王金楠,王旦霞

(太原理工大學 數(shù)學學院,太原 030024)

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具有轉(zhuǎn)動慣量和結(jié)構(gòu)阻尼及非線性外阻尼的非自治熱彈耦合梁方程組的整體解

王金楠,王旦霞

(太原理工大學 數(shù)學學院,太原 030024)

考慮到彈性梁受熱效應(yīng)的影響,本文研究的是具有轉(zhuǎn)動慣量和結(jié)構(gòu)阻尼及非線性外阻尼的非自治熱彈耦合梁方程組的初邊值問題。根據(jù)對阻尼項和與時間有關(guān)的連續(xù)外力項的假設(shè),采用Galerkin方法,結(jié)合先驗估計,證明了方程組整體解的存在唯一性。

熱彈耦合梁方程組;Galerkin方法;整體解;非線性非自治

2006年,王旦霞等[1]研究了粘彈性梁方程

在非線性邊界條件

下整體解的存在唯一性。其中，M(0)=0,|M′(s)|≤C,N(0)=0,|N′(s)|≤C.

2009年,田添等[2]采用Galerkin方法,研究了一類具有結(jié)構(gòu)阻尼的熱彈性梁耦合系統(tǒng)

在齊次邊界條件下的整體解。其中，M,N的假設(shè)如上述文獻[1].

2011年,程永玲[3]證明了如下具有非線性項的熱彈耦合偏微分方程

在齊次邊界條件下強解的存在性。其中，

且Ni1(u),Ni2(θ)∈C1(R)i=1,2 .

在本文中,筆者將研究具有轉(zhuǎn)動慣量和結(jié)構(gòu)阻尼及非線性外阻尼的非自治熱彈耦合梁方程組

(1)

在初始條件

(2)

和邊界條件

(3)

下整體解的存在唯一性及解對初值的連續(xù)依賴性。其中,Ω?Rn是Rn中有充分光滑邊界的有界區(qū)域,且0<ω<1,0<υ<1 .

1 空間及假設(shè)

定義

(H.1)函數(shù)M,N的假設(shè)

(H.2)關(guān)于非線性函數(shù)f,g,h的假設(shè)如下:

f∈C1(R),且

其中

g∈C1(R),g(0)=0,(g(r)-g(s))(r-s)≥

ρ|r-s|2,?r,s∈R,

其中ρ為常數(shù);

其中

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)(H.1)(H.2)成立,若u0τ∈D(A),u1τ∈V,θ0τ∈V,則問題(1)-(3)存在整體解(u,θ),對?w∈D(A),φ∈V在L∞(Rτ)滿足方程

(4)

及初始條件

(5)

且

u∈C(Rτ,V),ut∈C(Rτ,V),

(6)

對于?wj,φj(j=1,2,…,n)滿足方程

由

‖‖2+‖θn‖2,

則

N((un,(un,

根據(jù)對g,h的假設(shè),運用龐加萊不等式和Young不等式得

即

N((un,(un,

C1(t)+k(‖‖2+‖‖2) .

兩邊對t積分得

其中,

C2=E(τ,un,θn)+

根據(jù)對初值條件及M,f,h的假設(shè)可得

由Gronwall不等式可得E(t,un,θn)有界。

對于t=τ部分,積分得

則

‖Δ2u1‖2+‖Δθ0‖2)

即

(9)

(10)

將式(10)與式(12)相加得

其中

由

根據(jù)對M,N的假設(shè),運用中值定理及龐家萊不等式得

取

C=C1+C4

得

同理,根據(jù)對f,g的假設(shè)及龐家萊不等式得

取

K=max{K1+C,K2+C}

得

(13)

將式(13)兩邊同時除以ε2,再令ε→0得

令

兩邊關(guān)于t積分得

(14)

由上述有界性知:

un→u,在L∞(Rτ,V)有界;

θn→θ,在L∞(Rτ,L2(Ω))有界;

