胡建星,徐 樂,楊會偉,張 恩,路國運

(太原理工大學(xué) a.應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所,b.材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點實驗室,c.建筑與土木工程學(xué)院,太原 030024)

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邊界條件對半球殼準靜態(tài)屈曲行為的影響

胡建星a,徐 樂a,楊會偉a,張 恩a,路國運b,c

(太原理工大學(xué) a.應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所,b.材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點實驗室,c.建筑與土木工程學(xué)院,太原 030024)

對304不銹鋼半球殼進行了2種邊界條件下的準靜態(tài)壓縮實驗,實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)了2種不同的變形模態(tài):環(huán)扣邊界下的變形模態(tài)為六邊形,自由邊界下為五邊形。為了探究邊界條件對半球殼準靜態(tài)壓縮響應(yīng)影響的內(nèi)在規(guī)律,利用有限元技術(shù),通過設(shè)置殼底部和底板接觸摩擦系數(shù)的不同,研究了半球殼在3種邊界條件下的準靜態(tài)響應(yīng)；并對載荷-位移曲線、半球殼變形輪廓圖的變化以及頂點位移與加載位移之間的關(guān)系進行了比較分析。結(jié)果表明,摩擦系數(shù)為0.1和0.2時的半球殼壓縮過程可以分為頂點壓平、軸對稱凹陷、非軸對稱凹陷和頂點觸底后再次壓4個階段；摩擦系數(shù)為0.5時,半球殼壓縮過程可以分為頂點壓平、軸對稱凹陷、半球殼底部屈曲3個階段。

半球殼;邊界條件;準靜態(tài)響應(yīng);塑性鉸;變形模態(tài)

由于薄殼結(jié)構(gòu)被廣泛的使用,它的力學(xué)行為引起了國內(nèi)外學(xué)者們的關(guān)注,其研究主要集中在沿球殼旋轉(zhuǎn)軸方向的準靜態(tài)加載或是動態(tài)加載條件下的塌陷行為,其中不乏大量的實驗研究及理論研究。JOHNSON et al[1]對準靜態(tài)加載下球殼的塌陷模態(tài)和相關(guān)的載荷-位移曲線進行了評述,并對其耗能機制進行了研究。UPDIKE et al[2-3], KITCHING et al[4], DE OLIVEIRA et al[5], KINKEAD et al[6]and GUPTA et al[7]分別于不同時期對半球殼在兩塊平行剛性板之間的軸向壓縮進行了實驗及理論研究,根據(jù)實驗結(jié)果提出了不同的理論模型來預(yù)測球殼變形過程中載荷-位移的關(guān)系及吸能特性:UPDIKE et al[2-3]利用兩個剛性板擠壓半球殼的加載方式,研究了半球殼大變形的行為,即典型的后屈曲問題[8],分別討論了半球殼材料為完全彈性和理想塑性時壓縮載荷-位移的關(guān)系;KITCHING et al[4]根據(jù)半球殼的壓縮實驗結(jié)果將球殼壓縮過程分為三個階段:頂點壓平階段、軸對稱凹陷階段和非軸對稱凹陷階段;DE OLIVEIRA et al[5]根據(jù)兩個塑性鉸圓的假設(shè)研究了球殼在點載荷及質(zhì)量塊載荷作用下的軸向壓縮力-壓縮位移的關(guān)系;KINKEAD et al[6]考慮了應(yīng)變強化效應(yīng)研究了半球殼徑厚比r/t為8-32時的準靜態(tài)行為;GUPTA et al[7]提出了一種基于滾動塑性鉸和固定塑性鉸假設(shè)的理論模型(其中滾動塑性鉸描述了球殼的軸對稱變形、固定塑性鉸描述了球殼的非軸對稱變形),預(yù)測了球殼軸向壓縮力和壓縮位移之間的關(guān)系,與實驗結(jié)果吻合較好;POGORELOV[9]和CALLADINE[10]在20世紀80年代從不同的角度出發(fā)給出了半球殼在準靜態(tài)壓縮和局部動態(tài)沖擊時載荷-位移的關(guān)系,并研究了球殼殘余變形的問題。楊桂通等[11]用空氣動力槍對徑厚比比較大的扁球殼在沖擊載荷作用下的殘余變形進行了實驗研究,發(fā)現(xiàn)隨著沖擊能量的增大,殼體的殘余變形逐漸增大。寧建國等[12-13]利用球殼的鏡面反射模型[9]假定,分別得到了球殼材料為彈性和理想剛塑性假定時球殼殘余變形的控制方程,通過數(shù)值求解分別與楊桂通等人的實驗數(shù)據(jù)[11]進行了比較,其中理想剛塑性理論解吻合的更好。馬春生等[14]研究了徑厚比比較大的薄壁扁球殼撞擊剛性板的動態(tài)響應(yīng)和吸能特性,結(jié)合寧建國等[13]的大變形薄殼理論和塑性鉸[7]方法建立了撞擊力與變形的關(guān)系,以及撞擊速度與最大壓縮位移的理論分析模型,理論計算與其實驗結(jié)果吻合較好。路國運等[15]對不同徑厚比的半球殼在子彈沖擊和落錘沖擊作用下的動態(tài)響應(yīng)進行了實驗研究。GUPTA et al[16-19]在21世紀初期,同樣對半球殼在質(zhì)量塊動態(tài)沖擊加載條件下的壓潰機理和吸能特性進行了比較系統(tǒng)的實驗研究。

