馮金地

(信陽(yáng)師范學(xué)院華銳學(xué)院理工系 河南 信陽(yáng) 464000)

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補(bǔ)償法求剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般解

馮金地

(信陽(yáng)師范學(xué)院華銳學(xué)院理工系 河南 信陽(yáng) 464000)

通過猜想加證明的方式得到了求解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)新推論,由這個(gè)推論可以將組合定理進(jìn)行推廣.工程力學(xué)上常常遇到的求解形狀復(fù)雜的均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)此推論將會(huì)特別有用.本文最后通過一道例題，說明它具有簡(jiǎn)單、快捷的優(yōu)點(diǎn)，并有獨(dú)到之處.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 疊加原理 補(bǔ)償求和法

本文首先通過對(duì)該表幾個(gè)典型剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的推導(dǎo),探討相似剛體之間轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的內(nèi)在邏輯關(guān)系，得到了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組合定理的一個(gè)新的推論——補(bǔ)償求和法;最后通過一道例題說明它在工程力學(xué)上可以簡(jiǎn)單快捷地求解某些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；同時(shí)此推論對(duì)大學(xué)理工科學(xué)生關(guān)于剛體力學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的深入理解也大有益處.

1 補(bǔ)償求和法的引入

1.1 同心圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

討論勻質(zhì)質(zhì)量為m,內(nèi)外半徑分別為R1和R2的薄同心圓環(huán),求對(duì)其任一直徑的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖1所示,以y軸為定軸,可先求均質(zhì),質(zhì)量為m,半徑為R的薄圓盤(圓心與原點(diǎn)O重合,圓盤置于xOy平面內(nèi))對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖1 同心圓環(huán)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

因積分區(qū)域?yàn)閳A形,采用平面極坐標(biāo)系(r,θ),如圖取質(zhì)元dm=σdS=σrdrdθ，σ為質(zhì)量面密度，質(zhì)元dm到y(tǒng)軸距離r′=rcos θ,則有

I=Iy=∫r′2dm=?(rcos θ)2σrdrdθ=

代入m=πR2σ，得

(1)

即為薄圓盤對(duì)任一過其直徑的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

本題中,圓環(huán)可等價(jià)為質(zhì)量為m1，半徑為R1的圓盤被挖去一個(gè)質(zhì)量為m2, 半徑為R2的同心圓盤, 設(shè)兩個(gè)同心圓盤對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I1和I2, 則我們猜想所求薄圓環(huán)對(duì)y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I滿足疊加原理

I=-I1+I2

(2)

其中I1為想象的.則由式(1)，有

這一結(jié)果的正確性可由積分法予以驗(yàn)證.

I=∫r′2dm=?(rcos θ)2σrdrdθ=

(3)

可見上述的猜想式(2)是正確的. 對(duì)式(3)作一討論是有趣的.

(1)R1→R2=R時(shí),圓環(huán)變?yōu)榧?xì)圓環(huán)(一維),得

(2)R1→0,R2=R時(shí),圓環(huán)變?yōu)閳A盤,得

此法可稱為補(bǔ)償求和法，在計(jì)算某些形狀復(fù)雜或被挖空的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)往往會(huì)很方便.

1.2 同心球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

圖2 同心球殼的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

求勻質(zhì)質(zhì)量為m，內(nèi)外半徑分別為R1和R2的同心球殼對(duì)其任一直徑為定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖2所示,以z軸為定軸,采用補(bǔ)償求和法.

設(shè)半徑分別為R1和R2的兩同心球體(均為實(shí)心)的質(zhì)量以及對(duì)定軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為m1與m2和I1與I2. 因前者是虛構(gòu)的, 取負(fù)號(hào).則

(4)

且m=m2-m1,式中ρ為質(zhì)量體密度，得

將m1,m2及ρ代入(4)得

(5)

即

(6)

為同心球殼對(duì)任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

討論此結(jié)果是有意義的.

