趙 崢，劉文彪，張軒中

（1．北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875；2．北京市科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì) 蝌蚪五線譜網(wǎng)，北京 100101）

引力波與廣義相對(duì)論

趙 崢1，劉文彪1，張軒中2

（1．北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875；2．北京市科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì) 蝌蚪五線譜網(wǎng)，北京 100101）

介紹了引力波的廣義相對(duì)論理論基礎(chǔ)．介紹如何通過雙星周期的時(shí)間改變間接檢測(cè)引力輻射，如何利用引力波的偏振效應(yīng)直接檢測(cè)引力波．

引力波；廣義相對(duì)論；雙星；偏振；LIGO

今年2月11日，美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)宣布：人類首次探測(cè)到了引力波．并宣稱，這次探測(cè)到的引力波來自13億年前的2個(gè)黑洞的碰撞．這一爆炸性新聞在社會(huì)上引起了巨大反響，“引力波”與“黑洞”2個(gè)耀眼的名詞同時(shí)躍入了廣大讀者的眼簾［1］．

這次探測(cè)到的引力波事件，實(shí)際發(fā)生在2015年9月14日（因此標(biāo)記為 GW150914）．有關(guān)研究團(tuán)隊(duì)出于謹(jǐn)慎，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了反復(fù)推敲，直到確認(rèn)無誤后，才予以公布，所以發(fā)表時(shí)間推遲了近5個(gè)月．因此可以認(rèn)為，他們的發(fā)現(xiàn)可信度很高，大多數(shù)科學(xué)家均對(duì)這一發(fā)現(xiàn)予以了正面肯定．

引力波的發(fā)現(xiàn)是科學(xué)史上的一件大事，是對(duì)愛因斯坦廣義相對(duì)論的又一重大驗(yàn)證．近來，報(bào)道這一發(fā)現(xiàn)的文章很多，但一般都不介紹產(chǎn)生和探測(cè)引力波的基本原理．這篇文章將向具備大學(xué)物理知識(shí)的教師、學(xué)生和一般讀者簡(jiǎn)單介紹引力波的理論基礎(chǔ)和現(xiàn)有探測(cè)手段的基本原理［2-5］．

1 引力場(chǎng)以光速傳播

1915年，愛因斯坦發(fā)表了廣義相對(duì)論，這一理論既可以看作他的狹義相對(duì)論的發(fā)展，也可以看作牛頓萬有引力定律的發(fā)展．

廣義相對(duì)論認(rèn)為，萬有引力不同于電磁力等人們熟悉的力，本質(zhì)上是一種幾何效應(yīng)，是時(shí)空彎曲的表現(xiàn)．

在牛頓理論中，萬有引力是瞬時(shí)傳播的，從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)不需要時(shí)間，也就是說引力的傳播速度可視為無窮大．

在愛因斯坦的廣義相對(duì)論中，時(shí)空彎曲情況（即萬有引力）的傳播速度不是無窮大，而是與光速相同．

廣義相對(duì)論的基本方程是愛因斯坦場(chǎng)方程［2-7］：

方程的左邊表示時(shí)空彎曲的情況，是幾何量；其中g(shù)μν是度規(guī)張量，可以簡(jiǎn)單理解為萬有引力定律中的引力勢(shì)；但引力勢(shì)一般只有1個(gè)分量，而gμν有16個(gè)分量（當(dāng)μ、ν分別取0，1，2，3時(shí).其中0對(duì)應(yīng)時(shí)間坐標(biāo)；1、2、3對(duì)應(yīng)空間坐標(biāo)），不過由于對(duì)稱性（gμν=gνμ），其中只有10個(gè)分量獨(dú)立，所以度規(guī)張量所含信息量要多于通常所說的“引力勢(shì)”；Rμν和 R分別為里奇張量和曲率標(biāo)量，它們是由度規(guī)及其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)組成的非線性函數(shù).方程的右邊是物質(zhì)項(xiàng)，Tμν是能量動(dòng)量張量，由物質(zhì)的能量、動(dòng)量、能流和動(dòng)量流組成.式中常數(shù)

其中G是萬有引力常數(shù)，c是真空中的光速.

場(chǎng)方程（1）告訴我們：物質(zhì)的存在和運(yùn)動(dòng)如何決定時(shí)空的彎曲.人們求解場(chǎng)方程，就是要解出滿足方程（1）的度規(guī)張量 gμν，知道度規(guī)張量就可以算出時(shí)空的曲率，從而了解時(shí)空彎曲的情況.

考慮到式中張量的對(duì)稱性（Rμν=Rνμ，gμν=gνμ，Tμν=Tνμ），場(chǎng)方程（1）是由10個(gè)二階非線性偏微分方程組成的方程組.遺憾的是，這10個(gè)方程中含有4個(gè)恒等式，獨(dú)立的方程只剩6個(gè).6個(gè)方程無法決定10個(gè)未知函數(shù)gμν，于是人們引進(jìn)所謂“坐標(biāo)條件”.由4個(gè)方程組成的坐標(biāo)條件，從物理上講就是選擇坐標(biāo)系.加上坐標(biāo)條件后，我們就有了10個(gè)方程，待求解的函數(shù)也是10個(gè)，正好自洽，這一點(diǎn)與電磁學(xué)類似.用電磁四矢Aμ表述的麥克斯韋方程組中含有一個(gè)恒等式，因而要引進(jìn)規(guī)范條件，例如洛倫茲規(guī)范或庫(kù)侖規(guī)范.加上規(guī)范條件后就得到了4個(gè)方程，用4個(gè)方程恰好可以解出4個(gè)電磁四矢的分量.所以，廣義相對(duì)論中的“坐標(biāo)條件”也可以視為規(guī)范條件［2-4］.

