熊智敏,王黨衛(wèi),馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院 三系,武漢 430019)

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中段彈頭IMM-EKF跟蹤方法及性能分析

熊智敏,王黨衛(wèi),馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院 三系,武漢 430019)

為了提高中段彈頭跟蹤收斂速度以及跟蹤精度,提出了一種基于交互多模型(IMM)的擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)的跟蹤算法。基于中段彈頭加速度變化特點(diǎn),建立了目標(biāo)的中段系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及量測(cè)模型,通過(guò)引入速度測(cè)量值,使用IMM-EKF算法對(duì)中段目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。仿真結(jié)果表明,通過(guò)交互多模的非線性濾波算法,可以使中段跟蹤收斂速度大為加快,速度測(cè)量值的引入也使得跟蹤精度有所提高,并在彈頭中段與再入段銜接處有較好的跟蹤性能；驗(yàn)證了IMM-EKF跟蹤中段彈頭的有效性。

中段彈頭跟蹤;交互多模型;擴(kuò)展卡爾曼濾波

彈道導(dǎo)彈預(yù)警探測(cè)是關(guān)乎國(guó)家戰(zhàn)略安全的重要課題,對(duì)其精確跟蹤是當(dāng)前雷達(dá)技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)。在彈道導(dǎo)彈發(fā)射到最終著地過(guò)程中中段飛行是雷達(dá)探測(cè)該類目標(biāo)最為有利的跟蹤階段,導(dǎo)彈中段運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)彈整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中飛行時(shí)間最長(zhǎng),僅受地球引力的作用,沒(méi)有空氣阻力和其他攝動(dòng)力,彈頭從彈體分離后常呈現(xiàn)加速飛行的特點(diǎn),目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和雷達(dá)量測(cè)狀態(tài)均非線性變化。同時(shí),近年來(lái),變軌技術(shù)的不斷成熟,導(dǎo)彈中段飛行時(shí)也可進(jìn)行機(jī)動(dòng),加速度會(huì)產(chǎn)生明顯的變化,這使得彈頭的運(yùn)動(dòng)軌跡更為復(fù)雜,利用雷達(dá)對(duì)其精確跟蹤更為困難。

雷達(dá)對(duì)中段彈頭的跟蹤是一個(gè)連續(xù)的非線性濾波過(guò)程,目前雷達(dá)對(duì)這類目標(biāo)常用的跟蹤算法主要有量測(cè)流線型迭代的EKF、解耦的Kalman濾波器、α-β濾波器、混合α-β濾波器、耦合的Kalman濾波器以及自適應(yīng)Kalman濾波器等[1-4]。文獻(xiàn)[1～2]通過(guò)使用分段常加速模型描述彈頭的目標(biāo)運(yùn)動(dòng),并進(jìn)而在笛卡爾坐標(biāo)系下進(jìn)行目標(biāo)跟蹤。由于跟蹤濾波過(guò)程中使用單一目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型,因此,難以實(shí)現(xiàn)彈頭變加速度運(yùn)動(dòng)特性的精確描述,進(jìn)而導(dǎo)致跟蹤收斂、精度下降的問(wèn)題。文獻(xiàn)[3～4]則提出了通過(guò)狀態(tài)的可變維濾波器實(shí)時(shí)估計(jì)和自適應(yīng)Kalman濾波跟蹤方法,但由于狀態(tài)的可變維濾波器實(shí)時(shí)估計(jì)需要精確的彈道參數(shù),因此,跟蹤濾波的魯棒性較差。為了更為精確地描述彈頭運(yùn)動(dòng)狀態(tài),文獻(xiàn)[5～8]采用了基于地球動(dòng)力學(xué)系數(shù)J2的標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型,通過(guò)位置、速度函數(shù)可表示彈頭的加速度的特性,進(jìn)而使用Singer模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型(CS)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)中段彈頭的精確跟蹤。然而,Singer模型僅適用于勻加速運(yùn)動(dòng)的描述,對(duì)變加速運(yùn)動(dòng)描述誤差較大,而CS模型則與之相反,對(duì)變加速運(yùn)動(dòng)的描述更為精確,對(duì)勻加速的描述誤差較大,因此,單獨(dú)使用一種運(yùn)動(dòng)模型難以實(shí)現(xiàn)中段彈頭的精確跟蹤。

