劉秋武

（韓山師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，廣東 潮州 521041）

測節(jié)儀測量透鏡組基點的討論

劉秋武

（韓山師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，廣東 潮州 521041）

透鏡組的基點在幾何光學(xué)中占有重要的地位．對平行光束中不同的入射光線經(jīng)過透鏡組后的出射情況進行分析，討論了透鏡組像方節(jié)點到測節(jié)儀轉(zhuǎn)軸不同距離時的成像規(guī)律和用測節(jié)儀測量透鏡組基點的方法，以加深對透鏡組基點的理解和用測節(jié)儀測量透鏡組基點的認(rèn)識．

透鏡組；幾何光學(xué)；基點；測節(jié)儀；成像規(guī)律

透鏡組的基點是指透鏡組的主點、節(jié)點和焦點，包括物方和像方共6個點，它們是透鏡組的重要參數(shù)．如果確定了透鏡組的基點，則入射光線通過透鏡組的行為便可完整的描述出來．測量透鏡組基點的方法有焦距儀法和測節(jié)儀法［1-5］．焦距儀法是用焦距儀測量透鏡組焦點以及透鏡與焦平面間的相對距離來求出基點的方法，具有較高的測量精度．測節(jié)儀法是根據(jù)經(jīng)過透鏡組物方節(jié)點的入射光線，其出射光線的延長線必過像方節(jié)點并與入射光線平行這一性質(zhì)來測定節(jié)點的．目前很多高校都有開設(shè)用測節(jié)儀測量透鏡組基點的實驗，在實驗教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有3個疑問：1）光學(xué)教科書多以節(jié)點的角放大率為1來說明過物方節(jié)點的入射光線，其出射光線過像方節(jié)點并與入射光線平行出射，沒有給出詳細(xì)的證明．2）不管透鏡組在測節(jié)儀滑軌上任何位置，物方節(jié)點和像方節(jié)點都是存在的，為什么轉(zhuǎn)動測節(jié)儀前后若像點在橫向方向基本不動，則轉(zhuǎn)軸所在的位置為透鏡組的像方節(jié)點？其他位置會移動的像點就不是呢？3）在尋找清晰地沒有橫向位移的像點過程中，有沒有規(guī)律判斷像方節(jié)點是靠近還是遠(yuǎn)離了測節(jié)儀的轉(zhuǎn)軸，以便更有目的性地對透鏡組的位置進行調(diào)節(jié)？本文就以上問題進行討論，以加深對透鏡組基點的理解和用測節(jié)儀測量透鏡組基點的認(rèn)識．

1 平行光束通過透鏡組的成像

為描述方便，假設(shè)透鏡組由兩個像方焦距分別為f1′和-f2′的凸透鏡L1和凹透鏡L2組成，兩透鏡相距為t，置于空氣中，空氣的折射率近似為1，如圖1所示.

圖1　光線通過透鏡組時的行為

設(shè)透鏡組的主光軸與直角坐標(biāo)系的z軸重合，由于透鏡組以z軸旋轉(zhuǎn)對稱，故只需討論位于xz平面內(nèi)的入射光線.對于 xz平面內(nèi)的光線，可由它通過的點坐標(biāo)（x，z）和光線的傾角α確定.一束平行光以傾角α入射透鏡組，其中經(jīng)過參考面Σ0與主光軸交點的光線①，在參考面Σ0上的坐標(biāo)為=（α，0）（右上標(biāo)表示光線①，右下標(biāo)為參考面的編號，下同）.在近軸條件下，由矩陣光學(xué)［6-8］可知，光線傳播到透鏡L1所在的參考面Σ1上的坐標(biāo)為

其中，-l1是透鏡L1到參考面 Σ0的距離（這里 l1是負(fù)值）.設(shè)透鏡組的系統(tǒng)矩陣為，元素a、b、 c、d是高斯常數(shù)，并有關(guān)系bc-ad=1，則光線傳播到透鏡L2所在的參考面Σ2上的坐標(biāo)為

上式表示出射光線的出射方向與入射光線平行，并把這個入射點稱為物方節(jié)點N1.作出射光線的延長線交主光軸于N2點，把這點稱為像方節(jié)點.由式（2）可知出射光線在參考面Σ2上的高度為

在△N2AB中，當(dāng)α很小時，透鏡L2到像方節(jié)點N2的距離

由式（3）可知，過物方節(jié)點 N1的入射光線，其出射光線的延長線必過像方節(jié)點N2并與入射光線平行，即角放大率為1，透鏡L1到物方節(jié)點 N1距離-l1和透鏡L2到像方節(jié)點N2距離-l2可由式（3）和式（5）確定.