場(chǎng)方程的非線性耦合很強(qiáng)，很少能求出嚴(yán)格解.研究者往往采用近似方法求解，其中一種線性近似方法常可以在引力場(chǎng)較弱的情況下使用.這種方法是，在時(shí)空彎曲得不太厲害的情況下，可以假想度規(guī)張量偏離平直的閔可夫斯基度規(guī)很小，gμν可寫成

其中ημν是平直的閔可夫斯基度規(guī)：

偏離平直情況的函數(shù)hμν很小，即

在廣義相對(duì)論中，經(jīng)常采用?？私ㄗh的諧和坐標(biāo)條件，這個(gè)條件決定的時(shí)空坐標(biāo)滿足調(diào)和方程.諧和坐標(biāo)條件的優(yōu)點(diǎn)是，在引力場(chǎng)趨于零時(shí)，可以自動(dòng)回到平直時(shí)空的慣性坐標(biāo)系.

可以證明，在弱場(chǎng)線性近似式（3）和諧和坐標(biāo)條件下，場(chǎng)方程（1）可化為

其中，□為達(dá)朗貝爾算符，

方程（5）的解為

值得注意的是，這是一個(gè)推遲解.它表明，t時(shí)刻空間r處的引力場(chǎng)，由此前時(shí)刻位于′處的源決定.這就是說，物質(zhì)源的變化所造成的引力場(chǎng)的變化，不是瞬時(shí)傳播的，而是以光速傳播的.這種情況與平直時(shí)空的電磁場(chǎng)情況類似.在電動(dòng)力學(xué)中，我們知道，在洛倫茲規(guī)范下麥克斯韋電磁四矢方程可寫為

方程（8）的解恰是我們熟悉的電磁勢(shì)的推遲解：

它表明電磁場(chǎng)是以光速傳播的.

2 對(duì)引力波的預(yù)言和討論

既然引力場(chǎng)本質(zhì)上是時(shí)空彎曲效應(yīng)，這種效應(yīng)又以光速傳播，那么引力源運(yùn)動(dòng)、變化所造成的時(shí)空彎曲改變也一定會(huì)以光速傳向遠(yuǎn)方，這就是引力波.愛因斯坦在發(fā)表廣義相對(duì)論的第2年（1916年），就預(yù)言了引力波的存在.

不過，很快就弄清楚了：不存在球?qū)ΨQ的引力波，這是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了一條定理——伯克霍夫定理.它告訴我們，當(dāng)球?qū)ΨQ引力源的外部是真空的時(shí)候，如果引力源在變化過程中保持嚴(yán)格的球?qū)ΨQ，例如球?qū)ΨQ的膨脹、收縮或脈動(dòng)（即脹縮交替），則外部時(shí)空彎曲的情況將不會(huì)隨時(shí)間變化，也就是說外部時(shí)空會(huì)一直保持靜態(tài)，不會(huì)有引力波發(fā)出.

對(duì)于是否存在非球?qū)ΨQ引力波的探討，也是一波三折.1936年，在研究平面引力波時(shí)，愛因斯坦曾一度誤以為不存在引力波，后經(jīng)審稿人指出錯(cuò)誤后，又改而認(rèn)為存在柱對(duì)稱的引力波［8］.

考慮到地球附近不存在足夠強(qiáng)的、易于觀測(cè)到的引力波，一般認(rèn)為人類可能探測(cè)到引力波的波源都距離我們十分遙遠(yuǎn).因此，不管這些引力波的波源具有什么對(duì)稱性，誕生時(shí)引力波的對(duì)稱性如何，強(qiáng)度多大，來到我們附近的引力波都可以近似看作強(qiáng)度很弱的平面波.

下面我們就以平面波為例，來說明引力波的性質(zhì).我們用與電磁波做比較的方式來進(jìn)行討論.

當(dāng)電流源Jμ為零時(shí)，方程（8）化為波動(dòng)方程.它表明電磁場(chǎng)以波動(dòng)的方式傳播，傳播速度為光速.同樣，當(dāng)物質(zhì)源Tμν為零時(shí)，方程（5）也化成波動(dòng)方程，這說明引力場(chǎng)與電磁場(chǎng)類似，也以波動(dòng)方式傳播，引力波的傳播速度也是光速［2-5］.

不難看出，電磁波有2個(gè)獨(dú)立的極化矢量，且都與波矢垂直，所以電磁波是有兩種獨(dú)立極化方式的橫波.研究表明，引力波也只有2種獨(dú)立極化方式，而且極化方向也都與引力波的波矢方向垂直.所以，引力波也是有2種獨(dú)立極化方式的橫波.

