胡貝貝，李 艷，董鳳嬌

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一類可積系統(tǒng)的對(duì)稱約束及其雙非線性化

胡貝貝，李 艷，董鳳嬌

本文基于李代數(shù)和跡恒等式構(gòu)造出的一個(gè)可積Hamilton系統(tǒng)，給出該系統(tǒng)的一個(gè)Bargmann對(duì)稱約束和關(guān)于其Lax對(duì)的雙非線性化，在此Bargmann對(duì)稱約束下，該系統(tǒng)的時(shí)間部分和空間部分都是有限維的Liouville可積的Hamilton系統(tǒng)。

Lax對(duì)；Bargmann對(duì)稱約束；雙非線性化；有限維可積Hamilton系統(tǒng)

隨著孤立子理論的蓬勃發(fā)展，近二十年來(lái)，與李代數(shù)相關(guān)的可積系統(tǒng)的研究引起大家很大的興趣。在1988年，曹策問(wèn)教授提出了Lax對(duì)線性化方法，使得許多經(jīng)典的可積方程族相關(guān)的譜問(wèn)題在約束下被線性化為完全可積系統(tǒng)。在1992年，周汝光教授研究了Li譜問(wèn)題的非線性化。隨后，在1994年，馬文秀教授在此基礎(chǔ)上加以推廣，提出了Lax對(duì)及其共對(duì)軛Lax對(duì)的非線性方法，其主要思想是引入原有Lax對(duì)的共對(duì)軛Lax對(duì)，將Lax對(duì)和共對(duì)軛Lax對(duì)結(jié)合起來(lái)考慮，構(gòu)成偶數(shù)譜問(wèn)題，以找到位勢(shì)與特征函數(shù)和共軛函數(shù)之間的對(duì)稱約束。然后，將對(duì)稱約束代入Lax對(duì)的共對(duì)軛Lax對(duì)，得到有限維系統(tǒng)，進(jìn)而可以進(jìn)一步證明該有限維系統(tǒng)是滿足Liouville可積的Hamilton系統(tǒng)。李教授與馬文秀教授等人對(duì)此方面也做出很大貢獻(xiàn)。近年來(lái)，You研究了mKdV系統(tǒng)的雙非線性化，虞靜[1,2]博士分別對(duì)cKdV系統(tǒng)和Schro dinger系統(tǒng)給出了其雙非線性化，徐西祥[3]教授給出了Liouville可積方程族的Bargmann對(duì)稱約束構(gòu)造方法。在文獻(xiàn)[4]中，Tam等構(gòu)造了一個(gè)等譜問(wèn)題:

(1.1)

隨后，郭秀榮[5]等在此基礎(chǔ)上由其相容性條件導(dǎo)出了可積動(dòng)力系統(tǒng)，通過(guò)約化該系統(tǒng)，得到某些有趣的非線性方程。例如，KdV方程，mKdV方程?；谇叭说墓ぷ?，本文旨在文獻(xiàn)[4,5]的基礎(chǔ)上，給出該等譜問(wèn)題的哈密頓結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出Bargmann對(duì)稱約束，并對(duì)該譜問(wèn)題進(jìn)行雙非線性化，可以證明在對(duì)稱約束下，該譜問(wèn)題的空間系統(tǒng)和時(shí)間系統(tǒng)是有限維的Liouville可積的Hamilton系統(tǒng)。

1 哈密頓結(jié)構(gòu)

考慮下列譜問(wèn)題

(2.1)

其中λ為譜參數(shù)，u=(w,v)T為位勢(shì)，稱φ為特征函數(shù)，在文獻(xiàn)[5]中已經(jīng)給出了該方程族的構(gòu)造，一般步驟為：令

(2.2)

解零曲率方程

(2.3)

就得到下面的遞推式

(2.4)

其中遞推算子

(2.5)

如果給定初始值a0=-1,b0=c0=0,ambm,cm(m≥1)，由遞推關(guān)系式(2.4)計(jì)算得前幾項(xiàng)為

接下來(lái)考慮譜問(wèn)題(2.1)的伴隨譜問(wèn)題

其中，

(2.6)

