董堅(jiān)，陳春芳，溫磊，顧亞瓊

（南昌大學(xué)理學(xué)院，南昌330031）

具有四參數(shù)區(qū)間偏好序的TOPSIS群決策方法

董堅(jiān)，陳春芳，溫磊，顧亞瓊

（南昌大學(xué)理學(xué)院，南昌330031）

通過放寬對三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序重心的約束條件，文章提出了一種三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序的推廣形式：四參數(shù)區(qū)間偏好序，在此基礎(chǔ)上研究了具有未知權(quán)重的改進(jìn)TOPSIS方法。該方法的具體步驟為：首先通過限制四參數(shù)區(qū)間偏好序兩兩之間的距離總和最小，建立數(shù)學(xué)模型來確定權(quán)重向量，然后通過計(jì)算各方案與正負(fù)理想之間的距離得到改進(jìn)的貼近度，進(jìn)而根據(jù)各方案的貼近度得出最優(yōu)方案。

四參數(shù)區(qū)間偏好序；群決策；貼近度；TOPSIS

在決策過程中，由于被判斷事物的模糊性和復(fù)雜性，決策者出于謹(jǐn)慎的考慮，可能會給出偏好信息是序區(qū)間[1]的形式。文獻(xiàn)[2]提出了序區(qū)間偏好的加權(quán)平均集結(jié)算子，通過該算子可以求出總體的序區(qū)間偏好，之后通過比較個(gè)人與總體的接近程度，提出了一種基于一致性的確定權(quán)重的方法。文獻(xiàn)[4]將文獻(xiàn)[2]中的方法推廣到了三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序[5]。然而，文獻(xiàn)[3]證明了文獻(xiàn)[2]中所求出的權(quán)重是一個(gè)與數(shù)據(jù)無關(guān)的常量，進(jìn)而提出了改進(jìn)的求權(quán)重方法：通過比較任意兩個(gè)序區(qū)間集，若任意兩個(gè)序區(qū)間集上的距離都盡可能小，則總體的序區(qū)間集就會有更高的一致性。

本文通過放寬對三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序重心的約束條件，提出了四參數(shù)區(qū)間偏好序，定義了四參數(shù)區(qū)間偏好序的距離，并利用文獻(xiàn)[3]中的方法確定權(quán)重，然后通過計(jì)算各方案與正負(fù)理想方案之間的距離，得到改進(jìn)的貼近度以選擇最優(yōu)方案。

1　三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序

定義1.1[5]對某一個(gè)由n方案組成的決策問題，設(shè)=[rL，rM，rU]，rL，rU∈Z+，Z+表示正整數(shù)集，且rL≤rM≤rU，則稱為三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序，其中rL和rU分別為三參數(shù)型偏好序的下限和上限，rM為表示該方案可能性最大的偏好序數(shù)。特別地，若rL=rM=rU時(shí)，則=[rL，rM，rU]退化為確定型偏好序數(shù)。

2　四參數(shù)區(qū)間偏好序

2.1四參數(shù)區(qū)間偏好序的定義

2.2四參數(shù)區(qū)間偏好序集的距離

規(guī)范化歐幾里德距離為：

推廣的規(guī)范化距離為：

其中λ＞0。

2.3四參數(shù)區(qū)間偏好序的比較

3　群決策模型

3.1問題描述

在一個(gè)由m個(gè)決策者和n個(gè)方案構(gòu)成的群決策問題中，設(shè)方案集為決策者集為E= {e1，e2，…，em}，且決策者的權(quán)重向量完全未知，假設(shè)為。令表示第k個(gè)決策者對方案集X給出的四參數(shù)區(qū)間偏好集，其中為第k個(gè)決策者ek對于第i個(gè)方案xi給出的四參數(shù)區(qū)間偏好序。m個(gè)決策者對方案集X給出的四參數(shù)區(qū)間偏好序信息可用矩陣表示：記為，

3.2權(quán)重向量的確定

針對三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序，文獻(xiàn)[4]通過要求群體與個(gè)人一致性最大化提出了基于權(quán)重的優(yōu)化模型：

用拉格朗日乘數(shù)法求解此模型可得：

其中e=(1，1，…，1)T

從而對于權(quán)重我們有：

通過上面的分析我們可知，上述模型所求的權(quán)重值是一個(gè)與數(shù)據(jù)無關(guān)常量。針對這種情況[3]，我們在新距離定義下將該方法推廣到四參數(shù)區(qū)間偏好序的情況。

