯(cuò)解 如圖2，過(guò)E作EF∥AB,

∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,

∴∠1=∠A=x°,∠2=∠C=y°,

∴∠AEC=∠1+∠2= +x°+y°.

錯(cuò)解分析 沒(méi)有考慮到點(diǎn)E相對(duì)于點(diǎn)A,點(diǎn)C的位置關(guān)系，題目中未畫(huà)出圖形，也沒(méi)有限定x、y是否大于或者小于90，因此，∠A與∠C既可能是銳角，也有可能是鈍角，有多種情形.

正解 過(guò)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，

(1)如圖3：

∵AB∥CD∥EF，

∴∠1=∠A=x°,∠2=∠C=y°.

∴∠AEC=∠1+∠2=x°+y°.

(2)如圖4：

同理可得：∠AEC=∠1+∠2=360°-x°-y°.

(3)如圖5：∵AB∥CD∥EF,∴∠1=180°-∠A=180°-x°， ∠2=∠C=y°.∴∠AEC=∠1+∠2=180°-x°+y°.

(4)如圖6：

同理可得：∠AEC=∠1+∠2=180°+x°-y°.

綜上所述，∠AEC的大小有4種可能,在作圖的過(guò)程中要考慮完整.

本題中，還可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：如果沒(méi)有“點(diǎn)E在AB、CD之間”這個(gè)條件，情形會(huì)不會(huì)更多呢？讓學(xué)生多么思維更開(kāi)闊.

總之，在解答或未給出圖形的幾何題目時(shí)，讀題畫(huà)圖的過(guò)程中要充分細(xì)致地考慮各種情形. 教師要從一開(kāi)始就要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，理解題意，正確畫(huà)出圖形，以防止漏解.滲透分類(lèi)討論的思想，讓學(xué)生初學(xué)平面幾何時(shí)就養(yǎng)成良好的全面思考的思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣.

G

B