江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)吳橋中學(xué)(225200)

朱 莉●

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相似圖形的研究與實(shí)踐

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)吳橋中學(xué)(225200)

朱 莉●

圖形相似與圖形全等有著十分密切的關(guān)系，兩個(gè)全等圖形可看成是相似比為1的兩個(gè)相似圖形，可類比三角形全等條件和性質(zhì)來認(rèn)識相似三角形條件和有關(guān)性質(zhì)及進(jìn)一步認(rèn)識位似變化是特殊的相似變化.本文在解決比例線段問題時(shí)，借助“中間量”牽扯線搭橋，常見的“中間量”有“中間比”、“中間線段”、“中間等積式”.本文中在實(shí)踐應(yīng)用中提出要注意兩圖形相似關(guān)系，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系.

圖形相似；圖形變換；線段成比例

我們能通過生活中的實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比；了解線段的比和成比例的線段；會(huì)根據(jù)相似多邊形的概念識別兩個(gè)多邊形是否相似，并會(huì)運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.

(一)相似圖形的概念確定

(1)兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.

(2)全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形，即不僅形狀相同，大小也相同.

(3)判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與圖形的大小、位置無關(guān)，這也是相似圖形的本質(zhì).綜上定義如下：

定義：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

例如，依據(jù)圖形相似的定義，某人的側(cè)身照片和正面照片是兩個(gè)不同角度的照片，它們的形狀不同，因此不是相似圖形.下面再依據(jù)圖形性質(zhì)確定是否相似進(jìn)行研究.

案例 下列各組圖形：①兩個(gè)平行四邊形；②兩個(gè)圓；③兩個(gè)矩形；④有一個(gè)內(nèi)角是80°的兩個(gè)等腰三角形；⑤兩個(gè)正五邊形；⑥有一個(gè)內(nèi)角是100°的兩個(gè)等腰三角形.其中一定是相似圖形的是____(填序號)

解析 根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都是形狀不唯一確定的圖形，而圓、正五邊形、有一個(gè)內(nèi)角為100°的等腰三角形的形狀唯一確定，它們都相似.

答案：②⑤⑥

(二)四條線段成比例

注意：(1)一般地，四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.

比例的相關(guān)性質(zhì)(拓展)

(1)比例的基本性質(zhì)

(2)比例的有關(guān)性質(zhì)

判斷四條線段是否成比例，統(tǒng)一單位后，需把四條線段由小到大排列(或由大到小排列)，分別計(jì)算前兩條線段和后兩條線段的長度之比是否相等或首尾兩項(xiàng)的積是否等于中間兩項(xiàng)的積.

(三)相似多邊形，判斷與應(yīng)用

定義：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

注意：判斷兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備：

(1)對應(yīng)角相等；

(2)對應(yīng)邊成比例.

案例 如圖1所示，小明有一個(gè)矩形相框，外框ABCD的長、寬分別是20cm，14cm，邊框的寬度為2cm.矩形ABCD與矩形EFGH相似嗎？若不相似，上、下邊框的寬度與左、右邊框的寬度滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)矩形相似？

分析 兩個(gè)矩形的四個(gè)角都相等，關(guān)鍵是判斷矩形ABCD與矩形EFGH的對應(yīng)邊是否成比例.若成比例，則是相似形，否則不是.

我們要注意表面上看，兩個(gè)矩形相似，其實(shí)不足相似，因?yàn)橄嗨票仨氁邆鋵?yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例這兩個(gè)條件，缺一不可.

(四)相似三角形判定與應(yīng)用

①定義：三個(gè)角分別相等，三條邊成比例兩個(gè)三角形叫做相似三角形.②性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊成比例；對應(yīng)邊上的高線與中線的比等于相似比；對應(yīng)角平分線的比等于相似比；對應(yīng)周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方.③判定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似.

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