楊紀(jì)華,劉媚

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏固原756000)

(2.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京100875)

多重時滯富營養(yǎng)化生態(tài)模型的穩(wěn)定性與分支分析

楊紀(jì)華1,2,劉媚1

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏固原756000)

(2.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京100875)

本文研究了多重時滯富營養(yǎng)化生態(tài)模型的穩(wěn)定性與分支問題.利用特征值方法,分別研究了具有單時滯和雙時滯模型的線性穩(wěn)定性.發(fā)現(xiàn)當(dāng)模型中的時滯經(jīng)過一系列臨界值時,模型在平衡點(diǎn)附近經(jīng)歷了Hopf分支和Hopf-zero分支,并給出Hopf分支和Hopf-zero分支存在的充分條件.最后數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果.

雙時滯;穩(wěn)定性;Hopf分支;Hopf-zero分支

1　引言

水體的富營養(yǎng)化可以導(dǎo)致一系列嚴(yán)重問題,比如生態(tài)完整性遭到破壞.它的特點(diǎn)是藻類大量繁殖,其它水生物大量減少.浙江省溫州市澤雅水庫處于副熱帶地區(qū),由于藻類大量繁殖造成過濾系統(tǒng)堵塞,導(dǎo)致數(shù)以百萬計的人的飲用水危機(jī).水體富營養(yǎng)化的去除主要有物理化學(xué)和生物處理兩種方法[1].為了更好的控制水體富營養(yǎng)化等污染狀態(tài)出現(xiàn),有必要對水體中生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行研究[2-4].澤雅水庫富營養(yǎng)化過程與水體中的藻類數(shù)量密切相關(guān),同時也與水體中的濾食性魚類(如鰱魚和鳙魚)相關(guān).為了能更好的應(yīng)用生物學(xué)原理控制澤雅水庫的富營養(yǎng)化,基于文獻(xiàn)[5],于恒國,趙敏等在文獻(xiàn)[6]中考慮了兩種濾食性魚類鰱魚和鳙魚,提出了一個新的模型如下

其中x(t)表示t時刻藻類的數(shù)量,y(t)和z(t)分別表示t時刻濾食性魚類鰱魚和鳙魚的數(shù)量,r表示藻類的內(nèi)稟增長率,αi(i=1,2)分別表示鰱魚和鳙魚的投放率,ei(i=1,2)分別表示鰱魚和鳙魚轉(zhuǎn)化為消費(fèi)者的比率,k表示x(t)的承受力,δi(i=1,2)分別表示鰱魚和鳙魚的飽和常數(shù),ρi(i=1,2)分別表示鰱魚和鳙魚的相互影響因子,mi(i=1,2)分別表示鰱魚和鳙魚的死亡率,γ表示鰱魚的相對優(yōu)勢,τ、τ1和τ2是正時滯.

在文獻(xiàn)[6]中,作者給出了方程(1.1)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件,并用數(shù)值模擬的方法對方程(1.1)進(jìn)行了詳細(xì)的研究.本文中取τ1=τ2=σ,從穩(wěn)定性與分支的角度研究系統(tǒng)(1.1),對該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、Hopf分支和Hopf-zero分支的存在性進(jìn)行分析．

2　平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和分支的存在性

顯然,S0=(0,0,0)和S1=(k,0,0)始終是系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn).平衡點(diǎn)S0表示水體中藻類、鰱魚和鳙魚都不存在.平衡點(diǎn)S1表示水體中藻類存在,而鰱魚和鳙魚不存在.在一定條件下,系統(tǒng)(1.1)還有其它平衡點(diǎn).

(1)當(dāng)γe1α1＞0,kγe1α1＞m1(k+δ1)時,系統(tǒng)(1.1)存在平衡點(diǎn)S2=(x2,y2,0),其中

此時水體中只有藻類和鰱魚存在,鳙魚不存在.

(2)當(dāng)e2α2＞m2,ke2α2＞m2(k+δ2)時,系統(tǒng)(1.1)存在平衡點(diǎn)S3=(x3,0,z3),其中

此時水體中只有藻類和鳙魚存在,鰱魚不存在.

(3)當(dāng)

時,系統(tǒng)(1.1)存在平衡點(diǎn)S4=(x4,y4,z4),其中

此時水體中藻類同濾食性魚類鰱魚和鳙魚共存.

