江蘇省無錫湖濱中學(xué)(214000)

錢 敏●

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波利亞的解題四步驟在數(shù)學(xué)解題中的實際運用

江蘇省無錫湖濱中學(xué)(214000)

錢 敏●

怎樣進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，一直是教師教學(xué)過程中不斷反思的問題.波利亞的《怎樣解題》中提到的解題四步驟，正是我們教學(xué)過程中應(yīng)不斷堅持的理念.那么怎樣具體操作波利亞的解題四步驟，來提升學(xué)生的解題能力呢？這其中要注意一些什么呢？現(xiàn)以2016年江蘇高考卷的一道向量填空題的解說為例來具體說明一下.

根據(jù)解題的四步驟，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行下列思考.

步驟1 理解題目——關(guān)于題意的思考

思考1 看到題目先明確已知是什么，求的是什么.

發(fā)現(xiàn)1：已知和所求都是向量的數(shù)量積.

能得到發(fā)現(xiàn)1的前提是學(xué)生知道向量數(shù)量積的符號形式.

思考2：數(shù)量積有哪些知識點可用？

①

和數(shù)量積的坐標(biāo)運算a·b=x1x2+y1y2

②

能得到發(fā)現(xiàn)2的前提是學(xué)生知道平面向量數(shù)量積的這些公式

步驟2 擬定方案——關(guān)于已知量與未知量之間聯(lián)系的思考

思考3 ①②兩個公式對于所求是否可用？是否有幫助？

發(fā)現(xiàn)3：公式①這里不知道對應(yīng)向量的長度，它們的夾角也不知道，未知的較多，不適用.公式②坐標(biāo)運算，如果要用，就要把三角形放入直角坐標(biāo)系中來進(jìn)行坐標(biāo)運算.

能得到發(fā)現(xiàn)3的前提是學(xué)生知道可用代數(shù)坐標(biāo)運算的方法研究向量.

因此能正確理解該題，找到解題思路的前提是學(xué)生已具備了平面向量對應(yīng)的知識點.

由此我們可以知道數(shù)學(xué)基本知識點和基本數(shù)學(xué)思想方法的積累是正確理解題目擬定解題方案的前提.要理解題目，知道題目中的已知量與未知量之間的聯(lián)系，首先要看懂題目，知道題目中的知識點以及知識點之間的聯(lián)系.如果學(xué)生連題目都看不懂，那一切思考都無從下手.

在解這道題的過程中我們繼續(xù)往下思考.

思考4：怎樣建立直角坐標(biāo)系比較好呢？

發(fā)現(xiàn)4:D是BC中點，如果以BC為x軸，D為坐標(biāo)原點O,建立坐標(biāo)系比較好，這樣B點C點只要設(shè)出一個橫坐標(biāo)即可.又發(fā)現(xiàn)AD是斜的，不在y軸上，如果要設(shè)點坐標(biāo)的話，A點的x,y都要設(shè)出來，未知數(shù)比較多

思考5：能否微調(diào)，使設(shè)點坐標(biāo)中的未知數(shù)盡量少一點？

發(fā)現(xiàn)5：如果AD垂直于BC，這樣A點只要設(shè)一個縱坐標(biāo)了.仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)題目并沒有對△ABC有所限制，那作為填空題，用特殊值法，畫成等腰三角形也未嘗不可.由此重新畫出坐標(biāo)系中的△ABC.

能有以上這些發(fā)現(xiàn)的前提是學(xué)生有過建立直角坐標(biāo)系做題的經(jīng)驗，有希望盡量用比較少的未知數(shù)來設(shè)未知量的理念.

步驟3 執(zhí)行方案——注意運算過程中每一步的正確率

我們來看一下這道題的坐標(biāo)運算中又需要哪些知識點呢？

設(shè)D(0,0),B(-m,0),C(m,0),A(0,3n),E(0,2n),F(0,n).

這幾步運算正確的前提是學(xué)生數(shù)量積的坐標(biāo)運算，二元一次方程組的解的運算的正確.

因此，在執(zhí)行方案的過程中，數(shù)學(xué)基本知識點，數(shù)學(xué)基本運算公式，同樣是學(xué)生正確解題的保障.

步驟4 回顧，反思——對題目的進(jìn)一步深入思考，幫助學(xué)生加深題目的理解和掌握

思考6 除了用坐標(biāo)運算，還有其他方法嗎？

發(fā)現(xiàn)6：向量中常用方法還有一種，利用平面向量基本定理和三角形運算法則，把所求的向量轉(zhuǎn)化為已知向量之后再來運算.

能得到發(fā)現(xiàn)6的前提是學(xué)生知道向量是數(shù)形結(jié)合的有效載體，既可以用從代數(shù)的角度用坐標(biāo)法研究向量，也可以由幾何角度來研究

思考7：已知向量是什么？與所求向量有何關(guān)系？

由⑤⑥可計算出中間向量，由此計算出所求

這些發(fā)現(xiàn)和運算，同樣需要學(xué)生備有平面向量基本定理和三角形法則等對應(yīng)的知識點.

思考8：這兩種方法的優(yōu)劣比較.

這一思考可以幫助學(xué)生從解這一具體題目，轉(zhuǎn)化為解這一題型，更進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為理解出題目的本質(zhì).

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