江蘇省徐州市樹人初級中學(221000)
陳晶晶●
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初中數(shù)學幾何推理與圖形證明對策分析
江蘇省徐州市樹人初級中學(221000)
陳晶晶●
本文結(jié)合筆者實踐工作經(jīng)驗,主要對學習方法進行詳細介紹,并且有針對性地提出一些例題,希望能夠通過例題的解析,可以讓學生能夠在幾何推理與證明的過程中掌握更多的解題技巧.
逆向思維是學生在解圖形題時應該具備的思維,解題的過程中,若正面不好入手,那么考慮從反面入手.
例1 如圖1,AB、CD是⊙O的兩條不過圓心的弦,并相交于點P.求證:AB與CD不能被點P平分.
證明 假設AB與CD被點P平分.連結(jié)OP,由垂徑定理知OP⊥AB,OP⊥CD,因此AB∥CD.這與題目條件AB與CD相交矛盾.所以AB與CD不能被點P平分.
面積法就是通過面積之間的關系,將題型中需要證明的幾何量進行表示,并且把題型在存在的幾何量采用相關的圖形面積體現(xiàn).
例2 如圖2,△ABC中,AD是角平分線,求證:AB∶AC=BD∶DC.
通過割補的方式,把比較陌生的形狀轉(zhuǎn)換成比較熟悉、比較常見的圖形,進而進行解題.
例3 已知在四邊形ABCD中,∠A=60°,∠B、∠D均為90°,∠C=120°,AB=2,CD=1,求BC、AD的長.
分析 延長BC、AD相交于E,可知∠E=30°,可求得AE,BE,CE,DE.
按照原理去推導結(jié)果與按照結(jié)果去推導原因,這兩種模式是學生在進行幾何推理過程中比較常用的思維模式.前者它主要指的是,學生能夠按照題目中給出來的已知條件,在解題的過程中,采用有關的定義或者是有關的公理進行推導,從而能將結(jié)論得出;而后者采用的是一種逆向的推理方式,也就是,在解題的過程中,從結(jié)果出發(fā),將能夠證明結(jié)論的條件找出.
例4 如圖4,在菱形ABCD中,點P是BD上的一點,將AP延長,和CD相交于E,和BS延長線相交于F.求證:PC2=PE·PF.
證明 求證PC2=PE·PF,一般情況下,都會將該式轉(zhuǎn)變成比例式,也就是PC/PE=PF/PC;那么,只需要證明△FPC與△CPE相似.∠CPF為 公共角 . 因此,只需要證明:∠F=∠PAD 即可.根據(jù)已知條件中的菱形的性質(zhì)知道:∠BDA=∠CDB,AD=CD,可得,△PAD全等于△PCD.所以∠PAD=∠PCD.又因為AD∥BF,可知∠PAD=∠F,所以∠PCD=∠F.
因此,PC2=PE·PF成立.
初中階段在學習的過程中,學生面對一些平面幾何問題時,往往是束手無策,因為,這些題型中往往隱含的東西是比較分散的,不能輕易地被發(fā)覺,題型中的已知條件與結(jié)論隱藏得太深.對于這些情況,就需要學生們在解題中,能夠巧妙地對圖形進行相應的變換,把圖形的某一個部位進行移位,或者是使其能夠達成其他條件的要求,從而能夠把幾何的性質(zhì)體現(xiàn)出來,進而實現(xiàn)分散條件的整合.只有掌握這些方法,學生在解題的過程中,才能有效地將題目的難度減少,那么學生的解題思路也會逐漸清晰.
總而言之,在初中階段學習幾何推理與圖形證明,其主要的目的在于培養(yǎng)學生的空間感以及立體感與邏輯思維能力.因此,在進行問題解決的過程中,也需要通過空間感與立體感以及邏輯推理的應用解決問題.因此,教學過程中,老師需要把握好幾何推理與圖形證明的相應特點,從而能讓學生掌握這些內(nèi)容的知識點,從而能輕松地解題,從而能達到教學目標.
[1] 范成. 初中數(shù)學幾何推理與圖形證明策略例談[J]. 數(shù)理化解題研究(初中版),2014(10)
[2] 沈定祥. 淺談“基本圖形”在初中數(shù)學幾何教學證明中的作用[J]. 新課程學習(下),2014(06)
[3] 呂明. 初中數(shù)學“空間與圖形”的入門教學[J]. 課程教材教學研究(中教研究),2013(Z5)
[4] 李琿. 打破題海戰(zhàn)術(shù)的瓶頸,提升學生的解題能力[J]. 數(shù)理化解題研究,2016(11)
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