量子電動(dòng)力學(xué)告訴我們，光量子是靜質(zhì)量為零、自旋為1的粒子.引力場(chǎng)量子化的研究也告訴我們，如果有引力子的話，它也應(yīng)該是靜質(zhì)量為零（“靜質(zhì)量為零”與“傳播速度為光速”是互為因果的）的粒子，但它不是自旋為1的矢量粒子，而是自旋為2的張量粒子.

需要說明的是，迄今為止，引力場(chǎng)量子化的企圖一直未能成功，研究遇到很大困難，這是一個(gè)目前正在探討的課題.比較有希望獲得突破的是“超弦”和“圈量子引力”2種方案，感興趣的讀者可參看有關(guān)書籍和文獻(xiàn).

人類目前對(duì)引力波的實(shí)驗(yàn)探測(cè)，是把它作為連續(xù)的經(jīng)典波來對(duì)待的，還沒有考慮引力波量子化后的性質(zhì).

3 引力波的偏振效應(yīng)

廣義相對(duì)論認(rèn)為，彎曲時(shí)空中的自由質(zhì)點(diǎn)（即不受引力之外任何力作用的質(zhì)點(diǎn)），將作慣性運(yùn)動(dòng).彎曲時(shí)空中沒有直線，但有直線在彎曲時(shí)空中的推廣——測(cè)地線.自由質(zhì)點(diǎn)和自由光線就沿測(cè)地線作慣性運(yùn)動(dòng).在廣義相對(duì)論采用的黎曼幾何中，測(cè)地線就是短程線.它是在四維時(shí)空中長(zhǎng)度取極值的線，但不一定是最短線，還可能是最長(zhǎng)線.實(shí)際上，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)，短程線恰是2點(diǎn)間的最長(zhǎng)線，而不是最短線，這是不熟悉廣義相對(duì)論的人容易誤解的事情.

愛因斯坦建立廣義相對(duì)論時(shí)，認(rèn)為他的理論有2個(gè)基本方程，一個(gè)就是前面說到的場(chǎng)方程（1），它表明“物質(zhì)告訴時(shí)空如何彎曲”.另一個(gè)是運(yùn)動(dòng)方程，即測(cè)地線方程：

它表明“時(shí)空告訴物質(zhì)如何運(yùn)動(dòng)”.式中，τ為固有時(shí)，即質(zhì)點(diǎn)自己“經(jīng)歷”的真實(shí)時(shí)間.叫做聯(lián)絡(luò)，它由度規(guī)及其一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成，相當(dāng)于牛頓引力論中的“引力場(chǎng)強(qiáng)”．式（10）中，重復(fù)的上下指標(biāo)代表從 0到3求和，這是愛因斯坦提出的“慣例”，也是他對(duì)數(shù)學(xué)做出的一點(diǎn)小貢獻(xiàn)：此規(guī)定省略了求和符號(hào)，使方程更加簡(jiǎn)潔．

后來的研究表明，從場(chǎng)方程可以推出運(yùn)動(dòng)方程，因此，廣義相對(duì)論的基本方程歸根結(jié)底只有一個(gè)，那就是場(chǎng)方程．

一些人研究了2個(gè)相鄰的自由質(zhì)點(diǎn)在彎曲時(shí)空中沿測(cè)地線運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間的距離如何變化．他們得到了測(cè)地偏離方程［2-4］：

此式給出了2個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)加速度.注意，這是引力場(chǎng)產(chǎn)生的特別的潮汐效應(yīng)，純粹的慣性力場(chǎng)無此效應(yīng).這是因?yàn)椤跋鄬?duì)加速度”起源于非零的時(shí)空曲率，而平直時(shí)空中的曲率張量肯定為零.

作為廣義相對(duì)論基礎(chǔ)的等效原理告訴我們，引力場(chǎng)與慣性場(chǎng)等效：在時(shí)空一點(diǎn)的鄰域，任何物理效應(yīng)都無法區(qū)分引力場(chǎng)與慣性場(chǎng).但要注意，“等效”僅限于時(shí)空一點(diǎn)的鄰域，如果考慮2個(gè)以上的時(shí)空點(diǎn)，引力場(chǎng)與慣性場(chǎng)肯定可以區(qū)分.2個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)距離是否發(fā)生變化，就是區(qū)分引力場(chǎng)與慣性場(chǎng)的方法之一.所以，等效原理是一個(gè)局域性原理.

現(xiàn)在我們把測(cè)地偏離方程應(yīng)用于平面引力波的研究.

首先讓我們來看一組瞬時(shí)相對(duì)靜止的自由質(zhì)點(diǎn)（例如都在引力場(chǎng)中自由下落），它們的相對(duì)速度為零，即

從式（11）不難看出，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)加速度為

或

考慮沿x3軸運(yùn)動(dòng)的平面引力波，它的波面處在垂直于x3軸的x1x2平面內(nèi).設(shè)在此平面內(nèi)有一組相對(duì)瞬時(shí)靜止且排成圓圈的自由質(zhì)點(diǎn)，還有一位處于圓心的自由下落觀測(cè)者，觀測(cè)者到各點(diǎn)的距離用坐標(biāo)差δx1和δx2來描述.