上述學(xué)者們對球殼響應(yīng)的研究都沒有對半球殼所處的邊界進行特別的說明。SINGACE和ELSOBKY[20]研究了錐殼在不同邊界約束下的軸向沖擊響應(yīng),張善元等[21]研究了柱殼在兩種不同邊界下的動態(tài)響應(yīng),發(fā)現(xiàn)邊界條件對柱殼屈曲模態(tài)影響非常大。本文旨在分析不同邊界條件對半球殼變形模式的影響,通過準靜態(tài)實驗描述了不同邊界下半球殼變形模式的不同,并借助有限元技術(shù)具體分析了邊界條件影響半球殼變形模式的內(nèi)在機理,從而為薄殼結(jié)構(gòu)屈曲模式分析提供一定的參考依據(jù)。

1 實驗研究

采用SUMSCMT 5105A微機控制電子萬能實驗機對304不銹鋼半球殼進行了平板加載壓縮試驗,加載速率2 mm/min;研究了同種規(guī)格的半球殼在不同邊界條件下的準靜態(tài)響應(yīng),分析了實驗得到的載荷-位移曲線,以及半球殼的最終變形模態(tài),加載裝置如圖1所示。

圖1 實驗裝置及示意圖Fig.1 Experimental setup and schematic

試驗中所用到的球殼尺寸為半徑75 mm,壁厚1.2 mm及試件加載條件見表1所示,實驗設(shè)計了兩種不同的邊界條件(自由邊界:直接把半球殼放在平面底座上,如圖2-a;環(huán)扣邊界:將半球殼放在底座上的溝槽里,如圖2-b),而且為了證明實驗的可靠性,每種邊界條件都做了重復(fù)實驗,從實驗得到的載荷-位移曲線和半球殼的最終變形模態(tài)(如圖3所示)來看,重復(fù)性相當好。

表1 實驗條件和結(jié)果

圖2 加載條件Fig.2 Loading condition

圖3給出了實驗的載荷-位移曲線和及半球殼最終的變形模態(tài)。由表1和圖3-a可以看到,邊界條件對半球殼在平板壓縮加載條件下的最終變形模態(tài)是有影響的。環(huán)扣邊界的兩個試件C11和C14最終變形都為六邊形模態(tài),而自由邊界的兩個試件C7和C15的最終變形都為五邊形模態(tài)。

試件C11和C14的加載條件一樣,都為環(huán)扣邊界條件,加載板的位移分別為22 mm和43 mm .從實驗結(jié)果觀察到兩個試件都發(fā)生了由軸對稱凹陷到非軸對稱凹陷的過渡,最終形成了六邊形模態(tài),該六邊形模態(tài)是由中心窩陷區(qū)域,棱區(qū),固定塑性鉸和固定塑性鉸之間形成的隆起4部分組成。比較C11和C14最終的變形模態(tài)可以發(fā)現(xiàn)，隨著壓縮位移的增加,固定塑性鉸之間的隆起變得越來越明顯,棱區(qū)還伴有扁平化趨勢。從實驗對半球殼壓縮變形過程的觀察還發(fā)現(xiàn)非軸對稱發(fā)生后,形成多邊形模態(tài)的邊數(shù)沒有發(fā)生改變。