交互多模(interaction multiple model,IMM)算法是廣義偽Bayes基礎(chǔ)上提出的一種基于Markov轉(zhuǎn)移概率的跟蹤算法,通過(guò)多個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的交互來(lái)提高復(fù)雜運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度。IMM算法的主要思想是基于當(dāng)前各個(gè)模型與實(shí)際運(yùn)動(dòng)匹配程度,通過(guò)改變各模型自濾波值在最終濾波值中的比重,來(lái)提高不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的跟蹤精度,因此,該算法為提高中段彈頭的精確跟蹤提供了可能。文獻(xiàn)[9]提出了基于Singer模型和CS模型的IMM-UPF中段彈頭跟蹤濾波算法,同時(shí)在目標(biāo)模型和跟蹤算法2個(gè)方面進(jìn)行交互,并獲得了較高的跟蹤精度。但需要指出的是,文獻(xiàn)[9]提出的方法交互更為復(fù)雜,且對(duì)模型精確度的依賴程度更高。針對(duì)上述問(wèn)題,為了提高中段彈頭跟蹤收斂速度以及減少誤差,本文建立了標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型下彈頭中段運(yùn)動(dòng)加速度數(shù)學(xué)模型和雷達(dá)球坐標(biāo)系量測(cè)方程,并結(jié)合中段彈頭的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),通過(guò)引入速度測(cè)量值,提出了基于Singer模型和CS的IMM-EKF中段彈頭跟蹤濾波算法。類似于文獻(xiàn)[9]已有算法,本文提出方法通過(guò)2種不同運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行中段彈頭的交互跟蹤,實(shí)現(xiàn)了對(duì)存在變加速機(jī)動(dòng)的中段彈頭目標(biāo)的準(zhǔn)確跟蹤,但與之不同,本文提出算法由于速度測(cè)量值的引入加快了跟蹤濾波算法的收斂速度,使得濾波過(guò)程對(duì)初始值變化不敏感,算法更為穩(wěn)健。

1 中段彈頭運(yùn)動(dòng)及測(cè)量模型

1.1 運(yùn)動(dòng)模型

彈道導(dǎo)彈發(fā)射飛行一段時(shí)間后彈頭從彈體分離并進(jìn)入中段飛行階段,在地球重力作用下呈加速飛行狀態(tài)。由于雷達(dá)對(duì)彈頭的跟蹤作用距離較長(zhǎng),且地球?qū)嶋H為橢球形狀,因此,通過(guò)在標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型中加入地球形狀動(dòng)力學(xué)系數(shù),用來(lái)實(shí)現(xiàn)彈頭運(yùn)動(dòng)模型的精確描述。為了使用橢球地球重力模型對(duì)中段彈頭軌跡進(jìn)行建模,建立圖1所示的雷達(dá)站心坐標(biāo)系(earth-fixed coordinate system)OeXeYeZe,是常用非慣性系,其中Oe為站心,OeXe和OeYe分別指向東和北,OeZe垂直于地面,也稱為東北天坐標(biāo)系(ENU),是常用非慣性系。假定雷達(dá)站地理精度為L(zhǎng),大地緯度為B,大地高程為H。P為目標(biāo)彈頭位置,r為彈頭到站心距離向量,雷達(dá)站ENU下位置矢量rr=(xryrzr)T,地球半徑Re=6 378 137m。

圖1 雷達(dá)站心坐標(biāo)系

設(shè)ρ為地心到雷達(dá)站距離矢量,ρ=(00Re+H)T,于是,可得到站心坐標(biāo)系(ENU)下目標(biāo)加速度模型[9]:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

很明顯,由式(6)可以看出,由于中段飛行過(guò)程中彈頭運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)近似橢圓的部分弧段,且其加速度量隨彈頭位置的改變而變化,通過(guò)彈頭加速度模型可看出其可表示為彈頭空間坐標(biāo)與速度的函數(shù),即加速度是由速度與位置的非線性函數(shù)所決定,這表明彈頭中段存在變加速運(yùn)動(dòng)可能。

1.2 量測(cè)模型

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行離散化得到:

(8)

(9)

式中:I3×3為單位矩陣,O3×3為零矩陣。其中量測(cè)方程為非線性形式[10]:

Z(k)=h(Xk)+ω(k)=

(10)

(11)

(12)

(13)

因此,量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為

(14)

(15)

