江蘇省江陰市華士高級中學(214421)

費振東●

?

簡議數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的再發(fā)現(xiàn)

江蘇省江陰市華士高級中學(214421)

費振東●

科學中的每個新發(fā)現(xiàn).即使它的實際應用暫時還無法實現(xiàn).但都會給發(fā)現(xiàn)者本人和他人帶來衷心的喜悅.數(shù)學中的眾多發(fā)現(xiàn)正是因此而作為一門重要學科其千姿百態(tài)的各種發(fā)現(xiàn)激勵和鼓舞著無數(shù)的人們.“在偉大的發(fā)現(xiàn)或偉大的理論中，那種穩(wěn)定的聯(lián)系或更高的統(tǒng)一是通過相似模式的階段而達成的.”同時也證實了：“許多科學發(fā)現(xiàn)就是從以前認為不相同或沒有聯(lián)系的事件之間找到一個共同的特征或聯(lián)系.”這也使我們懂得了數(shù)學中的許多發(fā)現(xiàn)實際上都是一種再發(fā)現(xiàn).

共同特征；統(tǒng)一；再發(fā)現(xiàn)

盡管數(shù)學里的發(fā)現(xiàn)方法多種多樣，但我認為眾多發(fā)現(xiàn)實際是一種再發(fā)現(xiàn).也可以說，許多發(fā)現(xiàn)就是從以前認為不相同或沒有聯(lián)系的事情之間找到的共同特征或聯(lián)系.我們看下面的實例：

勾股定理，托勒密定理，歐拉定理，這三大定理在幾何學中都是我們熟知的：

①勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.②托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形兩對角線的積等于兩組對邊乘積之和.③歐拉定理：在線段AB上任取兩點C，D，則AC·BD=AD·BC+CD·BA.

這三個定理的發(fā)現(xiàn)似乎是一個謎，關于①的發(fā)現(xiàn)我們可能見到過一個古老的傳說故事.勾股定理又叫畢氏定理，據(jù)考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000年其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的.據(jù)說當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀.故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”.遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法.又據(jù)記載，現(xiàn)時世上一共有超過300個對這定理的證明.可是，對于②和③是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？幾乎無法得知.我們看這三個定理分別發(fā)現(xiàn)的時間表：

定理名稱勾股定理托勒密定理歐拉定理發(fā)現(xiàn)時間公元前700-600年公元前330年-275年公元前1707-1783年

如果關于勾股定理發(fā)現(xiàn)的傳說故事是真實的話，那么定理②，定理③是如何發(fā)現(xiàn)的呢？由于過去人們注重的是發(fā)現(xiàn)的結論，因此各種資料書刊很少記載發(fā)現(xiàn)的過程.加之一般的發(fā)現(xiàn)者不愿透露自己的發(fā)現(xiàn)的秘密，所以對此無法考證.但我在研究考查“托勒密定理”的發(fā)現(xiàn)時，偶然發(fā)現(xiàn)了后兩個定理②和③發(fā)現(xiàn)的秘密：①特殊; ②一般;③極端.

粗看三大定理毫無聯(lián)系，但從統(tǒng)一的角度把三者聯(lián)系起來，就發(fā)現(xiàn)三者之間有深刻的聯(lián)系.還可以看出后者的發(fā)現(xiàn)實質(zhì)上前者發(fā)現(xiàn)中的再發(fā)現(xiàn).由此也可猜想出②和③的發(fā)現(xiàn)過程.

我們用數(shù)學語言表達就是：在直角三角形△ABC中，a2+b2=c2.

如果將a2+b2=c2寫成aa+bb=cc，就可以看成是矩形的兩組對邊之積.由于矩形的四個頂點是共圓的，我們把矩形放入圓中考慮，就成為圓內(nèi)接矩形的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的積(圖1)

如果我們把矩形改變?yōu)樘菪?，邊與對角線還是否有上面的關系呢？等于即AB·DC+AD·BC是否等于AC·BD.因為圓內(nèi)接梯形定為等腰梯形，所以AD=BC,AC=BD，上面式子就成為 AB·DC+AD2是否等于AC2(圖2)

如圖3，平移CA到DE，過D作DG⊥AB于G，則可證得AB·DC+AD2=AC2.

利用勾股定理，四邊形ABCD為等腰梯形，DE∥AC，

∴AE+2AG=AB,∴AG2=AB·DC+AD2AE2+2AG·AE=AB·AE,DG2+(AG+AE)2=AD2+AB·DC,DE2=AB·DC+AD2.∴AC2=AB·DC+AD2.

因此，四邊形為梯形時，“兩組對邊乘積之和等于兩對角線的積”是正確的.

若把梯形改成其他四邊形進行探索，最后變?yōu)橐话愕膱A內(nèi)接四邊形，看上面類似的結論還是否成立，即AB·DC+AD·BC是否等于AC·BD.

證明：作∠PBA=∠DBC(圖4).

∵∠PBA=∠DBC,∴△PBA∽△DBC,

∴AB·CD=AP·BD(1).

∴△CPB∽△DAB,∴BC·AD=CP·BD(2).

(1)+(2)得AB·DC+AD·BC=AC·BD.

這一等式的成立就正是托勒密定理.

從文中所經(jīng)歷的時間表中，可以看出：僅就這樣一點認識上的飛躍——新發(fā)現(xiàn)②.經(jīng)歷了大約四百年，這就說明了人們要打破常規(guī)來認識一個已經(jīng)熟悉的問題并非易事.雖然托勒密在當時打破了畢達哥拉斯(或商高)的認識①，但他沒能進一步深思下去.兩千年后，歐拉又把托勒密的認識推向了極端.他假設圓的半徑無限增大，而圓周上的四點 就落在同一直線上，從而發(fā)現(xiàn)了③.(證明略)

從上述過程看出，三大定理的統(tǒng)一恰好說明了：“在偉大的發(fā)現(xiàn)或偉大的理論中，那種穩(wěn)定的聯(lián)系或更高的統(tǒng)一是通過相似模式的階段而達成的.”同時也證實了：“許多科學發(fā)現(xiàn)就是從以前認為不相同或沒有聯(lián)系的事件之間找到一個共同的特征或聯(lián)系.”這也使我們懂得了數(shù)學中的許多發(fā)現(xiàn)實際上都是一種再發(fā)現(xiàn).

[1]數(shù)學發(fā)現(xiàn)的藝術[M].青島海洋大學出版社

[2]初等數(shù)學研究課程[M].湖南教育出版社

[3]初等代數(shù)研究[M].高等教育出版社

G

B