不失一般性,本文只討論平衡點(diǎn)S4.系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4處的特征方程為

其中

注特征方程(2.1)是一個超越方程,研究起來比較復(fù)雜.據(jù)作者了解,目前還沒有研究類似于方程(2.1)的文獻(xiàn).

2.1τ=0,σ=0的情形

此時方程(2.1)變?yōu)?/p>

根據(jù)微分方程的定性理論以及Hurwitz判據(jù)[7],可得如下引理.

引理2.1(i)當(dāng)a0+b0+c0=0時,λ=0是方程(2.2)的根;當(dāng)a0+b0+c0=0, a1+b1+c1＞0,且a2+b2＞0時,方程(2.2)有一個零根和兩個具有負(fù)實(shí)部的根.此時,系統(tǒng)(1.1)經(jīng)歷了不動點(diǎn)分支;

(ii)當(dāng)a2+b2＞0,a0+b0+c0＞0,(a2+b2)(a1+b1+c1)＞a0+b0+c0時,方程(2.2)的所有根具有負(fù)實(shí)部.

作如下假設(shè)

(H1)a2+b2＞0,a0+b0+c0＞0,(a2+b2)(a1+b1+c1)＞a0+b0+c0.

此時方程(2.1)變?yōu)?/p>

顯然,iβ(β＞0)是方程(2.3)的根當(dāng)且僅當(dāng)β滿足

平方相加,并令ξ=β2可得

其中

引理2.2(i)當(dāng)r＜0時,方程(2.5)至少有一個正實(shí)根;

(ii)當(dāng)r≥0且p2≤3q時,方程(2.5)沒有正實(shí)根;

(iii)當(dāng)r≥0且p2＞3q時,方程(2.5)有正實(shí)根的充要條件是z?=＞0且 g(z?)≤0,其中?=p2-3q.

(iii)如果r≥0且?＞0,3ξ2+2pξ+q=0有兩個實(shí)根z?=和ξ?=

充分性因?yàn)間＇＇(z?)=＜0,即z?是g(ξ)的極小值點(diǎn),ξ?是g(ξ)的極大值點(diǎn).又g(ξ)=∞,所以當(dāng)z?＞0且g(z?)≤0時,方程(2.5)有正實(shí)根.

必要性否則,假設(shè)z?≤0或者z?＞0且g(z?)＞0.因?yàn)楹瘮?shù)g(ξ)在[z?,∞)上單調(diào)增加,且g(0)=r＞0,所以當(dāng)z?≤0時方程(2.5)無正實(shí)根.矛盾.因?yàn)棣?是g(ξ)的極大值點(diǎn),所以g(z?)＜g(ξ?),且g(0)=r＞0,所以當(dāng)z?＞0且g(z?)＞0時方程(2.5)無正實(shí)根.矛盾.引理2.2得證.

作如下假設(shè)

(H2)r≥0,p2≤3q;

(H3)r＜0;

(H4)r≥0,p2＞3q,z?=＞0且g(z?)≤0.

不失一般性,假設(shè)方程(2.5)有三個正實(shí)根ξ1,ξ2和ξ3.所以方程(2.3)有三個正實(shí)根(k=1,2,3).記

其中

引理2.3[8]設(shè)

其中τi≥0(i=1,2,···,m),(i=0,1,···,m;j=1,2,···,n)是常數(shù),則當(dāng)τ1,τ2,···,τm變化時,p(λ,e-λτ1,e-λτ2,···,e-λτm)位于右半平面的零點(diǎn)重數(shù)之和只有當(dāng)虛軸上出現(xiàn)零點(diǎn)或有零點(diǎn)穿過虛軸時才發(fā)生變化.

由引理2.2和引理2.3可得下面引理.

引理2.4假設(shè)(H1)成立.

(i)如果(H2)成立,則當(dāng)τ≥0時,方程(2.3)的根都具有負(fù)實(shí)部;

由隱函數(shù)定理,存在ε0＞0,使得當(dāng)|τ-|＜ε0時,方程(2.3)有一對虛根λ(τ)= α(τ)±iβ(τ),且滿足α()=0,β()=βk(k=1,2,3).

證把λ(τ)代入方程(2.3)并對τ求導(dǎo)可得

由(2.4)式可得

因此

定理2.1假設(shè)(H1)成立.

(i)如果(H2)成立,則當(dāng)τ≥0時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的;

(ii)如果(H3)或者(H4)成立,則當(dāng)τ∈[0,τ0)時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的.而且如果0,則當(dāng)τ=時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4處經(jīng)歷了Hopf分支.