當(dāng)透鏡組處于同一媒質(zhì)時，兩主點分別與兩節(jié)點重合.假設(shè)平行光束的另一光線②與物方主平面的交點為D，坐標(biāo)為=（α，-h），在近軸條件下，光線傳播到參考面Σ1上的坐標(biāo)為

從參考面Σ1通過透鏡組傳播到參考面 Σ2上的坐標(biāo)為

由式（3）和式（7）可知，這兩條光線經(jīng)過透鏡組后的傾角是不同的，它們的交點P便是這束平行光的匯聚點.設(shè)參考面 Σ2到經(jīng)過點 P的焦平面Σ3的距離為l3，光線①在焦平面Σ3的坐標(biāo)為

光線②在焦平面Σ3的坐標(biāo)為

由圖1可知透鏡組的像方焦距：

像點P在焦平面上的高度為

作出射光線CP的反向延長線交像方主平面于E點，在△EGP中，當(dāng)α很小時，有：

由上式可知，光線②在兩主平面的橫向放大率是1，其出射光線必過匯聚點P.

2 像點位置隨透鏡組像方節(jié)點與轉(zhuǎn)軸距離變化的規(guī)律

設(shè)有一束平行光平行于主光軸入射到透鏡組會聚于像方焦點，保持入射平行光束的方向不變，以主光軸上的一點為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動透鏡組.當(dāng)透鏡組位于轉(zhuǎn)動后光軸上的不同位置時，像點的移動情況是不同的.

2．1轉(zhuǎn)軸與透鏡組像方節(jié)點重合

透鏡組轉(zhuǎn)動前的物方節(jié)點、像方節(jié)點和像方焦點分別為N1、N2和F′，使透鏡組繞像方節(jié)點N2并垂直于主光軸轉(zhuǎn)動一小角度 α，轉(zhuǎn)動后的物方節(jié)點為N′1，如圖2所示.轉(zhuǎn)動前后的光路分別用實線和虛線表示.過轉(zhuǎn)動后的物方節(jié)點N′1的光線AN′1，其出射光線必過像方節(jié)點N2并平行于入射方向出射，與轉(zhuǎn)動后的焦平面交于P點，這就是轉(zhuǎn)動后像點的位置.由光線經(jīng)過兩主平面的橫向放大率是1，取N2E=N′1C，連接 EP，則 EP便是光線 BC的出射光線.由圖2可知，轉(zhuǎn)動前后焦點由F′縱向移到P點，沒有橫向移動.由于像屏在透鏡組轉(zhuǎn)動時并沒有轉(zhuǎn)動，因此，像屏看到的像是轉(zhuǎn)動后的像點 P的光錐截面，像點變得稍微模糊.

2．2轉(zhuǎn)軸與透鏡組像方節(jié)點不重合

當(dāng)轉(zhuǎn)軸O與像方節(jié)點 N2不重合，轉(zhuǎn)動透鏡組后的像點P不在Z軸上.下面分4種情況討論轉(zhuǎn)軸O到像方節(jié)點 N2不同距離時，像點 P的位置變化情況.

1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點N2的右側(cè)并距離較遠(yuǎn)時，像點的變化情況如圖3（a）所示.透鏡組轉(zhuǎn)動前，平行光束匯聚于焦點F′，繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動角度α后，經(jīng)物方節(jié)點N′1的光線 AN′1必經(jīng)過像方節(jié)點N′2平行于入射方向出射，與轉(zhuǎn)動后的焦平面交于P點，這就是入射平行光束的匯聚點.設(shè)轉(zhuǎn)軸O與像方節(jié)點N2的距離 ON2=ON′2=Δz，在 ΔN′2BP中 N′2B= N2F′=f′，有BP=αf′.在ΔOBD中，DB=α（Δz-f′），于是可得像點P在轉(zhuǎn)動后的像屏上的位置DP=DB+BP=αΔz，相對于轉(zhuǎn)動前的焦點F′，無論橫向還是縱向都發(fā)生了移動.當(dāng)轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點的距離Δz越大時，像點P偏離z軸越遠(yuǎn).

2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點N2的右側(cè)并距離較近時，像點的變化情況如圖 3（b）所示，像點的位置DP=OC=αΔz，由于轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點的距離 Δz較小，像點P偏離z軸較近.當(dāng)轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點重疊即Δz=0時，像點的位置DP=0，即P點在z軸上，沒有橫向移動，如圖2所示.

圖2　轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點重合時轉(zhuǎn)動透鏡組前后像點的位置

3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點的左側(cè)并距離較近時，像點的變化情況如圖3（c）所示.像點的位置 DP= N′2C=αΔz，由于轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點的距離Δz較小，像點P偏離z軸較近，與圖3（b）比較，像點 P在 z軸的下方.

4）當(dāng)轉(zhuǎn)軸O在像方節(jié)點N2的左側(cè)并距離較遠(yuǎn)時，像點的變化情況如圖 3（d）所示.在 ΔOBD中，BD=α（Δz+f′）.在ΔN′2BP中，BP=αf′，于是可得像點P在轉(zhuǎn)動后的像屏上的位置DP=DB-BP=αΔz，相對于轉(zhuǎn)動前的焦點 F′，像點 P的位置發(fā)生了移動.當(dāng)轉(zhuǎn)軸與像方節(jié)點的距離Δz越大時，像點P偏離z軸越遠(yuǎn).