在式（3）所示的弱場(chǎng)線性近似下，按照曲率張量的定義，不難算出不為零的、獨(dú)立的曲率張量分量?jī)H剩下2個(gè)：

式中

式（16）寫成矩陣形式為

上述相對(duì)加速度是引力波的極化（偏振）效應(yīng)（四極共振）產(chǎn)生的，是引力波造成的一種潮汐效應(yīng).研究表明，引力波的偏振有2種類型，一般用⊕和?來標(biāo)記.

即分別決定于h11和h12隨時(shí)間的變化.

表1和表2給出了上述2種情況下算出的圓周上各點(diǎn)的相對(duì)加速度.圖1和圖2畫出了圓周上各自由質(zhì)點(diǎn)相對(duì)加速度的方向，及圓周的形變趨勢(shì)［4］.

表1　⊕型偏振，即α＞0，

表2　?型偏振，即α＝0，

圖1中位于正圓周上的自由質(zhì)點(diǎn)，在引力波四極共振下，先是變成左右拉伸、上下壓縮的橢圓，然后退回正圓，再形成上下拉伸、左右壓縮的橢圓，……，這樣反復(fù)交替．圖2中的正圓，也是反復(fù)拉伸壓縮，兩種正交的橢圓不斷交替．顯然，這是一種引力波偏振產(chǎn)生的潮汐加速度所特有的“剪切效應(yīng)”．

圖1　⊕型偏振，即α＞0，

圖2　?型偏振，即　α=0，β＞0

4 引力輻射能的計(jì)算

現(xiàn)在我們來介紹引力源對(duì)引力能的輻射，也就是計(jì)算引力波從輻射源帶走的能量［2，3］．

推遲解式（7）可簡(jiǎn)寫為

式中

為引力源物質(zhì)的質(zhì)量四極矩，μ為靜質(zhì)量密度.

式（22）可改寫為

這是在弱場(chǎng)近似下得到的結(jié)果.式（24）表明引力波輻射按多極輻射展開時(shí)，最低階為四極輻射，偶極輻射沒有貢獻(xiàn).實(shí)際上，偶極矩部分是決定場(chǎng)源質(zhì)心位置r0的，.由于孤立系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng)，所以不存在偶極輻射.我們知道，電磁系統(tǒng)是以偶極輻射為主的，四極輻射比偶極輻射弱得多.引力源只產(chǎn)生四極輻射，沒有偶極輻射，所以引力波遠(yuǎn)弱于電磁波，探測(cè)起來十分困難.

研究引力輻射的另一個(gè)重要困難是“能量表述”問題.愛因斯坦等人早就發(fā)現(xiàn)，引力能與電磁能不同，引力場(chǎng)能量的密度不是張量，依賴于坐標(biāo)系的選擇.在反復(fù)推敲之后，愛因斯坦和托曼提出了一個(gè)引力能的表達(dá)式，稱之為引力能的愛因斯坦-托曼表述.此表述提出后，蘇聯(lián)的朗道和栗弗席茲指出這種表述存在嚴(yán)重缺陷.他們又提出了一個(gè)新表述，朗道-栗弗席茲表述.但過了不久，有人指出朗道表述也有缺點(diǎn)，又提出新的表述.然而，不管哪一種表述，都存在嚴(yán)重缺點(diǎn).人們終于認(rèn)識(shí)到，引力場(chǎng)的能量密度不可能嚴(yán)格定義，只能定義所謂的準(zhǔn)局域能.不過，人們又發(fā)現(xiàn)，以前提出的那些“能量表述”雖然有缺點(diǎn)，但在計(jì)算引力輻射時(shí)都還可以使用.

各種能量表述的表達(dá)式均十分復(fù)雜.例如，純引力場(chǎng)能量-動(dòng)量的朗道-栗弗席茲表述為［2，3，6］

采用朗道-栗弗席茲表述后，經(jīng)過繁復(fù)的計(jì)算，可得到平面引力波的能流密度為

或用四極矩的變化表出

可見，引力輻射的能流密度決定于引力源質(zhì)量四極矩對(duì)時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù).

進(jìn)一步的計(jì)算表明，由于引力輻射，引力源能量的減少可用下式給出

式中ω為引力源的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，而

為在隨動(dòng)坐標(biāo)系中算出的引力源繞x3軸（即引力波前進(jìn)方向）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而

為赤道橢率.用式（28）可以算出引力源輻射引力波的功率，下面舉幾個(gè)例子.

例1 回轉(zhuǎn)對(duì)稱球.

例2 以半徑為r的圓周作公轉(zhuǎn)的質(zhì)點(diǎn)m.

由于I=I1=mr2，I2=0，e=1，有

假設(shè)木星（太陽系中最大的行星）的繞日轉(zhuǎn)動(dòng)可看作上述圓周運(yùn)動(dòng).由于木星公轉(zhuǎn)角速度為ω=1．68×10-8s-1，木星的質(zhì)量為 m=1．9×1030g，公轉(zhuǎn)軌道平均半徑為 r=7．78×1013cm，可算出木星引力輻射的放能率為

相當(dāng)于一個(gè)電燈泡射出的能量.所以，太陽系中行星運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的引力輻射完全可以忽略不計(jì).