然而離正理想方案最近的方案不一定同時(shí)離負(fù)理想方案最遠(yuǎn)。若記負(fù)理想方案為x-，則負(fù)理想方案可以由下式?jīng)Q定：

相對貼近度RC(xi)越小，則對應(yīng)的方案越優(yōu)。然而Hadi-Vencheh和Mirjaberi[6]指出在某些場合下，由相對貼近度得求得的最優(yōu)方案可能不會在離正理想最近的同時(shí)，又離負(fù)理想最遠(yuǎn)。因此他們提出應(yīng)該用如下的改進(jìn)的貼近度，而不是用相對貼近度

從改進(jìn)的貼近度ζ(xi)的表達(dá)式易知：ζ(xi)越小則方案xi越優(yōu)。

4　實(shí)例分析

e1:={[2，3，4，6]，[2，2，3，4]，[3，4，4，5]，[1，2，3，4]， [1，2，2，3]，[2，3，4，5]}

e2={[2，3，3，4]，[1，2，3，4]，[2，4，5，6]，[3，4，5，6]， [1，2，3，4]，[2，3，4，6]}

e3:={[2，3，4，5]，[1，1，1，2]，[3，4，5，6]，[2，3，4，5]， [2，2，4，5]，[1，2，3，4]}.列出決策者們對于方案集X給出的四參數(shù)區(qū)間偏好序矩陣，

因?yàn)閑=(1，1，1)T所以由公式可求得權(quán)重向量：

λ=(0.3478，0.3132，0.3390)T。

(3)通過得分函數(shù)及公式求出正負(fù)理想方案如下：

x+={[1，2，2，3]，[1，2，3，4]，[1，1，1，2]}

x-={[3，4，4，5]，[3，4，5，6]，[3，4，5，6]}

(4)由公式求出每個(gè)方案相對于正負(fù)理想方案的距離：

表1　方案相對于正負(fù)理想方案的相關(guān)信息

(5)通過改進(jìn)的貼近度公式，求出每個(gè)方案的改進(jìn)貼近度ζ(xi)。根據(jù)改進(jìn)貼近度ζ(xi)對方案進(jìn)行排序，ζ(xi)越小的方案越優(yōu)。由表2知方案的排序?yàn)椋簒2?x5?x6?x1?x4?x3，因而最佳投資方案為x2。

5　結(jié)束語

首先定義了四參數(shù)區(qū)間偏好序的概念，介紹了四參數(shù)區(qū)間偏好序上的距離定義，在此基礎(chǔ)上提出了四參數(shù)區(qū)間偏好序上的權(quán)重確定方法，之后利用改進(jìn)的T0PSIS方法，提出了一種解決群決策問題的有效方法。提出的方法計(jì)算簡潔有效，決策過程簡單易行。

[1]Fan ZP,Liu T.An Approach to Solve Group-Decision-Making Prob?lemsWith Ordinal Interval Numbers[J].Systems,Man,and Cybernet?ics,PartB:Cybernetics,IEEE Transactionson,2010,40(5).

[2]Xu ZS.Group Decision Making Model and Approach Based on Inter?val Preference Orderings[J].Computers&Industrial Engineering, 2013,64(3).

[3]Xu Y J,Wang H M,Sun H,etal.A Distance-Based Aggregation Ap?proach for Group Decision MakingWith Interval PreferenceOrderings [J].Computers&Industrial Engineering,2014,（72）.

[4]董堅(jiān),陳春芳,溫磊.基于等級偏好占優(yōu)關(guān)聯(lián)系數(shù)的群決策模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2015,(5).

[5]林健,姜永.基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)型偏好序的群決策方法[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2011,(7).

[6]Hadi-Vencheh A,MirjaberiM.Fuzzy Inferior Ratio Method forMulti?ple Attribute Decision Making Problems[J].Information Sciences, 2014.

（責(zé)任編輯/易永生）

C934

A

1002-6487（2016）19-0042-03

江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20114BAB201007；20142BAB201007）；江西省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（GJJ13081）；“江西省“十二五”重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目

董堅(jiān)（1991—），男，江西大余人，碩士研究生，研究方向：決策分析和統(tǒng)計(jì)分析。陳春芳（1971—），女，江西撫州人，博士，教授，研究方向：決策分析和統(tǒng)計(jì)分析。