2 基于IMM-EKF算法目標(biāo)跟蹤

目標(biāo)跟蹤是一個(gè)典型的非線性濾波問(wèn)題,目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型準(zhǔn)確度是決定濾波性能的關(guān)鍵因素。Singer模型是一種零均值、一階時(shí)間相關(guān)的機(jī)動(dòng)加速度運(yùn)動(dòng)模型,其將目標(biāo)的機(jī)動(dòng)看作為隨機(jī)噪聲驅(qū)動(dòng)所造成的,且假設(shè)機(jī)動(dòng)加速度服從一階的時(shí)間相關(guān)過(guò)程,可描述勻加速運(yùn)動(dòng)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。另一方面,CS模型則假設(shè)目標(biāo)加速度服從修正的瑞利分布,能更為精確描述目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)變化的真實(shí)情形,實(shí)現(xiàn)高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的精確跟蹤。而按照前文所給出的中段彈頭加速度模型,彈頭加速度會(huì)隨彈頭空間位置變化而變化,其運(yùn)動(dòng)模型較為復(fù)雜,不同空間位置表現(xiàn)出不同的加速度特性,既包含了勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)又包含了變加速度機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),因此,對(duì)其跟蹤時(shí)采用單一運(yùn)動(dòng)模型不能完整表達(dá)彈頭運(yùn)動(dòng)方程的特點(diǎn),應(yīng)采用不同的運(yùn)動(dòng)模型對(duì)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述?；谶@一考慮,本文提出了基于Singer和CS模型的IMM-EKF中段彈頭跟蹤濾波算法。

(16)

此處,采用含速度測(cè)量誤差[12]:

(17)

Y(k)=Fj(k)Y(k-1)+DaE(k)+ωj(k)

(18)

式中:j=1,2;ωj(k)為k時(shí)刻過(guò)程噪聲,其是均值為零、協(xié)方差矩陣為Qj的離散時(shí)間白噪聲序列;D為常數(shù)矩陣;aE(k)為離散加速度;Fj(k)為模型j的過(guò)程矩陣,可分別由Singer模型和CS模型來(lái)得到。

對(duì)于Singer模型而言,由于加速度a(k)的中段Singer模型對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間動(dòng)態(tài)方程為

(19)

(20)

(21)

交互多模(IMM)算法[13,16]是廣義偽Bayes基礎(chǔ)上提出的一種基于Markov轉(zhuǎn)移概率的跟蹤算法,通過(guò)多個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的交互來(lái)提高復(fù)雜運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤精度。IMM算法使用多個(gè)運(yùn)動(dòng)模型匹配目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)模式,基于多個(gè)濾波器殘差似然函數(shù)確定每個(gè)模型在濾波輸出中的比重,通過(guò)加權(quán)求和的方式確定最終的濾波結(jié)果。其主要分為模型交互輸入、多模型并行濾波、模型概率更新以及濾波輸出4個(gè)步驟。

設(shè)Y0j(k-1/k-1)為k-1時(shí)刻模型j的濾波值,其濾波協(xié)方差為P0j(k-1/k-1),模型j在k-1時(shí)刻濾波值在最終濾波輸出中的比重為μj(k-1),假設(shè)共有r個(gè)運(yùn)動(dòng)模型。則k時(shí)刻模型交互輸入為

(22)

[Yi(k-1/k-1)-Y0j(k-1/k-1)]×

[Yi(k-1/k-1)-Y0j(k-1/k-1)]′}

(23)

然后進(jìn)行模型概率的更新,設(shè)k時(shí)刻模型j的濾波殘差為γj(k),其協(xié)方差為Sj(k),則k時(shí)刻模型j的可能性為

(24)

設(shè)Y(k/k),P(k/k)分別為k時(shí)刻交互式的輸出,則有:

(25)

Y(k/k)][Yj(k/k)-Y(k/k)]′}

(26)

整個(gè)IMM算法利用這一遞推過(guò)程完成,其算法流程如圖2所示[13]。

IMM算法具有模塊化的特點(diǎn),對(duì)應(yīng)不同應(yīng)用環(huán)境可以采用線性和非線性的濾波算法。量測(cè)信息反映在濾波模型概率中,并利用模型概率的變化完成自適應(yīng)調(diào)整。然而采用單模型跟蹤在對(duì)非機(jī)動(dòng)、輕微機(jī)動(dòng)和機(jī)動(dòng)較強(qiáng)相結(jié)合的目標(biāo)跟蹤時(shí)效果會(huì)差,收斂較慢。由于單模型對(duì)環(huán)境要求較高,IMM算法的引入能夠使得跟蹤算法在模型間快速切換,有更好的適應(yīng)性,尤其在復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的情況下,IMM算法的優(yōu)越性更加突出。