例3 中子星自轉(zhuǎn).

設(shè)一顆質(zhì)量 m=1M⊙（M⊙為太陽質(zhì)量），半徑r=10 km，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=1．0×1045g·cm2，自旋角速度為ω=1．0×104s-1的中子星，可算出

中子星自轉(zhuǎn)動(dòng)能為 1．0×1053erg，只要 e不小于1．0×10-4，中子星的自轉(zhuǎn)動(dòng)能就會(huì)在幾年內(nèi)輻射掉．但由于輻射阻尼的影響，轉(zhuǎn)速會(huì)迅速降低，輻射放能率也就會(huì)迅速減小．不過，中子星在形成初期，引力輻射應(yīng)該十分重要．

例4 雙星．

先看圓運(yùn)動(dòng)情況．設(shè)雙星運(yùn)動(dòng)可近似看作其中一顆以折合質(zhì)量圍繞另一顆作圓周轉(zhuǎn)動(dòng)．根據(jù)開普勒第三定律

可知轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

R為2顆星的距離，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

如果軌道是橢圓，研究表明放能率為

其中

式（36）中，e為偏心率，R為軌道半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度.對(duì)于一般雙星有-dE/dt≈1.0×1029～1.0×1031erg／s，射到地球的能流為1．0×10-13～1．0×10-10erg／（cm2·s）．

5 脈沖雙星的引力輻射

1978年前后，泰勒 （J．H．Taylor）和休 斯（R．A．Hulse）通過對(duì)脈沖雙星PSR1913+16（其中至少有一顆星是中子星）的長(zhǎng)期觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)這對(duì)雙星的公轉(zhuǎn)周期每年減少約萬分之一秒［9］．他們研究認(rèn)為，這是雙星公轉(zhuǎn)輻射引力波，造成公轉(zhuǎn)能量損失導(dǎo)致的（圖3）．他們理論計(jì)算的結(jié)果與觀測(cè)結(jié)果定量符合得很好．他們的工作被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)引力波的第一個(gè)證據(jù)，雖然是間接證據(jù)．

圖3　脈沖雙星輻射引力波

由于沒有看到他們的具體計(jì)算過程，我們就用前面講到的方法做了一下計(jì)算，可以得到與他們相近的結(jié)果［2，3，10-12］．

設(shè)雙星在 x-y平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，取質(zhì)心坐標(biāo)系，m1、m2為兩顆星的質(zhì)量，d為兩顆星的距離.從萬有引力定律可以得到雙星運(yùn)動(dòng)的軌道方程

式中a為橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，e為偏心率，ψ為公轉(zhuǎn)角.

用式（23）可算出雙星系統(tǒng)的非零四極矩

從開普勒第二定律（面積定律）可知，雙星公轉(zhuǎn)角速度為

用式（27）可算出系統(tǒng)的放能率為

再用式（38）—式（40）算出質(zhì)量四極矩的三階導(dǎo)數(shù)，并把它們代入式（41），可算出雙星在一個(gè)公轉(zhuǎn)周期內(nèi)的平均輻射功率為

利用開普勒第三定律可算出公轉(zhuǎn)周期變化率 T·b與輻射功率的關(guān)系

f（e）如式（37）所示.式中m1為主星質(zhì)量，m2為伴星質(zhì)量，a1由下式給出

把泰勒等人公布的觀測(cè)數(shù)據(jù)代入，可得引力輻射導(dǎo)致的周期減小的理論計(jì)算值為

他們對(duì)周期減少的直接觀測(cè)值為

以上是我們1980年的計(jì)算結(jié)果，理論值與觀測(cè)值的誤差約28%［10，11］．1981年，胡寧、章德海、丁浩剛用不同的方法在朗道表述和適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)條件下，也算出了與觀測(cè)基本一致的結(jié)果［12］．1984年，鄭玉昆用多種能量表述作了計(jì)算，也得到相似的結(jié)果［13］．可見，上述計(jì)算的結(jié)果與“能量表述”無關(guān)．所以，雖然各種能量表述均有缺點(diǎn)，但用來計(jì)算引力輻射還都可以使用．

1989年，泰勒等人得到精確度更高的結(jié)果

1993年，休斯和泰勒由于“對(duì)脈沖雙星的研究開創(chuàng)了研究引力的新途徑”，而獲得了諾貝爾物理獎(jiǎng)．為慎重起見，諾貝爾獎(jiǎng)評(píng)委會(huì)未明確說明，真正的頒獎(jiǎng)原因是“他們的觀測(cè)證實(shí)了引力波的存在．”一般認(rèn)為，休斯與泰勒對(duì)脈沖雙星周期變化的研究結(jié)果，是引力波存在的一個(gè)可靠的間接證據(jù)．

6 引力波的探測(cè)

