余新宏，吳 堅

(安徽農(nóng)業(yè)大學 經(jīng)濟技術(shù)學院，安徽 合肥 230011)

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構(gòu)造輔助函數(shù)法在微積分證明中的教學研究

余新宏，吳 堅

(安徽農(nóng)業(yè)大學 經(jīng)濟技術(shù)學院，安徽 合肥 230011)

在微積分知識學習時，通常在證明某個問題的結(jié)論時，通過已有的條件無法直接推導所證的結(jié)論，這時可以嘗試運用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)命題中的條件，將結(jié)論變換，從而構(gòu)造出一個輔助函數(shù)，再運用有關(guān)的定理結(jié)論推導出命題的結(jié)論，從而能對命題的證明起到事半功倍的效果. 構(gòu)造函數(shù)法是一種重要的數(shù)學方法，其構(gòu)造方法思路也是多種多樣的，文章通過構(gòu)造函數(shù)法在一些著名的定理，公式以及經(jīng)典例題的運用，嘗試找出如何構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法，并通過這些方法在一些具體實例中的運用，歸納出構(gòu)造函數(shù)法的一些思路.

構(gòu)造函數(shù)法；微積分；等式；微分中值定理

0 引言

在微積分學習時，經(jīng)常會遇到對已知求證的命題知識較熟悉，但又不知如何運用已學知識來解題. 這時可想方設(shè)法構(gòu)造出一個將抽象的關(guān)系轉(zhuǎn)為相對直觀的輔助函數(shù)，起到事半功倍的效果. 構(gòu)造函數(shù)法[1]33-35，顧名思義就是按固定的模式經(jīng)過有限的步驟能夠定義的概念，能夠?qū)崿F(xiàn)的方法. 構(gòu)造的輔助函數(shù)，是能在已知命題的約束條件下，達到論證某種結(jié)論的正確性. 本文將通過對微積分中經(jīng)典的定理以及公式的證明進行分析，驗證，總結(jié)出構(gòu)造函數(shù)法在微積分領(lǐng)域中運用的思路及構(gòu)造輔助函數(shù)的一類方法，并結(jié)合實際例題將這種思路的運用加以闡述.

1 構(gòu)造輔助函數(shù)法在微分經(jīng)典定理的運用

在微分中的一些經(jīng)典定理證明教學中，借助構(gòu)造函數(shù)法是一個重要的思路，但輔助函數(shù)的構(gòu)造首先需滿足某個已證定理的條件，再解決問題. 比如Roll定理證明，是因構(gòu)造出了滿足Fermat引理的函數(shù)，從而推導出了結(jié)果；再如lagrange中值定理；Cauchy定理則都是構(gòu)造出了滿足Roll定理條件的輔助函數(shù)，來推導出了論證的結(jié)果. 在實際教學中，構(gòu)造函數(shù)法的思想是非常發(fā)散的，故對微分定理的證明，輔助函數(shù)的構(gòu)造也十分多樣化，這種多態(tài)化的思想要求教師在實際教學中，要善于啟發(fā)學生，根據(jù)命題條件和所學過的知識，構(gòu)造出滿足題意的輔助函數(shù)來.

建立在微分中值定理為基礎(chǔ)的各種中值問題求解中，這類問題的常見形式是：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，且滿足某些附加條件，求證找到一點x0(ab)，使得某個含有x0的等式成立.

處理此類問題，重點在于如何構(gòu)造出能滿足Roll，lagrange和Cauchy定理條件的輔助函數(shù). 在微分中值定理教學過程中發(fā)現(xiàn)，微分中值定理是Roll中值定理的引申，Roll中值定理的結(jié)論又為一個導數(shù)形式，那么就可利用微分運算的逆運算——積分來構(gòu)造輔助函數(shù)，即滿足Roll中值定理條件的原函數(shù)，進而達到解決微分中值的問題.

2 構(gòu)造輔助函數(shù)法在newton-leibniz公式中的運用

3 構(gòu)造輔助函數(shù)法在證明等式中的應(yīng)用

借助輔助函數(shù)，利用微分中值定理證明等式，主要有以下幾種方法.

3.1 原函數(shù)構(gòu)造函數(shù)法

在微分中值定理求解介值問題教學中可通過不定積分構(gòu)造出輔助函數(shù)，即反求出原函數(shù)，這種逆向思維的方法就是原函數(shù)法，證明步驟具體如下：

1)將結(jié)論恒等變換，化為積分的函數(shù)形式，在結(jié)論積分不是很復雜的情況下，進行移項將等式一端變換為常數(shù)0；

2)用x替換變換后等式中的變量；

3)運用積分知識求出原函數(shù)，此原函數(shù)便是要構(gòu)造的輔助函數(shù)；

4)再結(jié)合微分中值定理，推導出結(jié)論.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上可導，證明存在x0∈(a,b)，使得

證明：將結(jié)論進行變形為

用x替換x0后，兩邊積分構(gòu)造輔助函數(shù)

此時函數(shù)F(a)=F(b)，滿足Roll定理的條件，故存在x0∈(a,b)，使得

結(jié)論得證.

本例是按照歸納證明思路，將結(jié)論恒等變換，等式移項使一端變換為常數(shù)0，然后用x替換變換后等式中的變量x0,再求出原函數(shù)F(x)，則完成了輔助函數(shù)的構(gòu)造，再運用Roll定理得出結(jié)論.

證明：將結(jié)論變換得

用x替換x0后，得

由積分得

構(gòu)造輔助函數(shù)

此時F(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導，且F(a)=F(b)，滿足Roll定理條件，故存在x0∈(a,b)，使得

結(jié)論得證.

