王咪咪；丁 輝

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函數(shù)型非參數(shù)回歸模型及其在金融中的應(yīng)用

王咪咪；丁 輝

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析是分析高頻數(shù)據(jù)的重要工具。在實(shí)際中函數(shù)型協(xié)變量和響應(yīng)變量之間的線性假設(shè)通常不成立。本文提出了函數(shù)型非參數(shù)部分自回歸模型來刻畫函數(shù)型協(xié)變量和響應(yīng)變量之間的非線性關(guān)系，本文接著使用非參數(shù)核估計(jì)方法給出了該模型的估計(jì)，并通過統(tǒng)計(jì)模擬驗(yàn)證了該估計(jì)方法的優(yōu)良性，最后我們給出了上證指數(shù)的一個(gè)實(shí)例來說明我們模型的良好預(yù)測能力。

函數(shù)型數(shù)據(jù)；高頻數(shù)據(jù)；非參數(shù)回歸模型；核估計(jì)

隨著科技的發(fā)展，人們收集數(shù)據(jù)的技術(shù)和手段越來越先進(jìn)，這就使得我們?cè)诮?jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域中往往能收集到一些段時(shí)間內(nèi)連續(xù)的觀測數(shù)據(jù)。例如，在金融交易市場上，在交易日的交易時(shí)段內(nèi)隨時(shí)都有交易，都會(huì)產(chǎn)生交易數(shù)據(jù)，即連續(xù)時(shí)間段內(nèi)的高頻數(shù)據(jù)。這些高頻數(shù)據(jù)明顯具有函數(shù)型數(shù)據(jù)的特征，因此把他們看成函數(shù)型數(shù)據(jù)，利用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析是高效地處理和利用這些高頻交易數(shù)據(jù)的一個(gè)有效的手段和方法。

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在生物學(xué)、計(jì)量化學(xué)、心理學(xué)、地理學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)等等領(lǐng)域。到目前為止，國內(nèi)外已經(jīng)有不少利用函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法研究金融市場中的內(nèi)在規(guī)律的研究成果。例如：程麗娟[4]通過函數(shù)型部分線性回歸模型研究了上證指數(shù)的預(yù)測問題；姜高霞和王文劍[5]通過建立函數(shù)型時(shí)序分解模型研究了CPI的經(jīng)濟(jì)周期問題；藺順峰[6]通過使用函數(shù)型聚類分析方法研究了我國副省級(jí)城市年平均工資差異問題；龍文等[7]通過使用函數(shù)型主成分分析方法研究了不同國家金融危機(jī)中經(jīng)濟(jì)發(fā)展的差異性問題；田華平[9]通過使用函數(shù)型聚類方法研究了中國股市量價(jià)關(guān)系問題。但是上述研究成果凡是借助于函數(shù)型數(shù)據(jù)回歸模型討論的都有一個(gè)基本假設(shè)：函數(shù)型協(xié)變量與響應(yīng)變量之間滿足線性關(guān)系。但是，在實(shí)際中，這種假設(shè)不一定成立。因此，本文利用函數(shù)型非參數(shù)回歸模型來刻畫函數(shù)型協(xié)變量和響應(yīng)變量之間的關(guān)系，該模型比上述模型更靈活，更具有廣泛的適用性。

文章的大致結(jié)構(gòu)如下：第一部分介紹函數(shù)型數(shù)據(jù)分析在金融領(lǐng)域內(nèi)的研究現(xiàn)狀；第二部分引入函數(shù)型非參數(shù)回歸模型，并闡述該模型的估計(jì)與優(yōu)點(diǎn)；第三部分介紹該模型的統(tǒng)計(jì)模擬，說明該估計(jì)方法的有效性；第四部分介紹該模型在金融上證指數(shù)上的應(yīng)用。第五部分是總結(jié)和展望。

1 函數(shù)型非參數(shù)回歸模型

函數(shù)型非參數(shù)回歸模型的形式如下：

(1)

其中X(t)是定義在區(qū)間I上平方可積的函數(shù)型協(xié)變量且可完全觀測，g(·)是從平方可積空間到實(shí)數(shù)域上的實(shí)值函數(shù)，即g:L2→R，Y是標(biāo)量型響應(yīng)變量，ε是誤差項(xiàng)且滿足Eε=0,Varε=σ2。該模型具有很廣泛的適用性和靈活性，且該模型脫離了函數(shù)型協(xié)變量和標(biāo)量型響應(yīng)變量的線性束縛，且函數(shù)型線性模型是該模型的一個(gè)特例(即：g(X(t))=∫IX(t)β(t)dt)。

關(guān)于該模型的估計(jì)，我們采用非參數(shù)Nadaraya-Watson核估計(jì)[1]，可得

(2)

其中

到此為止，我們已經(jīng)得到了該模型的估計(jì)。當(dāng)然，在模型的估計(jì)過程中涉及到窗寬參數(shù)h的選取，關(guān)于窗寬參數(shù)h的選擇有很多準(zhǔn)則，例如交叉核實(shí)，GCV準(zhǔn)則，AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則等等，我們?cè)谶M(jìn)行估計(jì)的時(shí)候采取交叉核實(shí)準(zhǔn)則，即最小化下面式子：

函數(shù)型非參數(shù)回歸模型由于脫離了函數(shù)型協(xié)變量和標(biāo)量型響應(yīng)變量的線性束縛，因此模型本身具有更大的靈活性和適用性。

