☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 唐雪芳

以圓為背景的最值問(wèn)題探究

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 唐雪芳

處理解析幾何中的最值問(wèn)題的常規(guī)方法：將幾何問(wèn)題代數(shù)化后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，再利用函數(shù)最值問(wèn)題的方法求解.圓既是平面幾何的重要圖形，也是解析幾何的重要曲線，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題既可以利用幾何法，也可以利用代數(shù)法.此類問(wèn)題能有效考查考生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.本文以圓的有關(guān)最值問(wèn)題的求解為例，就其中所涉及的方法舉例分析.

一、引例說(shuō)明

例目（2016年上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是____________.

本題是以圓為背景、以向量為視角的最值問(wèn)題.坐標(biāo)法是解決向量問(wèn)題的重要方法，通過(guò)引出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)的數(shù)量積公式，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，進(jìn)而將所求最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理.三角換元法、均值不等式法、導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)最值問(wèn)題的重要方法.下面從幾個(gè)不同的視角解答此題.

二、解法探究

1.利用圓的參數(shù)方程

方法1：將曲線方程變形得x2+y2=1（y≥0），即為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1，在x軸上方的半圓.故由圓的參數(shù)方程可設(shè)P

2.利用均值不等式

評(píng)析：利用坐標(biāo)法將所求最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值處理，根據(jù)函數(shù)的特征，將函數(shù)平方后，轉(zhuǎn)化為可利用均值不等式的類型.本解法在構(gòu)造均值不等式過(guò)程中，通過(guò)將函數(shù)的局部進(jìn)行平方，構(gòu)造出和為定值的形式.利用均值不等式求最值時(shí)，要注意不等式成立的三個(gè)條件.

3.利用導(dǎo)數(shù)法

評(píng)析：導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的有力工具.對(duì)于常規(guī)最值方法不易求解的問(wèn)題，可借助導(dǎo)數(shù)方法解答.

三、變式演練

變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)A（2，0），曲線y=上的動(dòng)點(diǎn)B，第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且∠A=90°，則線段OC長(zhǎng)的最大值是_______.

欲求線段OC長(zhǎng)的最大值，應(yīng)先確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，而點(diǎn)C由定點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)B確定，故可從A、B入手，尋找點(diǎn)C的軌跡.

圖1

分別過(guò)點(diǎn)B、C作x軸的垂線BC、CE.由∠BAC=90°，得∠BAD+∠CAE=90°.而在Rt△CAE中∠ECA+∠CAE= 90°，所以∠ECA=∠BAD.

又在Rt△BAD與Rt△ACE中，AB=AC，所以Rt△BAD≌Rt△ACE，所以BD=AE，AD=CE.

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），且m2+n2=1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+n，2-m），所以|OC|=

評(píng)析：本題通過(guò)充分挖掘題目條件中幾何圖形的幾何性質(zhì)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理.

圖2

△AOB點(diǎn)O到直線l的距離

評(píng)析：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算能力.

變式3設(shè)直線l：mx+ny-1=0（m，n∈R*）與x、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，且l與圓x2+y2=19相交所得弦長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最小值.

因?yàn)橹本€l與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2，圓心到直線的距離d滿足d2=r2-1=19-1=18，所以d=32，即圓心（0，0）到直線mx+ny-1=0（m，n∈R*）的距離為，所以

又因?yàn)?/p>

評(píng)析：本題求解中利用了均值不等式m2+n2≥2mn的形式，由弦長(zhǎng)為定值得出“和”的定值，而面積可表示為“乘積”的形式，進(jìn)而求得面積的最小值.

變式4滿足條件AB=2，AC=?BC的△ABC的面積的最大值是_________.

△ABC

AB=2為定值，BC是變量.

評(píng)析：本解法由我們熟悉的解三角形中正、余弦定理和三角形面積公式切入是本題的一個(gè)自然的解法，但過(guò)程煩瑣，要有較高的運(yùn)算能力.

圖3

由已知得A（-1，0）、B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC=2BC，得，化簡(jiǎn)得（x-3）2+y2=8（x≠0）.所以C點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)（3，0）為圓心為半徑的圓（不包括圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）.

評(píng)析：由于AB邊是定值，為求其面積的最大值，只須求出頂點(diǎn)C到AB邊的最大值即可.而，說(shuō)明點(diǎn)C是運(yùn)動(dòng)變化的，那么它的軌跡是什么呢？到此我們的思維“進(jìn)入了”解析幾何的領(lǐng)域.

綜上，通過(guò)對(duì)一道題目的多角度分析，既能有效考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固程度，也能考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.F

方法2：以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.則