圖2 IMM流程圖

3 仿真結(jié)果和分析

為了證實(shí)本文所提方法的有效性,設(shè)彈頭中段初始時(shí)刻位置觀測(cè)量為(-506 148m,-224 446m,56 195m),速度初始量為(1 773m/s,-61m/s,1 760m/s),并利用彈道導(dǎo)彈在中段的運(yùn)動(dòng)微分方程和Runge-Kutta積分法[14]生成0～400s時(shí)段的仿真彈道,圖3(a)給出了彈頭三維軌道曲線,圖3(b)給出了彈頭速度變化曲線,該彈頭運(yùn)動(dòng)模式是變加速過(guò)程,其速度是先由快再到慢再到快的過(guò)程。

另一方面,設(shè)定觀測(cè)雷達(dá)位于坐標(biāo)原點(diǎn),其測(cè)距誤差均方差為σR=100m,測(cè)角誤差均方差σθ=σφ=0.3mrad,跟蹤數(shù)據(jù)率為10Hz。更進(jìn)一步,通過(guò)給定的誤差方差,基于高斯分布模型隨機(jī)產(chǎn)生各觀測(cè)時(shí)刻距離、方位角誤差數(shù)據(jù),并疊加于仿真彈道,生成雷達(dá)對(duì)彈頭的測(cè)量數(shù)據(jù)。此外,為了對(duì)比分析本文提出方法的性能,分別采用EKF與IMM-EKF方法對(duì)雷達(dá)測(cè)量的彈頭數(shù)據(jù)進(jìn)行跟蹤濾波,并選取均方誤差值(RMSE)δ作為評(píng)價(jià)指標(biāo),其定義為

圖3 仿真彈道曲線

圖4(a)給出了基于Singer模型濾波均方誤差值,圖4(b)給出了提出的基于CS模型濾波均方誤差值。

圖4 單模型對(duì)彈頭跟蹤濾波距離均方差變化曲線

由于彈頭中段運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中加速度變化是連續(xù)的且最大加速度值有限,其機(jī)動(dòng)屬性不確定。Singer模型對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)介于勻速及勻加速的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跟蹤效果較好。但從仿真結(jié)果可以看出,在進(jìn)入再入段時(shí),彈頭速度突變,跟蹤效果較差。但是利用CS模型基于當(dāng)前速度的特點(diǎn),其對(duì)彈頭速度反映比較精確,針對(duì)進(jìn)入再入段速度突變情況有較好的反應(yīng)能力。

圖5(a)給出了模擬的彈頭理論軌跡(以下稱為真實(shí)軌跡)和仿真的測(cè)量軌跡(以下稱為量測(cè)軌跡),圖5(b)給出了提出的IMM-EKF算法200次蒙特卡洛仿真濾波得到的濾波軌跡(以下稱為濾波軌跡)和真實(shí)軌跡對(duì)比圖。可以看出,經(jīng)過(guò)提出算法濾波后,濾波軌跡較之量測(cè)軌跡誤差明顯減小,更接近于真實(shí)軌跡。為了更進(jìn)一步證實(shí)提出的算法,圖6(a)給出了傳統(tǒng)EKF算法(基于勻速運(yùn)動(dòng)模型和定義的6維觀測(cè)量進(jìn)行濾波,該算法以下稱為傳統(tǒng)算法)對(duì)上述彈道數(shù)據(jù)200次蒙特卡洛濾波仿真距離均方誤差曲線,圖6(b)則給出了提出的IMM-EKF算法蒙特卡洛濾波仿真距離均方誤差曲線。很明顯,對(duì)比圖6(a)和圖6(b)結(jié)果可以看出,隨著觀測(cè)時(shí)段的增加,2種算法濾波獲得的軌跡均方誤差均逐漸減小,且提出的算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法,這表現(xiàn)為收斂速度更快,且收斂時(shí)跟蹤誤差更小。