圖3 載荷位移曲線和半球殼的最終變形模態(tài)Fig.3 Load deformation curves and final mode of deformation

圖3-b給出了試件C11和C14的載荷-位移曲線,兩者幾乎重合,說明實驗的重復(fù)性良好。從曲線上可以觀察到曲線的斜率發(fā)生了3次明顯的改變:第一次是半球殼頂點壓平階段到軸對稱凹陷階段的過渡,該階段發(fā)生的時刻較早,基本上是在板的壓縮位移和半球殼的厚度在同一個量級時就發(fā)生;第二次是軸對稱凹陷階段向非軸對稱凹陷階段的過渡,而且曲線的斜率變小,這是由于形成非軸對稱凹陷時產(chǎn)生了許多的塑性鉸,使得球殼抵抗變形的能力變?nèi)?實驗得到的載荷-位移曲線前兩次斜率的改變與KITCHING et al[4]對半球殼壓縮過程的分階段相吻合;其中試件C14在加載板壓縮位移為40 mm左右時突然急劇增加,斜率發(fā)生了第三次改變,這是由于半球殼壓縮位移過大導(dǎo)致頂點觸底和半球殼外圍承載剛度增強共同造成的。

兩個自由邊界條件的試件C7和C15除最終變形模態(tài)為五邊形外(如圖3-a所示),實驗得到的載荷-位移曲線(如圖3-c所示)與試件C11和C14的基本類似。相同邊界條件下,兩個試件最終變形模態(tài)的一致性以及圖3-b C11和C14的載荷-位移曲線和圖3-c C7和C15的載荷-位移曲線吻合程度都可以說明實驗的重復(fù)性是相當好的,即邊界條件對半球殼的準靜態(tài)響應(yīng)是有影響的。

圖3-d比較了兩種不同邊界條件下試件C14和C15的載荷-位移曲線,從圖上可以看到:邊界條件對半球殼壓縮過程中的頂點壓平階段和軸對稱凹陷階段影響并不大,兩者幾乎是重合的;當軸對稱凹陷階段向非軸對稱凹陷階段過渡時邊界條件開始產(chǎn)生影響,兩者開始分離,雖然都伴有斜率的下降,但是自由邊界比環(huán)扣邊界下降的更多,前者形成了五邊形,后者形成了六邊形;在非軸對稱凹陷階段,環(huán)扣邊界的半球殼抵抗變形的能力略大,形成多邊形的邊數(shù)也更多。至于半球殼在非軸對稱凹陷階段生成多邊形的邊數(shù)受什么因素控制還需進一步的研究。

2 數(shù)值研究

2.1 有限元模型的建立

圖4 FEM模型中半球殼材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain curve with the piecewise linearity points for Numerical simulation

本節(jié)運用通用有限元軟件ABAQUS 6.10對半球殼在準靜態(tài)下的壓縮行為進行了數(shù)值研究,分析了邊界條件對半球殼準靜態(tài)響應(yīng)的影響。半球殼的幾何、材料參數(shù)分別如下所述:半球殼尺寸，半徑r=75 mm、厚度t=1.2 mm;圖4給出了簡單拉伸實驗獲得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線,彈性模量150 GPa、泊松比0.3、屈服應(yīng)力404 MPa,以及后續(xù)的塑性行為利用分段線性表示。半球殼網(wǎng)格采用全局種子2.0 mm布局,選擇減縮積分四節(jié)點S4R單元,自由化劃分網(wǎng)格算法;底座和加載板利用離散剛體模型;加載板、半球殼和底座之間的接觸分別為:半球殼與加載剛性板之間的面面接觸、半球殼的自接觸和半球殼與底座之間的面面接觸。通過控制剛性加載板位移實現(xiàn)對半球殼的準靜態(tài)加載。

與實驗相異的是不同邊界條件的實現(xiàn)。實驗是通過把半球殼分別放在平面底座和帶有溝槽的底座上來實現(xiàn)兩種不同的邊界條件;數(shù)值模擬是通過改變半球殼和底座之間的摩擦系數(shù)來實現(xiàn)多種不同的邊界條件,根據(jù)大量的試算結(jié)果,本文選擇了三種摩擦系數(shù)下半球殼的準靜態(tài)響應(yīng),分別為:A1摩擦系數(shù)為0.1,A2摩擦系數(shù)為0.2,A3摩擦系數(shù)為0.5 .