目前認(rèn)為，宇宙中可能存在的引力波源，有以下幾種情況［14］．

1）兩顆致密星相互靠近，直至碰撞、合并．

這兩顆致密星，有可能是兩顆中子星，也有可能是兩個(gè)黑洞，或者一顆中子星與一個(gè)黑洞．它們圍繞共同的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，不斷輻射出引力波，而自身的引力勢(shì)能不斷減少，旋轉(zhuǎn)周期不斷減小．例如前面談到的脈沖雙星PSR1913+16就是這種情況．

隨著公轉(zhuǎn)周期的減小，相互旋轉(zhuǎn)的兩顆致密星會(huì)越來越靠近．研究表明，它們會(huì)接觸、碰撞、合并，同時(shí)釋放出大量引力波．例如這次探測(cè)到的GW150914事件，就很可能是兩個(gè)黑洞合并而釋放出的引力波造成的．研究表明，這次事件很可能是13．4億年前，兩個(gè)黑洞（質(zhì)量分別為36M⊙和29M⊙）合并成為一個(gè)質(zhì)量為62M⊙的黑洞造成的．在此過程中，有大約3M⊙的黑洞質(zhì)量轉(zhuǎn)化成了引力輻射能，形成強(qiáng)大的引力波信號(hào)．

2）非對(duì)稱中子星

如前文所述，非對(duì)稱（e≠0）的快速旋轉(zhuǎn)的中子星，在誕生初期，會(huì)產(chǎn)生極強(qiáng)的引力輻射，輻射阻尼使中子星轉(zhuǎn)速很快減慢，引力輻射隨之逐漸減弱．

3）超新星爆發(fā)

研究表明，超新星的非球?qū)ΨQ猛烈爆發(fā)，有可能產(chǎn)生很強(qiáng)的引力波．

4）原初引力波

在宇宙誕生的初期，由于初始的大爆炸，特別是隨后的暴脹過程，會(huì)有原初引力波產(chǎn)生．這種原初引力波會(huì)與其他物質(zhì)（宇宙微波背景輻射）產(chǎn)生相互作用，形成某些可觀測(cè)的遺跡，保留到今天．

前面談到的脈沖雙星 PSR1913+16的周期變化，是人類第一次用間接的方法探測(cè)到引力波．那么有沒有直接探測(cè)引力波的方法呢？這就需要提到以美國(guó)的LIGO為代表的地面引力波探測(cè)實(shí)驗(yàn)了［15］．

實(shí)際上，早在上世紀(jì)60年代，美國(guó)物理學(xué)家韋伯，就試圖利用引力波的偏振在大型金屬圓柱體內(nèi)造成的四極共振效應(yīng)（力學(xué)效應(yīng)），來探測(cè)引力波（圖4）．他在相距1000 km的兩個(gè)地方設(shè)置了同樣的裝置．1969年他曾宣布收到頻率為1660 Hz的來自銀河系中心的引力波，但此后無法重復(fù)，最終結(jié)論被否認(rèn)．今天看來，韋伯測(cè)到的信號(hào)肯定不是引力波［2，3，16］．

LIGO也是利用引力波偏振造成的四極共振來探測(cè)引力波，不過它不是直接觀測(cè)力學(xué)效應(yīng)，而是觀測(cè)精度更高的激光干涉效應(yīng)．為此，美國(guó)在東南部的路易斯安那州的利文斯頓和西北部的華盛頓州的漢福德建造了兩座激光干涉引力波觀測(cè)臺(tái)（圖5），它們之間的直線距離大約有3 000 km．在LIGO的這兩個(gè)觀測(cè)臺(tái)上各有一個(gè)L形真空管探測(cè)臂，兩條臂長(zhǎng)度各4 km（此外，在漢福德還有另外一臺(tái)臂長(zhǎng)2 km的激光干涉儀）．每一座觀測(cè)臺(tái)實(shí)際上是一架邁克爾孫干涉儀，在兩臂相交處有一個(gè)半透明半反射的鏡片．在管的兩端有反射鏡，讓激光束在鏡面之間來回反射，以增加激光干涉的有效距離．因?yàn)榇嬖诠獾膩砘胤瓷?，因此這一光學(xué)裝置也可以看成由2個(gè)相互垂直的“FP（法布里-珀羅）干涉腔”組成．

圖4　韋伯與他的引力波探測(cè)器

圖5　位于美國(guó)東南部路易斯安那州和西北部華盛頓州的兩座激光干涉引力波觀測(cè)臺(tái)

LIGO在相隔3000 km設(shè)兩個(gè)觀測(cè)臺(tái)，是為了排除地球上的地震、雷擊和火車行駛、飛機(jī)飛行等各種干擾因素，因?yàn)檫@些因素不可能在兩地同時(shí)發(fā)生．而且，引力波的傳播速度是有限的，可以通過兩地的探測(cè)器探測(cè)到的引力波信號(hào)的時(shí)間差，來推斷出引力波源的空間方位，并順便驗(yàn)證一下引力波傳播速度是光速的理論預(yù)期．