將M,N(n)帶入零曲率方程

(2.7)

就得到下列方程族

(2.8)

令n=2,則方程(2.8)約化為

(2.9)

它的Lax對(duì)為M和

(2.10)

特別地，如果設(shè)n=3,a0=2則方程(2.8)約化為

(2.11)

如果設(shè)t3=t,v=w=u，那么方程(2.11)正是著名的mKdV方程

(2.12)

如果設(shè)t2=t,v=1那么方程(2.11)約化為下面的方程

(2.13)

(2.14)

應(yīng)用跡恒等式[6]

(2.15)

并比較λ-n-2的系數(shù)得

(2.16)

令n=0,得到γ=0，故系統(tǒng)(2.8)有Hamilton結(jié)構(gòu)

(2.17)

2 Bargmann對(duì)稱約束

考慮譜問(wèn)題(2.1)和它的伴隨譜問(wèn)題

(3.1)

記號(hào)“T”表示矩陣的轉(zhuǎn)置，稱ψ為共軛特征函數(shù)，易得譜參數(shù)λ關(guān)于位勢(shì)u的變分導(dǎo)數(shù)

(3.2)

(3.3)

其中L為(2.4)給出的遞推算子，這個(gè)性質(zhì)在后面非線性化過(guò)程中至關(guān)重要，由于文章篇幅，在這里這一性質(zhì)證明從略。對(duì)于一般的譜問(wèn)題，這個(gè)性質(zhì)在文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)討論過(guò)。

接下來(lái)考慮空間系統(tǒng)

(3.4)

和時(shí)間系統(tǒng)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

應(yīng)用(3.3)式和遞推關(guān)系式(2.4)得

(3.8)

3 雙非線性化

本節(jié)中，我們將考慮該系統(tǒng)的雙非線性化，將對(duì)稱約束(3.7)代入空間系統(tǒng)(3.4)，可得到下面有限維系統(tǒng)

(4.1)

或表示成向量形式，有

(4.2)

(4.3)

其中Hamilton函數(shù)

對(duì)于t2部分，將對(duì)稱約束(3.7)代入系統(tǒng)(3.5)并令n=2得到下面有限維系統(tǒng)：

(4.4)

t2部分也可以寫成向量形式

(4.5)

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算可將系統(tǒng)(4.5)表示成下列Hamilton形式：

(4.6)

其中Hamilton函數(shù)：

(4.7)

(4.8)

顯然，系統(tǒng)(3.5)約束的時(shí)間部分可改寫成向量形式

(4.9)

也可以寫成下面的Hamilton形式

(4.10)

即對(duì)任意的n系統(tǒng)(3.5)的約束時(shí)間部分都是有限維的Hamilton系統(tǒng)。例如，由(4.9)得

(4.11)

其中Poisson的括號(hào)定義為：

(4.12)

令

定理：空間系統(tǒng)(3.4)和時(shí)間系統(tǒng)(3.5)在約束系統(tǒng)(3.7)下是有限維Liouville可積的哈密頓系統(tǒng)。

[1] J. Yu, J. S. He, Y. Cheng, J. W. Han. A Novel Symmetry Constraint Of The Super cKdV System[J]. J. Phys. A: Math. Theor, 2010,43: 445201.

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責(zé)任編輯：王 與

Symmetry Constraint and Binary Nonlinearization of the Integrable System

Hu Beibei, Li Yan, Dong Fengjiao

In this paper, an integrable Hamilton system is constructed on the basis of Lie algebra and the trace identity, and an explicit Bargmann symmetry constraint and the binary nonlinearization of Lax pairs for the hierarchy are established. Under the explicit Bargmann symmetry constraint, the part of time and space of the system is Hamilton systems of finite dimensional Liouville integrable.

Lax pairs; Bargmann symmetry constraint; binary nonlinearization; finite dimensional integrable Hamilton systems

O175.29

A

1673-1794(2016)05-0031-05

胡貝貝,李艷，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院教師；董鳳嬌,滁州學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院教師(安徽 滁州 239000)。

安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2015B02、KJ2015B12)；滁州學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目(2014PY05、2015GH27、2015GH29)

2016-05-04