(1)R1→R2=R時(shí)

此即為空球殼(二維)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

(2)R1→0,R2=R時(shí)

即為實(shí)心球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(上述結(jié)果均與文獻(xiàn)[1]118頁(yè)表3-1相關(guān)內(nèi)容吻合)

1.3 同心圓柱殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

再舉一例:一圓柱殼勻質(zhì),內(nèi)外半徑分別為R1和R2,圓柱長(zhǎng)l.求對(duì)過質(zhì)心且與底面平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 在柱坐標(biāo)系下(r,θ,z)可求得底半徑R,長(zhǎng)l，質(zhì)量m的圓柱體對(duì)過質(zhì)心且與底面平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(7)

依補(bǔ)償求和法,設(shè)兩同心圓柱體質(zhì)量分別為m1和m2;半徑分別為R1和R2.對(duì)該定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I1和I2,并由式(7)得

(8)

其中

代入式(8)

(9)

因m=m2-m1,于是

代入式(9)得

(10)

即為圓柱殼對(duì)過質(zhì)心且與底面平行的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

容易驗(yàn)證:

(1)對(duì)于空柱殼, R1→R2=R,有

(11)

(2)對(duì)于實(shí)心圓柱, R1→0,R2=R,有

(12)

2 補(bǔ)償求和法的數(shù)學(xué)表述及在工程力學(xué)上的應(yīng)用

2.1 補(bǔ)償求和法的數(shù)學(xué)表述

通過以上分析和論證,我們可將普通物理學(xué)中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組合定理加以改造.組合定理指出:剛體由n部分組成時(shí),第i部分對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ii,則剛體對(duì)該定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以寫成

(13)

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的補(bǔ)償求和法則如下.

剛體由n部分組成時(shí), 第i部分對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小為Ii,正負(fù)取決于該部分自身,即如果該部分質(zhì)量是實(shí)際存在的(real),則取“+”號(hào);如果是虛構(gòu)的(imaginary),則取“-”號(hào).剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫為

(14)

利用補(bǔ)償求和法則有時(shí)候可以很方便快捷求出某些復(fù)雜剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(特別是組合定理不能直接使用時(shí)), 下面僅舉一例作為此法之應(yīng)用.

2.2 補(bǔ)償求和法在工程力學(xué)上的應(yīng)用

有一模具,由柄(線密度為λ)和與柄相連的薄圓盤(面密度為σ)組成,柄長(zhǎng)l,圓盤半徑R2,中心被挖去半徑R1的圓.且四周亦被對(duì)稱地挖去4個(gè)小正方形,邊長(zhǎng)為a,其與小圓邊沿相距均為b, 如圖3所示.求模具對(duì)以O(shè)為心,且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(圖中空白處均表示被挖空部分).

圖3 模具的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

解析:分析得知,模具可看成由7個(gè)部分組成.即長(zhǎng)為l的柄(m1),半徑為R2的大圓盤(m2),半徑為R1的小圓盤(m3),4個(gè)小正方形(m4,m5,m6,m7).(除前兩個(gè)部分,其余5部分全部為虛構(gòu)的)設(shè)以上各部分對(duì)以O(shè)為心,且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小分別為I1,I2,I3,I4,I5,I6,I7.

根據(jù)補(bǔ)償求和法則,模具對(duì)同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I滿足

(15)

利用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平行軸定理易得

I6=I7=

故模具對(duì)過O點(diǎn)且垂直于圓盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

1 程守洙,江之永.普通物理學(xué).(第6版).北京：高等教育出版社，2006.118

The General Solution on Fixed Axis Moment Inertia of Rigid Body by Compensation Method

Feng Jindi

(Science and Technical Department, Xinyang Normal University Huarui College,Xinyang,Henan 464000)

We obtain a new conclusion about solution of moment of inertia about a fixed axis by guess and proof in this article, from the conclusion the combination theorem of moment of inertia is generalized. It will be specially useful when we frequently confront solving moment of inertia of some complicated-shaped rigid body on engineering mechanics. In the end we solve a problem for example by this conclusion to show its advantage of simpleness, convenience and speciality.

moment inertia; principle of superposition; compensation summation method

馮金地 (1984- ) ,男,碩士, 講師, 從事大學(xué)物理、理論力學(xué)，量子力學(xué)等課程的教學(xué)和納米磁性材料的研究工作.

2015-12-17)