如果有引力波通過 LIGO，引力波的偏振效應(yīng)（即圖1與圖2所示的“剪切效應(yīng)”）造成時(shí)空畸變，會(huì)使相互垂直的探測(cè)臂一個(gè)伸長(zhǎng)、一個(gè)縮短，不斷交替（圖6），這樣就會(huì)引起光的干涉條紋的變化，從而被光電檢測(cè)器探測(cè)到此變化的光學(xué)信號(hào)．通過這個(gè)變化的光學(xué)信號(hào)的理論分析，可以推論出到底是什么樣的天體物理過程發(fā)射了該引力波．這一理論分析所依賴的模型是EOBNR模型［1］．

圖6　LIGO的工作原理示意圖

本次觀測(cè)中，讓激光在干涉儀中反射了400次，相當(dāng)于把臂長(zhǎng)（光路）加長(zhǎng)到了1 600 km．這樣，本次引力波引起的光路長(zhǎng)度變化為質(zhì)子半徑（1．0×10-15m）的千分之一，即 1．0×10-18m．LIGO的靈敏度在2015年9月升級(jí)后達(dá)到1．0×10-23，恰好可以探測(cè)到這樣的引力波信號(hào)．

LIGO設(shè)在利文斯頓的干涉儀首先收到信號(hào)，7 ms后漢福德的干涉儀也收到了這一信號(hào)．7 ms基本上是引力波以光速?gòu)睦乃诡D到達(dá)漢福德所需的時(shí)間．這大大加強(qiáng)了本次觀測(cè)的可信度［17］．這次收到的信號(hào)，頻率從剛開始的35 Hz上升到250 Hz，振幅很快達(dá)到最大值，然后頻率基本保持不變，振幅逐漸減小，最后信號(hào)消失．信號(hào)持續(xù)時(shí)間約0．2 s（圖7）．

這非常像2個(gè)巨大的致密天體在相互圍繞旋轉(zhuǎn)中逐漸靠近、并合而發(fā)出的引力波（圖8）．在與事后用EOBNR理論模型計(jì)算，以及數(shù)值相對(duì)論模擬得到的大量各種參數(shù)的黑洞碰撞、并合的數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配對(duì)比后，LIGO團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，他們觀測(cè)到的信號(hào)，可以用2個(gè)大質(zhì)量黑洞（分別為36M⊙與29M⊙）并合為1個(gè)黑洞（62M⊙）時(shí)發(fā)射的引力波來解釋．LIGO團(tuán)隊(duì)是在反復(fù)推敲他們的觀測(cè)數(shù)據(jù)后，才正式發(fā)表觀測(cè)結(jié)論的．所以，他們這次得到的引力波的報(bào)導(dǎo)是十分可信的．

LIGO激光干涉引力波探測(cè)器是目前地球上長(zhǎng)度最長(zhǎng)的地面引力波探測(cè)裝置．除了LIGO，在歐洲還有Virgo，在日本還有KAGRA等規(guī)模小一些的地面引力波探測(cè)激光干涉儀，而且印度也將投資建設(shè)LIGO-India地面引力波探測(cè)激光干涉儀．

圖7　LIGO收到的引力波信號(hào)

圖8　產(chǎn)生引力波信號(hào)的黑洞并合模型

圖9　空間引力波探測(cè)裝置示意圖

除了地面引力波探測(cè)裝置，是不是還有衛(wèi)星上的空間引力波探測(cè)裝置呢？有，這就是原來的LISA計(jì)劃（當(dāng)時(shí)美國(guó)航天局還沒有退出）和目前縮小了的eLISA計(jì)劃．eLISA計(jì)劃由歐洲空間局主導(dǎo)，其技術(shù)方案是將3對(duì)探測(cè)器送入太空，讓它們組成等邊三角形，相鄰兩對(duì)探測(cè)器之間的距離大約為5×106km，它們?cè)诘厍蚝竺嬉?20°的夾角一起繞太陽運(yùn)行．3對(duì)探測(cè)器之間用激光精確測(cè)量距離．如果有引力波傳來，它會(huì)擠壓時(shí)空，使3對(duì)探測(cè)器之間的距離發(fā)生微小的變化．靈敏的激光干涉儀可測(cè)出一個(gè)原子直徑大小的位移．由于它們所占的地域比地球上的探測(cè)器大得多，因而可能探測(cè)到波長(zhǎng)更長(zhǎng)、頻率更低的引力波．

圖10　利用脈沖星計(jì)時(shí)陣列探測(cè)引力波的示意圖

除去用激光干涉儀探測(cè)之外，脈沖星計(jì)時(shí)陣列也可用來探測(cè)引力波（圖10）［14，18］．因?yàn)槊}沖星具有穩(wěn)定精確的脈沖周期，引力波的到來會(huì)改變脈沖星到地球的距離，從而使我們觀測(cè)到脈沖星的脈沖周期發(fā)生變化．歐洲、北美、日本和澳大利亞都在做這方面的探測(cè)準(zhǔn)備．

圖11　西藏阿里天文臺(tái)