圖3　轉(zhuǎn)軸O與像方節(jié)點N2不重合時轉(zhuǎn)動透鏡組前后像點的位置

2．3像點隨透鏡組移動的變化規(guī)律

當(dāng)透鏡組沿著轉(zhuǎn)動后的主光軸z′從左往右移動時，光線①從物方節(jié)點N1入射后在像方節(jié)點N2平行出射，交像屏于P1點，如圖4所示；繼續(xù)向右移動透鏡組，光線②的像點為 P2，它比 P1到原主光軸 z的距離小；當(dāng)透鏡組的像方節(jié)點 N2與轉(zhuǎn)軸 O重合時，像點P3位于原主光軸 z上，像點 P4、P5是透鏡組遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸時的情況，像點是在原主光軸z的另一側(cè)，而且透鏡組越遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸，像點越偏離主光軸.當(dāng)透鏡組逆時針轉(zhuǎn)動時，也有類似的規(guī)律.因此，可應(yīng)用上述規(guī)律，將透鏡組轉(zhuǎn)過某一小角度后并保持不變，在測節(jié)儀導(dǎo)軌上按一定方向（順著光線或逆著光線）移動透鏡組，并改變像屏的位置，使其成清晰像點，觀察像點的橫向位置變化.如果像點越來越偏離主光軸 z，說明像方節(jié)點遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸；相反，如果像點越來越靠近主光軸z，說明像方節(jié)點越接近轉(zhuǎn)軸；如果像點從主光軸的一側(cè)移動到另一側(cè)，則透鏡組的像方節(jié)點經(jīng)過測節(jié)儀的轉(zhuǎn)軸.當(dāng)像方節(jié)點接近轉(zhuǎn)軸時，可適當(dāng)增大轉(zhuǎn)角α，便于觀察，反復(fù)細(xì)調(diào)，直至找到清晰地沒有橫向位移的像點，此時透鏡組像方節(jié)點位于測節(jié)儀轉(zhuǎn)軸上.

圖4　像方節(jié)點距轉(zhuǎn)軸不同距離時的像點位置的變化規(guī)律

3 結(jié)束語

在用測節(jié)儀測量透鏡組基點時，必須在理解光線經(jīng)過節(jié)點、主點性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)移動測節(jié)儀導(dǎo)軌上透鏡組前后像點的變化判斷透鏡組的像方節(jié)點是靠近還是遠(yuǎn)離了轉(zhuǎn)軸，是保證實驗順利進行的重要環(huán)節(jié)．要緊緊抓住節(jié)點角放大率為1這一性質(zhì)，指導(dǎo)實驗過程中看到的現(xiàn)象．當(dāng)透鏡組從轉(zhuǎn)過一小角度的測節(jié)儀導(dǎo)軌的一端向另一端移動時，比較像點偏離原來主光軸的大小和方位，判斷透鏡組的像方節(jié)點是靠近還是遠(yuǎn)離了轉(zhuǎn)軸，逐步調(diào)整透鏡組的位置，直至找到清晰地沒有橫向位移的像點．通過探究像點變化與透鏡組移動之間的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力，并加深對透鏡組基點的理解和用測節(jié)儀測量透鏡組基點的認(rèn)識．

［1］ 楊述武．普通物理實驗（三、光學(xué)部分）［M］．3版．北京：高等教育出版社，2000：49-56．

［2］ 朱鶴年．新概念基礎(chǔ)物理實驗講義［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2013：195-196．

［3］ 劉竹琴．橫向放大率法測定光具組的基點［J］．大學(xué)物理，2006，25（8）：40-42．

［4］ 馮笙琴，朱世坤．基點測定實驗中透鏡的選擇與搭配［J］．物理實驗，1990，10（3）：134-136．

［5］ 母國光，戰(zhàn)元齡．光學(xué)教程［M］．北京：高等教育出版社，2009：40-42．

［6］ 蔡履中，王成彥，周玉芳．光學(xué)［M］．修訂版．濟南：山東大學(xué)出版社，2002：34-41．

［7］ 葉玉堂，饒建珍，肖峻，等．光學(xué)教程［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2013：195-196．

［8］ 王仕璠，朱自強．近代光學(xué)原理［M］．成都：電子科技大學(xué)出版社，1998：3-12．

Discussion on the measurement of cardinal points of a compound lens using nodal slide

LIU Qiu-wu
School of Physical and Electrical Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong 521041，China）

The cardinal points play an important role in the geometrical optics．The spread of optical imaging is analyzed when a collimated light beam passes through a compound lens，then the image rule is discussed when the rotational axis of the nodal slide does not coincident with the image nodal point，and the measurement method of cardinal points of a compound lens is presented．These can be used to deepen students’comprehensive understanding of the cardinal points of compound lens and measurement with nodal slide．

compound lens；geometrical optics；cardinal points；nodal slide；image rule

O 435．2

A

1000-0712（2016）10-0035-04

2015-12-02；

2016-03-07

2014年廣東省高等教育教學(xué)改革項目（GDJG20142402）．

劉秋武（1975—），男，廣東潮州人，韓山師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院實驗師，碩士，從事物理學(xué)實驗教學(xué)和光學(xué)傳感測試研究工作．