2 統(tǒng)計(jì)模擬

為了說明模型估計(jì)的有效性，我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬。我們按照下面的模型來生成數(shù)據(jù)：

表1 在第一種情形下RASEs和標(biāo)準(zhǔn)差(括號(hào)里)結(jié)果表

表2 在第二種情形下RASEs和標(biāo)準(zhǔn)差(括號(hào)里)結(jié)果表

由表1和表2可以看出，非參數(shù)g(X(t))估計(jì)均方誤RASE隨著樣本量的增加而減少。在模型為函數(shù)型線性模型的情況下，采用線性模型的估計(jì)效果較好，但是用函數(shù)型非參數(shù)回歸模型估計(jì)，估計(jì)的均方誤結(jié)果在0.3左右，是可以接受的。但是在第二種情況下，本身模型不是線性模型，如果采用采用線性模型的方法估計(jì)，則均方誤就會(huì)變大很多，基本上在0.9左右，而用非參數(shù)方法估計(jì)均方誤相對(duì)小的多，大概在0.6左右，約少了33%。因此通過統(tǒng)計(jì)模擬可以說明我們的函數(shù)型非參數(shù)回歸的估計(jì)方法是有效的。

3 實(shí)證分析

在這部分，我們將把函數(shù)型非參數(shù)回歸模型用到上證指數(shù)數(shù)據(jù)中來說明我們模型的優(yōu)點(diǎn)。我們選取2015年6月1日到2016年3月1日共183個(gè)交易日的上證指數(shù)數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)包含上證指數(shù)開盤價(jià)Y，及其每個(gè)交易日每5分鐘的上證指數(shù)價(jià)格X(t)，其中由于每個(gè)交易日的交易時(shí)間為9:30-11:30及13:00-15:00，因此每個(gè)交易日每五分鐘的上證指數(shù)數(shù)據(jù)共48個(gè)。我們首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，對(duì)上證指數(shù)當(dāng)天開盤價(jià)除以上一天的開盤價(jià)，即開盤比率作為Yi，我們的目標(biāo)是找出合適的模型對(duì)上證指數(shù)開盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測。因此我們需要找出開盤價(jià)格Yi與每5分鐘的上證指數(shù)價(jià)格Xi(t)之間的關(guān)系，由于上證指數(shù)開盤比率Yi與每5分鐘的上證指數(shù)價(jià)格Xi(t)之間不一定滿足線性關(guān)系，因此我們考慮利用函數(shù)型非參數(shù)回歸模型來刻畫找出開盤比率Yi與每5分鐘的上證指數(shù)價(jià)格Xi(t)的關(guān)系，即

(3)

為了比較不同模型對(duì)上證指數(shù)開盤價(jià)格的預(yù)測能力，我們考慮兩種不同的模型：函數(shù)型線性模型和函數(shù)型非參數(shù)回歸模型。為了考察模型的預(yù)測效果，我們采用滾動(dòng)預(yù)測法：從前163個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集開始，預(yù)測第164個(gè)數(shù)據(jù)，然后再把前164 個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，預(yù)測第165個(gè)數(shù)據(jù)，……，直到我們將前182個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，預(yù)測第183個(gè)數(shù)據(jù)為止。我們采用的對(duì)不同模型的預(yù)測好壞的比較準(zhǔn)則是：平均預(yù)測誤差

不同模型及其相對(duì)應(yīng)的平均預(yù)測誤差結(jié)果如下表4-1：

表4 不同模型及其相對(duì)應(yīng)的平均預(yù)測誤差(單位×10-4)

從表4可以看出我們的函數(shù)型非參數(shù)回歸模型的平均預(yù)測誤差較小，比線性模型預(yù)測效果提高了15%。因此在這兩個(gè)模型中函數(shù)型非參數(shù)回歸模型的預(yù)測效果較好，該模型可以為我們今后處理金融中高頻數(shù)據(jù)提供一個(gè)新的思路。

4 總結(jié)

函數(shù)型非參數(shù)回歸模型克服了函數(shù)型協(xié)變量與響應(yīng)變量之間滿足線性關(guān)系的約束，并且該模型是函數(shù)型線性模型的推廣，因此該模型具有很大的靈活性和適用性。該模型可以為我們研究金融市場中的高頻數(shù)據(jù)和函數(shù)型數(shù)據(jù)提供一種新的模式。

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責(zé)任編輯：王 與

Functional Nonparametric Regression Model and its Applications in Finance

Wang Mimi，Ding Hui

Functional data analysis is the important tool of analysis high frequency data. The linear assumption between functional covariate and response variable are usually false in practice. This paper propose functional nonparametric partial auto-regression model to model the nonlinear relation of functional covariate and response variable. Nonparametric kernel estimation is used to obtain the estimators of model. We conduct simulation to show that our method have excellent performance. A real data example about shanghai stock index data is used to illustrate our model have good prediction ability.

Functional data；high frequency data；Partial nonparametric regression model；kernel estimation

O212.7

A

1673-1794(2016)05-0018-03

王咪咪，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院講師，碩士；丁輝，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院講師，碩士(安徽 滁州 239000)。

全國統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目( 2012LY153) ; 滁州學(xué)院科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目( 2014qd012) ;安徽省自然科學(xué)基金研究項(xiàng)目( KJ2014A180);安徽省金融工程教學(xué)團(tuán)隊(duì)(2013jxtd035)

2016-07-21