中國(guó)目前有由中國(guó)科學(xué)院主導(dǎo)的“太極計(jì)劃”和中山大學(xué)主導(dǎo)的“天琴計(jì)劃”，其基本思想與eLISA類似，也是發(fā)射三顆衛(wèi)星到天上去探測(cè)引力波．當(dāng)然，“太極計(jì)劃”還有一個(gè)備份方案，那就是中國(guó)直接參與eLISA計(jì)劃，與歐洲合作來探測(cè)空間引力波．此外，還有中科院高能物理所主導(dǎo)的“阿里計(jì)劃”．該計(jì)劃準(zhǔn)備進(jìn)一步建設(shè)在西藏阿里地區(qū)的天文臺(tái)，使之能夠用來探測(cè)原初引力波（圖11）．此外，還有清華大學(xué)、北京師范大學(xué)、中國(guó)科技大學(xué)和中科院高能物理所等單位分別主導(dǎo)或參加的其他探測(cè)計(jì)劃．目前“太極計(jì)劃”、“天琴計(jì)劃”和“阿里計(jì)劃”等的最終實(shí)施細(xì)節(jié)還需要等待中國(guó)政府高層領(lǐng)導(dǎo)的決策．中國(guó)科學(xué)院已經(jīng)先期支持了自己?jiǎn)挝活I(lǐng)銜的引力波探測(cè)計(jì)劃，有的已經(jīng)撥出專項(xiàng)研究經(jīng)費(fèi)．

［1］ Abbott B P，et al．The LIGO Scientific Collaboration，Virgo Collaboration．Observation of gravitational waves from a binary black hole merger［J］．Physical Review Letter，2016，116（6）016102． Doi：10．1103／Phys-RevLett．116．016102．

［2］ 劉遼．廣義相對(duì)論［M］．2版．北京：高等教育出版社，2008．36-144

［3］ 趙崢，劉文彪．廣義相對(duì)論基礎(chǔ)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2010：16-71，102-121．

［4］ 梁燦彬，周彬．微分幾何入門與廣義相對(duì)論［M］．2版．北京：科學(xué)出版社，2006：188-245．

［5］ 溫伯格 S．引力論和宇宙論［M］．鄒振隆，張厲寧，等譯．北京：科學(xué)出版社，1980．187-194，287-341．

［6］ 朗道，栗弗席茲．場(chǎng)論［M］．魯欣，任朗，袁炳南，譯．鄒振隆，校．北京：高等教育出版社，2012：313-318，383-397．

［7］ Misner C W，Thorne K S，Wheeler J A．Gravitation［M］．SanFrancisco：FreemanWHCompany，1973：941-1044．

［8］ 劉寄星．愛因斯坦和同行審稿制度的一次沖突［J］．物理，2005，34：487．

［9］ Huse R A，Taylor J H．Discovery of a pulsar in a binary system［J］．Neutron stars，black holes，and binary X-ray sources，1975，48：433．

［10］ 桂元星，趙崢，劉遼．PSR1913+16的重力輻射．北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1980（3-4）：67．

［11］ 劉遼．劉遼文集［M］．長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2008：30-37．

［12］ 胡寧，章德海，丁浩剛．雙星放射引力輻射的阻尼力［J］．物理學(xué)報(bào)，1981，30（8）：1003．

［13］ 鄭玉昆．關(guān)于引力場(chǎng)的能量問題［J］．物理學(xué)報(bào)，1981，30（1）：46．

［14］ 郭宗寬，蔡榮根，張?jiān)伲Σㄌ綔y(cè)：引力波天文學(xué)的新時(shí)代［J］．科技導(dǎo)報(bào)，2016，34（3）：30．

［15］ Abramovici A，Althouse W E，Drever R W P，et al．LIGO：Thelaserinterferometergravitationalwave observatory［J］．Science，1992，256（5055）：325-333．

［16］ Weber J．Evidence for discovery of gravitational radiation［J］．Phys Rev Lett，1969，22：1320-1324．

［17］ 姬揚(yáng)．引力波來了（編譯自 Sung Chang，Physics Today，2016（4）：14）［J］．物理，2016，45（4）：260．

［18］ Sesana A，Vecchio A．Gravitational waves and pulsar timing：stochastic background，individual sources and parameterestimation ［J］．ClassicalandQuantum Gravity，2010，27（8）：084016．

編者按：在大學(xué)物理教學(xué)中一般只討論勢(shì)能不隨時(shí)間變化的功能原理，勢(shì)能隨時(shí)間變化的功能原理很少涉及，因此學(xué)生在遇到此情況時(shí)可能犯錯(cuò)誤，甚至有些老師也不能免．朱如曾先生對(duì)此問題作了詳盡說明，并給出實(shí)例，是一篇值得注意的文章．

Gravitational wave and general relativity

ZHAO Zheng1），LIU Wen-biao1），ZHANG Xuan-zhong2）
（1．Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China；2．Beijing Science and Technology Association，Beijing 100101，China）

The theory about gravitational wave is introduced based on the general relativity．We introduce how to detect indirectly gravitational radiation by means of the time rate variation of the period of binary star and how to directly detect gravitational waves by means of the polarization of the wave．

gravitational wave；general relativity；binary star；polarization；LIGO

O 412．1

A

1000-0712（2016）10-0001-10

2016-05-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11235003）資助

趙崢（1943—），男，江西萍鄉(xiāng)人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，主要從事理論物理的教學(xué)和研究工作．