因為,可分賦范線性空間的一致有界線性泛函序列中必可取出一個弱*收斂的子序列,不妨將{un},{θn}的子序列仍記為{un},{θn}則

un→u,在L∞(Rτ,V)弱*收斂;

θn→θ,在L∞(Rτ,L2(Ω))弱*收斂;

由以上的收斂可知:

對?μ∈L1(Rτ)有wμ∈L1(Rτ,L2(Ω)),那么

對?μ∈L1(Rτ),有wμ∈L1(Rτ,V)?L1(Rτ,L2(Ω)),那么

即(Δun,Δw)→(Δu,Δw)在L∞(Rτ)弱*收斂。

同理

在L∞(Rτ)弱*收斂;

在L∞(Rτ)弱*收斂。

對?ψ∈L1(Rτ),則φψ∈L1(Rτ,L2(Ω)),那么

同理

由以上收斂知:(u,θ)是問題(1)-(3)的整體解。

3 整體解的唯一性及對初值的連續(xù)依賴性

定理2 在整體解存在的條件下,問題(1)-(3)解(u,θ)是唯一的,且連續(xù)的依賴于初值。

證明 設(shè)(u,θ),(v,ψ)分別是問題(1)-(3)的兩組解,令w=u-v,φ=θ-ψ滿足方程

初值條件為w(x,τ)=wt(x,τ)=φ(x,τ)=0,x∈Ω.

將式(15)乘wt,式(16)乘φ得

對右端的證明如下,不妨設(shè)

根據(jù)對M,N的假設(shè),運用中值定理及Young不等式得

令,L2=(g(vt)-g(ut)+f(v)-f(u),wt),由f,g假設(shè),龐加萊不等式得

綜上得

再次應(yīng)用Gronwall不等式及E(τ,w,φ)=0,可得整體解的唯一性且在Rτ上連續(xù)地依賴于初值。定理證畢。

[1] 王旦霞,張建文,王銀珠.非線性邊界條件下粘彈性梁方程的整體解[J].中北大學學報(自然科學版),2006,27(2):128-131.

[2] 田添,張建文,張建國.具有結(jié)構(gòu)阻尼的熱彈性梁耦合系統(tǒng)的整體強解[J].數(shù)學的實踐與認識,2009,39(15):209-212.

[3] 程永玲.非線性熱彈耦合偏微分方程強解的存在性[J].甘肅聯(lián)合大學學報(自然科學版),2011,25(2):20-22.

[4]BALLJM.Initial-boundaryvalueproblemsforanextensiblebeam[J].JMathAnal,1973,42:61-88.

[5]BALLJM.Stabilitytheoryforanextensiblebeam[J].JDifferEqu,1973,14:399-418.

(編輯：朱 倩)

Global Solution for the Non-autonomous Thermoelastic Coupled Beam Equations with Rotational Inertial term and Structural and Nonlinear External Damping

WANG Jinnan,WANG Danxia

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Considering the influence of thermal effect on elastic beam,we studied the initial-boundary value problem for a non-autonomous thermoelastic coupled beam equations with rotational inertial term and structural damping and nonlinear external damping.According to the assumptions of damping term and the continuously external force term,the existence and uniqueness of the global solution are obtained by the Galerkin approach with the prior estimation.

thermoelastic coupled beam equations;Galerkin method;Global solution;nonli-near and non-autonomous

1007-9432(2016)03-0424-05

2015-04-29

國家自然科學基金資助項目：基于時滯慣性流形的非線性彈性殼結(jié)構(gòu)動力屈曲研究(11172194)，山西省自然科學基金資助項目(2014011005-4，2015011066)

王金楠(1990-)，女，河南南陽人，碩士生，主要從事無窮維動力系統(tǒng)的研究，(E-mail)wangjinnan1990@163.com

王旦霞，副教授，主要從事無窮維動力系統(tǒng)的研究，(E-mail)danxia.wang@163.com

O175.27

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.03.027