江蘇省泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) (223700)
王 慧 ●
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聚焦《勾股定理》中的數(shù)學(xué)思想
江蘇省泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) (223700)
王 慧 ●
勾股定理具有豐富的數(shù)學(xué)思想,在學(xué)習(xí)中應(yīng)該把握方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等.
勾股定理;數(shù)學(xué)思想
所謂方程思想,就是通過(guò)觀察,分析,判斷,從已知量和未知量之間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系入手,找出等量關(guān)系,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程,再通過(guò)解方程把問(wèn)題解決.
例1 如圖,將矩形紙片ABCD的一邊AD向下折疊,點(diǎn)D落在邊BC上的F處,已知AB=8,AD=10.求CE的長(zhǎng).
析解 由折疊可知△AED≌AEF,AF=AD=10,DE=DF.
在△ABF中,因?yàn)锳B2+BF2=AF2,即82+BF2=102
所以BF=6,所以CF=10-6=4.
設(shè)CE=x,則EF=DE=8-x.
在△CEF中,因?yàn)镃E2+CF2=EF2,
即x2+42=(8-x)2,解之得x=3,所以CE=3.
點(diǎn)評(píng) 通過(guò)勾股定理來(lái)建立方程是數(shù)學(xué)中常用的思想方法,設(shè)未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到一個(gè)直角三角形中,再通過(guò)勾股定理建立方程,然后再解方程求出CE的長(zhǎng).
所謂數(shù)形結(jié)合思想:就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái),使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái),通過(guò)“以形助數(shù)”,和“以數(shù)輔形”,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化.
例2 如圖:正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的△ABC中,邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的邊數(shù)有( )條
A.0B. 1C.2D. 3
析解 把三條線段AC,AB,BC分別看作某個(gè)直角三角形的斜邊,根據(jù)勾股定理得:
因?yàn)锳B,BC的長(zhǎng)為無(wú)理數(shù),故選C.
點(diǎn)評(píng) 勾股定理由已知的“直角三角形”得出“a2+b2=c2”的結(jié)論,這是由“形”的條件而得出“數(shù)”的結(jié)果,蘊(yùn)含著從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化.
所謂分類討論思想,就是將問(wèn)題劃分為若干個(gè)既不重復(fù)也不遺漏的小問(wèn)題,再一一加以解決的方法.當(dāng)問(wèn)題的條件不具體時(shí),通過(guò)分類討論可以確定準(zhǔn)確的答案.
例3 在△ABC中,AB=15,AC=13,邊BC上的高AD=12.求△ABC的面積.
析解 因?yàn)椤鰽BC的形狀不確定,需要分類討論.
(1)當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)在△ABD中,BD2+AD2=AB2,即BD2+122=152,所以BD=9.
在直角△ACD中,AD2+CD2=AC2,即122+CD2=132,所以CD=5.
所以BC=BD+CD=9+5=14.
綜上所述,△ABC的面積為84或24.
點(diǎn)評(píng) 本題△ABC的形狀不確定,可以通過(guò)分類討論來(lái)解決問(wèn)題.
所謂轉(zhuǎn)化思想,就是將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為容易解決的問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題,具體的做法是將未知的“轉(zhuǎn)化”為“已知”,將“陌生”的轉(zhuǎn)化為“熟悉”,將“復(fù)雜”的轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”.
例4 如圖:要在直線l上修一水利站,分別向張莊A和李莊B送水,已知張莊A到河邊l的距離AC=2km,李莊B到河邊l的距離BD=7km,CD=12km.如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米1500元,求鋪設(shè)水管的最小費(fèi)用.
析解 求鋪設(shè)水管的費(fèi)用最小,就是轉(zhuǎn)化為求鋪設(shè)水管長(zhǎng)度最短.延長(zhǎng)AC到E,使CE=AC=2,連接BE交CD于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB最小.過(guò)點(diǎn)E 作EF∥l交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,根據(jù)題意得:EF=CD=12,DF=CE=AC=2,所以BF=BD+DF=7+2=9,在直角△BEF中,BE2=EF2+BF2=122+92=225,所以BE=15.因?yàn)镻A+PB=PE+PB=BE,即PA+PB的最小值為15,所以鋪設(shè)水管的最少費(fèi)用為15×1500=22500元.
點(diǎn)評(píng) 遇到實(shí)際問(wèn)題或非直角三角形時(shí),通常把實(shí)際問(wèn)題或非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,然后利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.
G
B