2.2 半球殼變形模態(tài)的比較

圖5 不同邊界條件下半球殼的最終變形模態(tài)Fig.5 Top-view and Front-view of the final deformation of hemispherical shells with different boundary

圖5給出了3種邊界條件下半球殼最終變形模態(tài)的俯視圖(Top-view)和正視圖(Front-view).從俯視圖的不同,我們可以看出摩擦系數(shù)0.1時為五邊形模態(tài);摩擦系數(shù)0.2時為六邊形模態(tài);摩擦系數(shù)0.5時為軸對稱模態(tài)。這也可以從相應(yīng)的正視圖加以解釋,當摩擦系數(shù)為0.5時,由于半球殼底部與底座之間非常大的摩擦力,使得半球殼還來不及由軸對稱模態(tài)過渡到非軸對稱模態(tài),球殼底部附近就發(fā)生了明顯的屈曲,使得后面的響應(yīng)過程主要是由底部附近的屈曲為主;而當摩擦系數(shù)為0.1和0.2時,球殼底部并沒有發(fā)生屈曲,壓縮過程中都發(fā)生了軸對稱模態(tài)到非軸對稱模態(tài)的過渡,但由于半球殼與底座之間摩擦系數(shù)的不同,導(dǎo)致半球殼在壓縮過程中內(nèi)力分布的差異,使得最終多邊形模態(tài)的邊數(shù)不一樣;摩擦系數(shù)越大,半球殼在后期的壓縮過程薄膜內(nèi)力增加得越快,從而導(dǎo)致生成的多邊形模態(tài)的邊數(shù)越多。

2.3 變形輪廓、載荷-位移曲線的比較

圖6-a、圖6-b、圖6-c分別給出了半球殼在不同摩擦系數(shù)的底座上,壓縮過程的變形輪廓圖，其中左邊給出的是半球殼在壓縮過程中變形輪廓的變化圖,右邊分別給出了相應(yīng)變形輪廓的截面。

圖6-a給出了半球殼與底座之間摩擦系數(shù)為0.1(A1)時的變形輪廓圖。從圖上可以看出,在整個壓縮過程中,A1主要有4個階段:頂點壓平階段(1.35 mm)、軸對稱凹陷階段(18 mm)、非軸對稱凹陷階段(42.53 mm)以及頂點觸底后再次壓平階段(43.93 mm)。前3個階段最早是由學(xué)者KITCHING et al[4]在1975年根據(jù)實驗結(jié)果提出,并與實驗得到的載荷-位移曲線上斜率兩次明顯的變化相對應(yīng)。第一次為頂點壓平階段過渡到軸對稱凹陷階段,該過渡一般發(fā)生較早,當加載板壓縮位移達到半球殼厚度時即有可能發(fā)生[5];第二次為軸對稱凹陷階段過渡到非軸對稱凹陷階段,這個過渡發(fā)生的條件比較復(fù)雜,半球殼的幾何參數(shù)以及材料參數(shù)、載荷參數(shù)等對其都有影響,而且當半球殼厚度足夠大時,該過渡將不會發(fā)生[16]。第4個階段ALI DADRASI[22]在其文獻中有過報道,A1當加載板位移為42.53 mm時,頂點與底座發(fā)生接觸,并從載荷位移曲線上可以看到一個明顯的變化,載荷突然急劇增加。

