☉安徽省太和縣太和中學(xué) 岳峻

主元法破解極值點偏移問題

☉安徽省太和縣太和中學(xué) 岳峻

2016年全國卷Ⅰ的第21題是一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式非常簡潔，考查了函數(shù)的雙零點的問題，也是典型的極值點偏移的問題，是考生實力與潛力的綜合演練場.雖然大多學(xué)生理解其題意，但對于極值點偏移的本質(zhì)理解的深度欠佳，面對此類問題大多感到“似懂非懂”或“云里霧里”.

所謂主元法就是在一個多元數(shù)學(xué)問題中以其中一個為“主元”，將問題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問題，其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.作為一線的教育教學(xué)工作者，筆者嘗試用主元法破解函數(shù)的極值點偏移問題，理性的對此類進行剖析、探究，旨在為今后的高考命題和高考復(fù)習(xí)教學(xué)提供一點參考.

一、試題再現(xiàn)及解析

（一）題目

（2016年全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

本題第（1）小題含有參數(shù)的函數(shù)f（x）有兩個零點，自然想到研究其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理求得a的取值范圍是（0，+∞）.第（2）小題是典型的極值點偏移的問題，如何證明呢？

（二）官方解析

（2）不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，

所以x1+x2＜2等價于f（x1）＞f（2-x2），即f（2-x2）＜0.

由于f（2-x2）=-x2e2-x2 +a（x2-1）2，而f（x2）=（x2-2）ex2+ a（x2-1）2=0，

所以f（2-x2）=-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

.

令g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，則g′（x）=（x-1）（e2-x-ex），

所以當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，而g（1）=0，

故當(dāng)x＞1時，g（x）＜g（1）=0.從而g（x2）=f（2-x2）＜0，故x1+x2＜2.

二、對解析的分析

本問待證是兩個變量的不等式，官方解析的變形是x1＜2-x2，借助于函數(shù)的特性及其單調(diào)性，構(gòu)造以x2為主元的函數(shù).由于兩個變量的地位相同，當(dāng)然也可調(diào)整主元變形為x2＜2-x1，同理構(gòu)造以x1為主元的函數(shù)來處理.此法與官方解析正是極值點偏移問題的處理的通法.

不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x1∈（1，+∞），f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以x1+x2＜2等價于0=f（x2）＜f（2-x1），即f（x1）-f（2-x1）＜0.

令u（x）=f（x）-f（2-x）=xe2-x-（2-x）ex（x＜1），則

u′（x）=（x-1）（ex-e2-x）＞0，

所以u（x）＜u（1）=0，即f（x）＜f（2-x）（x＜1），

所以f（x1）=f（x2）＜f（2-x1）.

所以x2＜2-x1，即x1+x2＜2.

三、例談主元法破解極值點偏移問題

對文獻［1］的四道例題，筆者都能運用主元法順利破解，驗證主元法破解極值點偏移問題的可行性.

例1（2014年江蘇省南通市二模第20題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax+a，其圖像與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2.

（1）求a的取值范圍；

單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增.

因為f′（x）=ex-a單調(diào)遞增，

所以g（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，g（x）＞g（lna）=0，得證.

例2（2010年天津理科21題）已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈R）.

（1）求函數(shù)（fx）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）（略）；

（3）如果x1≠x2，且（fx1）=（fx2），證明x1+x2＞2.

解：（1）（fx）在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，（fx）=（f1）=極小值

只需證明f（x2）=f（x1）＞f（2lna-x1）即可.

（3）證明：f′（x）=e-（x1-x），f（x1）=（fx2），亦即= x，且x1＜1＜x2，

欲證明x1+x2＞2，即x2＞2-x1，只需證f（x2）-f（2-x1）＜0，即f（x1）-f（2-x1）＜0.

令g（x）=f（x）-f（2-x）（x＜1），則g（x）=xe-x-（2-x）ex-2，

因為g′（x）=（1-x）（e-x-ex-2）＞0，

所以g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，

故g（x）＜g（1）=0，得證.

例3（2011年遼寧理科21題）已知函數(shù)f（x）=lnxax2+（2-a）x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)y=（fx）的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明：f（′x）0＜0.

解：（1）若a≤0，（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；若a＞0，）上單調(diào)遞增，在）上單調(diào)遞減；（3）由（1）可得a＞0，f′（x）=-2ax+2-a在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

（2）（略）不妨設(shè)A（x，0），B（x，0），0＜x＜x，則0＜x＜＜x，

121212欲證明f′（x）＜0，即f′（x）＜f′），只需證明x=

000

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2＜0.

解：（1）f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當(dāng)x＜1時，f（x）＞0.

不妨設(shè)x1＜x2，因為f（x1）=f（x2），即

則x1＜0＜x2＜1，

要證明x1+x2＜0，即x1＜-x2＜0，

只需證明f（x1）＜f（-x2），即f（x2）＜f（-x2）.