圖5 軌跡比較

更進(jìn)一步,為了測(cè)試引入速度測(cè)量值對(duì)跟蹤性能的影響,在跟蹤過(guò)程中不考慮速度測(cè)量值,即僅使用位置參數(shù)作為觀測(cè)向量,使用提出的IMM-EKF算法對(duì)上述量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行跟蹤濾波,并與傳統(tǒng)EKF算法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖6給出了提出的IMM-EKF算法不考慮速度測(cè)量值時(shí)的濾波結(jié)果以及與傳統(tǒng)EKF算法濾波結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由圖6仿真結(jié)果可以看出,隨著觀測(cè)時(shí)段的增加,算法濾波獲得的軌跡均方誤差均逐漸減小,且提出算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法,這表現(xiàn)為收斂速度更快,且收斂時(shí)跟蹤誤差更小。提出的IMM-EKF算法不考慮速度測(cè)量值時(shí)同樣能保持較高的跟蹤精度,但較之考慮速度測(cè)量值時(shí)收斂速度變慢,這表明本文引入速度測(cè)量值能加快濾波收斂速度。引入速度測(cè)量值要比不引入速度測(cè)量值時(shí)的均方根誤差小,且收斂速度快,這是由于速度觀測(cè)值提供了有關(guān)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的更進(jìn)一步信息,從而使跟蹤性能得到改善。

圖6 考慮和不考慮速度測(cè)量值時(shí)3種算法跟蹤濾波距離均方差變化曲線

另一方面,為了測(cè)試觀測(cè)向量初始狀態(tài)對(duì)提出算法的性能影響,在生成的彈頭數(shù)據(jù)初始值中加入距離和速度測(cè)量附加誤差,并設(shè)定附加距離誤差均方差σR=150m,附加測(cè)速誤差方差σv=0.436m/s。隨后,利用設(shè)定的附加誤差均方差,通過(guò)高斯分布模型分別隨機(jī)產(chǎn)生附加測(cè)量誤差,分別疊加于前文仿真產(chǎn)生的0時(shí)刻軌道數(shù)據(jù),并使用提出的IMM-EKF算法和傳統(tǒng)算法進(jìn)行跟蹤濾波,2種算法濾波跟蹤濾波結(jié)果如圖7所示。

圖7 改變距離與速度誤差時(shí)2種算法跟蹤濾波均方誤差曲線

從仿真結(jié)果來(lái)看,在彈道初始距離與速度值的測(cè)量中增加附加誤差后,傳統(tǒng)EKF算法跟蹤收斂速度變慢,且跟蹤末端存在發(fā)散現(xiàn)象。而與此不同,本文提出的IMM-EKF算法在該情況下收斂速度仍然較快,且在跟蹤末端時(shí)刻未出現(xiàn)發(fā)散問(wèn)題,這說(shuō)明提出的IMM-EKF算法對(duì)觀測(cè)向量初始值的改變更不敏感,具有更強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)中段彈頭跟蹤問(wèn)題,本文基于彈頭中段飛行時(shí)加速度變化特點(diǎn),通過(guò)引入速度測(cè)量值,提出了一種IMM-EKF跟蹤濾波算法,通過(guò)CS模型與Singer模型的相交互,應(yīng)用擴(kuò)展卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)中段彈頭的可靠跟蹤。研究表明,觀測(cè)向量中速度測(cè)量值的引入有效加快了跟蹤算法的收斂速度,而通過(guò)2個(gè)模型的交互,可提高跟蹤精度,且增強(qiáng)了跟蹤過(guò)程的魯棒性。此外,需要指出的是,本文采用的交互模型個(gè)數(shù)和模式有限,僅對(duì)2種模型進(jìn)行交互,在現(xiàn)有跟蹤技術(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行了跟蹤仿真實(shí)驗(yàn),對(duì)于更復(fù)雜的機(jī)動(dòng)彈道,現(xiàn)有跟蹤算法的適用性還有待研究。

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Tracking Midcourse Target and Error Analysis

XIONG Zhi-min,WANG Dang-wei,MA Xiao-yan

(The Third Department,Air Force Early Warning Academy,Wuhan 430019,China)

In order to improve the convergence rate and precision of midcourse target tracking,an algorithm based on IMM(Interaction Multiple Model)-EKF(Extended Kalman Filter) was proposed.Based on the variation characteristic of acceleration of midcourse target,three-dimensional target-motion-model and measurements model were built by using velocity measured-value.A comparative analysis between IMM-EKF and traditional EKF was carried out.The simulation results show that IMM-EKF algorithm can improve the convergence rate of midcourse target tracking,and the tracking precision can also be improved by using velocity measured-value.The proposed filtering method has better tracking performance in midocurse,and it is effective.

midcourse target tracking;interaction multiple model;extended Kalman filter

2016-06-21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61179015;61401503)

熊智敏(1992- ),女,碩士研究生,研究方向?yàn)閺椀缹?dǎo)彈建模與跟蹤算法。E-mail:397862505@qq.com。

TN957

A

1004-499X(2016)04-0017-07