圖6 不同邊界下半球殼的變形輪廓圖Fig.6 Deformation contour of A1,A2 and A3

從圖6-a給出的變形輪廓圖還可以明顯發(fā)現(xiàn)左右并不對稱,這可以利用右邊的截面示意圖加以解釋:變形輪廓圖的左、右顯示的分別是多邊形模態(tài)的邊長和頂點處截面的變形輪廓變化;多邊形模態(tài)邊長處截面的變形輪廓在整個壓縮過程中都沒有發(fā)生外擴的跡象,而頂點處的變形輪廓當加載板位移為27 mm時即出現(xiàn)了非常明顯的外擴趨勢,從半球殼壓縮過程可以看到這主要是因為在多邊形的頂點處,隨著加載板位移的增大,頂點臨近的兩條邊不斷地擠壓頂點,從而使得多邊形頂點不斷地外擴;當加載板位移為42.35 mm,即半球殼頂點和底座發(fā)生接觸時,多邊形頂點下部發(fā)生了明顯地向內(nèi)屈曲的現(xiàn)象,圖5最終變形模態(tài)的正視圖也可以看到此現(xiàn)象。

圖7 不同邊界下半球殼載荷-位移曲線的比較Fig.7 Load deformation curves of A1,A2, and A3

圖6-b給出了半球殼與底座之間摩擦系數(shù)為0.2(A2)時的變形輪廓圖。同A1一樣的是,A2的整個壓縮過程也主要由四個階段組成,每個階段對應(yīng)的加載板壓縮位移也基本相同。當加載板位移為1.35 mm(半球殼厚度為1.2 mm)時,發(fā)生了第一個過渡(從頂點壓平階段過渡到軸對稱凹陷階段),從圖7的載荷-位移曲線圖也可以觀察到加載板位移為1.35 mm的時候,斜率發(fā)生了明顯的變化。當加載板位移為17.83 mm時,A1和A2的載荷-位移曲線開始分離,且A2的載荷明顯大于A1的載荷。這可以總結(jié)為:第一,半球殼與底座之間摩擦系數(shù)的大小對半球殼壓縮初期并沒有影響,只有當壓縮到一定程度后,半球殼的邊界條件才開始對壓縮過程產(chǎn)生影響,與本文的實驗結(jié)果相符,這也可以說明UPDIKE et al[2-3],DE OLIVEIRA et al[5],GUPTA et al[7],POGORELOV[9]等學(xué)者提出不考慮邊界條件的半球殼響應(yīng)理論在一定范圍內(nèi)是合理的;第二:半球殼壓縮過程的第二個過渡(軸對稱凹陷階段過渡到非軸對稱凹陷階段)發(fā)生于加載板壓縮位移為17.83 mm,而此時正好是邊界條件開始對半球殼壓縮過程產(chǎn)生影響的時候,說明對于A1和A2來說邊界條件對半球殼壓縮過程是從第二個過渡階段開始產(chǎn)生影響,并影響其后面的變形模態(tài)。底部約束越強,半球殼在非軸對稱凹陷階段的抵抗變形的能力也越強,形成多邊形模態(tài)的邊數(shù)也越多:A1和A2分別為五邊形模態(tài)和六邊形模態(tài)。

圖6-c給出的是半球殼與底座之間摩擦系數(shù)為0.5(A3)時的變形輪廓圖。與A1和A2的4個階段變形模式不同的是,A3的整個壓縮過程只有3個階段:第1個階段與A1和A2一樣,屬于頂點壓平階段,加載板位移都為1.35 mm;第2個階段一直持續(xù)到加載板位移為40.35 mm左右,從圖7的載荷-位移曲線可以觀察到當加載板位移為40.35 mm時,載荷突然急劇減小,過渡到第3個階段。從A3的變形輪廓圖可以觀察到:A3的第2個階段發(fā)生的變形也是軸對稱凹陷,但不同的是,當加載板位移為17.83 mm時,A1和A2開始由軸對稱凹陷階段向非軸對稱凹陷階段過渡, 而A3的整個響應(yīng)過程一直是軸對稱凹陷變形,但其載荷位移曲線在第2個階段卻發(fā)生了一個明顯的變化,載荷由遞減增加逐漸過渡到遞增增加,這主要是邊界的影響使得半球殼結(jié)構(gòu)的剛度隨壓縮位移的增大而增大造成的。A3的第3個階段載荷隨著位移的增大迅速減小,這是由于底部發(fā)生了屈曲行為,從圖6-c中的Stage-3可以觀察到。