而f（x2）＜f（-x2）等價于（1-x2）e2x2-1-x2＜0，

令g（x）=（1-x）e2x-1-x（x＞0），則g'（x）=（1-2x）e2x-1，

令h（x）=（1-2x）e2x-1，則h′（x）=-4xe2x＜0，

所以h（x）單調(diào)遞減，h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，所以g（x）單調(diào)遞減，

所以g（x）＜g（0）=0，得證.

對文獻［3］的例1，朱老師提供了3種方法，筆者也可運用主元法順利破解，請看以下解析，豈不更為簡捷？

例5函數(shù)（fx）=x4-x3與直線）交于A（x1，a），B（x2，a），證明：x1+x2＜2.

若0＜x1＜1，1＜x2＜，要證明x1+x2＜2，即0＜x1＜2-x2＜1，

只需證明（fx1）＞（f2-x2），即（fx）2＞（f2-x2）.

令g（x）=（fx）-（f2-x）（x＞1），

所以g（x）＞g（1）=0，得證.

1212

四、通法提煉

一般地，主元法破解極值點偏移問題思路是：

第一步：根據(jù)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）建立等量關(guān)系，并結(jié)合f（x）的單調(diào)性，確定x1，x2的取值范圍；

第二步：不妨設(shè)x1＜x2，將待證不等式進行變形，進而結(jié)合原函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化.如例1、例3中的待證是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，因此應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化，例2、例4中的待證是應(yīng)用原函數(shù)的單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化；

第三步：構(gòu)造關(guān)于x1（或x2）的一元函數(shù)T（x）=f（xi）-f（2a-xi）（i=1，2），應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并借助于單調(diào)性，達(dá)到待證不等式的證明.

五、通性通法的感悟

極值點偏移問題在高考中幾乎年年可見，深受高考命題專家的青睞，年年歲歲意相似，歲歲年年題不同，屬于高考高頻題型.對于此類問題的研究，多位方家已經(jīng)作了探討.

文［1］從高等數(shù)學(xué)的視角闡述了問題的背景，指明并提煉出極值點偏移問題的解題策略：若（fx）的極值點為x0，則根據(jù)對稱性構(gòu)造一元差函數(shù)F（x）=（fx0+x）-（fx0-x），巧借F（x）的單調(diào)性以及F（0）=0，借助于（fx）1=（fx2）=［fx0-（x0-x2）］與f［x0+（x0-x）2］=（f2x0-x）2，比較x2與2x0-x1的大小，即比較x與的大小.有了這種解題策略，我們師0生就克服了解題的盲目性，細(xì)細(xì)咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩，但是，此解法并不利于學(xué)生思維的提升，比較突兀，有“模式化”的曲高和寡之嫌疑，顯然不是自然的想法，“想說愛你不容易.”教師的自然想法卻讓學(xué)生屢屢想不到、想不通、學(xué)不會，加重其自卑感；順應(yīng)學(xué)生的思維，才能對接學(xué)生的認(rèn)知，貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，化用于無痕，活用于無間，妙用于無限，神用于無形，走有限之路，飲不竭之泉.

文［2］結(jié)合文［1］的四個例題驗證了轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均的求解的可行性，提煉出極值點偏移問題的又一解題策略：根據(jù)f（x1）=f（x2）建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對數(shù)平均不等式鏈求解.這種解題策略，師生都感到運算量繁雜，有一定的技巧要求，而且對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈也有超綱的嫌疑，在解答過程中存在能否直接運用的疑問［4］，“想你，但，我不會愛你！”

其實，解決極值點偏移問題的上兩種方法，實質(zhì)上都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)，因此，主元法才是破解極值點偏移問題的通法，親切自然，美感靈氣.這一點也可以從官方答案得到印證.對于官方提供的參考答案，是命題專家經(jīng)過反復(fù)考量的，承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向，滲透著創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)著高考改革的發(fā)展趨向，同時也蘊含著命題者解題的思維歷程，蘊含著其問題的本質(zhì).我們多一份敬畏，將參考答案激活，用“冰冷的美麗”促進學(xué)生“火熱的思考”，多一份收獲.

六、質(zhì)疑

文［1］中提到“利用極值點對折，構(gòu)造一元差函數(shù)F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）的解題策略”是極值點偏移問題的本質(zhì)之所在.文［2］中又稱“極值點偏移問題的另一本質(zhì)回歸—對數(shù)平均.”到底哪一種方法是極值點偏移問題的本質(zhì)？極值點偏移問題的本質(zhì)可否有多種？某一種解題策略是否為此類問題的本質(zhì)又如何判斷？有待于方家探討.

1.邢友寶.極值點偏移問題的處理策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（7）.

2.賴淑明.極值點偏移問題的另一本質(zhì)回歸［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（4）.

3.朱紅巖.極值點偏移的判定方法和運用策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（3）.

4.岳峻，童永奇.對數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明與變式探究［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師版），2016（11）.Z