本例構(gòu)造輔助函數(shù)時，將積分后的原函數(shù)中的常數(shù)，單獨出來移項到另一端，則利用常數(shù)在區(qū)間[a,b]上的性質(zhì)，借助Roll定理推導出結(jié)論.

例3 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導，且f(0)=f(1)=0，證明存在x0∈(0,1)，使

證明：設(shè)輔助函數(shù)F(x)=(1-x)2f′(x)，因f(x)在[0,1]上二階可導，所以f(x)滿足Roll定理條件：在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=f(1)=0,則存在x1∈(0,1)內(nèi)，使f′(x1)=0.

顯然在(x1,1)內(nèi)，F(xiàn)(x1)=(1-x1)2f′(x1)=0，F(xiàn)(x1)=(1-1)2f′(1)=0，

由此F(x)滿足Roll定理，故存在x0∈(x1,1)?(0,1)，使得F′(x0)=0，又

所以

即得：

通過上面的例題證明方法可知，構(gòu)造函數(shù)法是一個發(fā)散性思維很強的方法，教師在教學中要誘導學生可以變換不同的思路來考慮構(gòu)造輔助函數(shù). 構(gòu)造函數(shù)的思路不同，那么構(gòu)造出來函數(shù)的形式也多種多樣，但是教師要提醒學生要把握住核心的思路：首先觀察要證明的結(jié)論，并進行一定的變換，得出原函數(shù)即為構(gòu)造函數(shù)，一旦構(gòu)造函數(shù)滿足微分中值定理條件時，就可利用中值定理得到證明結(jié)論.

3.2 微分方程通解構(gòu)造函數(shù)法

證明：將x替換結(jié)論中的x0，得可分離變量的微分方程：

即

可知其通解為f(x)e-kx=c

即

可見微分方程通解法，在證明結(jié)論命題形式為f′(x0)=φ[x0,f(x0)]時，將x替換x0，再令y=f(x)，得到微分方程y′=φ(x,y)，當能解得其通解為u(x,y)=C，則可得構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=u(x,f(x)).

解得

于是設(shè)輔助函數(shù)為F(x)=(f(x)+g(x))e-f(x)

即

3.3 行列式構(gòu)造函數(shù)法

在一些微積分等式命題證明教學中，教師也可利用行列式的性質(zhì)及行列式函數(shù)的求導公式的特點來啟發(fā)學生構(gòu)造輔助函數(shù)，然后結(jié)合微分中值定理，最終完成命題的證明.

證明：將證明結(jié)論變換，對于?x∈(a,b)，存在x0∈(a,b)，使得

對于?x∈(a,b)，構(gòu)造輔助函數(shù)[1]35，[4]21-22，[5]17-18，[6]34-34

故由h″(t)=0得

即

故

結(jié)論得證.

4 結(jié)語

在數(shù)學教學過程中，構(gòu)造函數(shù)法在解決實際問題上的確起著十分重要的橋梁作用. 根據(jù)對各種問題的探討，教師要讓學生明白構(gòu)造函數(shù)法的中心思路是根據(jù)命題的條件及結(jié)論，構(gòu)造適當?shù)妮o助函數(shù)，將未知的問題化為易求的簡單的問題，并考慮在相應(yīng)區(qū)間上構(gòu)造函數(shù)要滿足條件，最后選用對應(yīng)的定理，最終論證結(jié)論.

[1] 陳 靜,王來生,周志堅.淺析一元微積分中的構(gòu)造輔助函數(shù)法[J].高等數(shù)學研究,2006,09(06).

[2] 吳 堅，惠淑榮，劉應(yīng)安.數(shù)學分析[M].北京：中國農(nóng)業(yè)出版社,2011.

[3] 同濟大學應(yīng)用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].5版.北京：高等教育出版社,2002.

[4] 畢守東.線性代數(shù)[M].4版.北京：中國農(nóng)業(yè)出版社,2009.

[5] 李君士.兩個微分中值定理證明中輔助函數(shù)的多種作法[J].數(shù)學的實踐與認識,2004,34(10).

[6] 王文珍.微積分中輔助函數(shù)的運用[J].高等數(shù)學研究,2005,08(06).

[責任編輯 梧桐雨]

Research on the Application of the Construction of Auxiliary Function Method in the Calculus Proof

YU Xinhong, WU Jian

(EconomyandTechnologyInstitute,AnhuiAgricalturalUniversity,Hefei230011,China)

In the study of advanced mathematics calculus knowledge, when we tend to prove the conclusion of a problem, we will meet difficulties which mean that we can’t come to the direct conclusion through existing conditions. In the case of this situation, we can usually apply to the structure method of auxiliary. According to the conditions in the proposition, we can transform the conclusion, thus constructing an auxiliary function and then use related theorem to prove the conclusion. In this way, we can achieve a multiplier effect on the proof. The constructor method is a kind of important mathematical method. Its constructive methods and ideas are various. This paper tries to find out some ways of how to construct auxiliary function through its application to some famous theorem、formula and typical examples，and then we can conclude some new ideas of auxiliary function by applying these ways to some practical examples.

constructive method; calculus; equation; differential mean value theorem

2016-07-08

安徽省教育教學研究項目“高職院校數(shù)學教學模式有效性研究”(項目編號：2013jyxm497)；安徽省高校自然科學研究重點項目(項目編號：KJ2016A246)

余新宏(1982- ),男,安徽阜陽人，安徽農(nóng)業(yè)大學經(jīng)濟技術(shù)學院講師，碩士，主要從事數(shù)理統(tǒng)計研究。

1671-8127(2016)05-0014-05

O172

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