2.4 半球殼壓縮過程頂點位移和加載板壓縮位移的關(guān)系

圖8給出的是三種摩擦系數(shù)工況下,半球殼頂點位移和加載板壓縮位移之間的關(guān)系。從圖8-a可以觀察到A1和A2兩種摩擦系數(shù)下半球殼頂點位移和加載板壓縮位移關(guān)系曲線完全重合,說明:半球殼和底座之間的摩擦系數(shù)從0.1增加到0.2,載荷-位移曲線和半球殼的最終變形模態(tài)發(fā)生了變化,但頂點位移和加載板壓縮位移關(guān)系并沒有發(fā)生改變;以及軸對稱凹陷階段向非軸對稱凹陷階段過渡時,頂點位移和加載板壓縮位移關(guān)系也沒有發(fā)生變化。圖8-b給出的是摩擦系數(shù)為0.5時,可以觀察到在半球殼底部發(fā)生屈曲前,頂點位移和加載板位移關(guān)系與摩擦系數(shù)為0.1，0.2時的一樣;當半球殼底部發(fā)生屈曲后,整個壓縮過程由滾動塑性鉸的擴展和底部屈曲變形共同組成。

圖8 平板壓縮位移與球殼頂點位移的關(guān)系Fig.8 Relation between top deformation and plate deformation of A1, A2 and A3

3 結(jié)果與討論

通過實驗和數(shù)值模擬技術(shù),研究了邊界條件對半球殼準靜態(tài)響應(yīng)的影響,得到以下結(jié)論。

1) 半球殼在小變形的情況下,由于其結(jié)構(gòu)的幾何特性使其底部邊界對其準靜態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略,也能說明鏡面反射模型的3部分變形區(qū)域假定是可接受的。

2) 半球殼在從軸對稱凹陷階段過渡到非軸對稱凹陷階段時,其頂點位移和加載板壓縮位移之間的關(guān)系并不發(fā)生改變。

3) 從實驗和數(shù)值模擬分別得到的不同邊界條件下的載荷-位移曲線的比較發(fā)現(xiàn):當半球殼的薄膜內(nèi)力增加的越快,半球殼在發(fā)生非軸對稱凹陷時產(chǎn)生的多邊形的邊數(shù)會越多。

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(編輯：朱 倩)

Quasistatic Response of Hemispherical Shell with Different Boundary Condition

HU Jianxinga,XU Lea,YANG Huiweia,ZHANG Ena,LU Guoyunb,c

(a.InstituteofAppliedMechanicsandBiomedicalEngineering;b.ShanxiKeyLab.ofMaterialStrength&StructuralImpact;c.CollegeofArchitectureAndCivilEngineering;TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Two different deformation modes were observed from experimental results of the quasi-static response of hemispherical shell in different boundary condition. The deformation mode is six lobes for grooved boundary, but five lobes for free boundary. By utilizing the finite element method, the internal mechanism of effects of three different boundary conditions on quasi-static response of hemispherical shell was researched, and the loaded formation curves, transformation of deformation contour map of hemispherical shells and the relation between top displacement of hemispherical shell and loading plate displacement were compared.The results show: the compression process of hemispherical shell can be divided into four stages: local flattening, axisymmetric dimpling, non-axisymmetric dimpling and local flattening again when the friction coefficient between shell and plate is 0.1 and 0.2. However, when the friction coefficient is 0.5, the compression process can be divided into three stages: local flattening, axisymmetric dimpling and buckling of the bottom of shells.

hemispherical shell;boundary condition;quasi-static;plastic hinge;deformation mode

1007-9432(2016)03-0411-07

2015-10-13

國家自然科學(xué)基金資助項目：漿砌多級構(gòu)建層合殼體的沖擊動力學(xué)行為研究(11372209)；山西省回國留學(xué)人員科研及擇優(yōu)資助項目(2013-044)

胡建星(1990-)，男，江西九江人，碩士生，主要從事沖擊動力學(xué)的研究，(E-mail)hjx3783@link.tyut.edu.cn

路國運，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事沖擊動力學(xué)和結(jié)構(gòu)動力學(xué)方面的研究，(E-mail) luguoyun@tyut.edu.cn

O348.9

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.03.025