證由引理2.3可得(i)和(ii)的前半部分正確.由文獻(xiàn)[9]中關(guān)于泛函微分方程的Hopf分支定理可得(ii)的后半部分正確.定理2.1得證.

引理2.6如果a0+b0+c0=0,a1+b1+c1＞0,a2+b2＞0,并且(H4)成立,則當(dāng)τ∈[0,τ0)時,方程(2.3)除了有一個零根外,其余根都具有負(fù)實(shí)部.

證因?yàn)閍0+b0+c0=0,所以0是方程(2.3)的根.由引理2.4可知,方程(2.3)沒有純虛根.

用反證法.令a0+b0+c0=a,假設(shè)存在τ?∈(0,τ0)使得方程(2.3)有實(shí)部為正的根,記為λ0=υ0+iζ0,設(shè)λ(a,τ)=υ(a,τ)+iζ(a,τ)是方程(2.3)的根,且滿足υ(a=0,τ?)= υ0＞0,ζ(a=0,τ?)=ζ0.因?yàn)棣?a,τ)關(guān)于a連續(xù),則存在κ1＞0,當(dāng)a∈(0,κ1)時, υ(a,τ?)＞0.又τ0(a)=τ0,所以對0＜γ0≤τ0-τ?,存在κ2＞0,當(dāng)a∈(0,κ2)時,使得|τ0(a)-τ0|＜γ0,進(jìn)而可得τ?∈(0,τ0(a)).取κ=minκ1,κ2,則當(dāng)a∈(0,κ)時,υ(a,τ?)＞0且τ?∈(0,τ0(a)).又由引理2.4,當(dāng)a∈(0,κ)方程(2.3)的根都具有負(fù)實(shí)部.這是一個矛盾.引理2.6得證.

定理2.2如果a0+b0+c0=0,a1+b1+c1＞0,a2+b2＞0,并且(H4)成立,則當(dāng)τ=τ0時,方程(2.3)除了有一個零根和一對純虛根±iβ0外,其余根都具有負(fù)實(shí)部.此時系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4處經(jīng)歷了Hopf-zero分支.

證因?yàn)閍0+b0+c0=0,所以0是方程(2.3)的根.由引理2.4可知±iβ0也是方程(2.3)根.假設(shè)當(dāng)τ=τ0時,方程(2.3)有一個根具有正實(shí)部,記為λ0=υ0+iζ0.λ(τ)=υ(τ)+iζ(τ)是方程(2.3)的根,且滿足υ(τ0)=υ0＞0,ζ(τ0)=ζ0.因此當(dāng)τ→時,方程(2.3)有具有正實(shí)部的根,這與引理2.6矛盾.定理2.2得證.

本小節(jié)中,固定τ,以σ為參數(shù),且τ取值于使方程(2.3)的根都具有負(fù)實(shí)部的區(qū)間.設(shè)iω(ω＞0)是方程(2.1)的根,則可得

把(2.7)式中兩個方程平方相加可得

假設(shè)方程(2.8)有有限個正根ω1,ω2,···,ωs.則與每個ωk(k=1,2,···,s)相對應(yīng)的為

其中

則(ωk,)是方程(2.7)的根.由此可得如下引理2.7.

定義

并記與之相對應(yīng)的ωj為ω0.假設(shè)λ(σ)=α(σ)+iω(σ)是特征方程(2.1)在σ=附近的根,且滿足α(σ0)=0,ω(σ0)=ω0.

其中

證方程(2.1)兩端同時關(guān)于σ求導(dǎo)可得

通過直接而繁瑣的計算可得

由本文引理2.1至引理2.8和文獻(xiàn)[9]中第11章的定理1.1,可以得到下面關(guān)于系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性定理.

定理2.3假設(shè)(H1)成立,

(i)如果(H2)成立且F(ω)沒有正根,則當(dāng)σ≥0時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的;如果(H2)成立且F(ω)有正根,則當(dāng)σ∈[0,σ0)時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的;在后一種情況,如果AC+BD0,則當(dāng)σ=(k=1,2,···,s;j=0,1,2,···)時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4處經(jīng)歷了Hopf分支.

(ii)如果(H3)或(H4)成立,τ∈[0,τ0),且F(ω)沒有正根,則當(dāng)σ≥0時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的;如果(H3)或(H4)成立,τ∈[0,τ0),且F(ω)有正根,則當(dāng)σ∈[0,σ0)時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的;在后一種情況,如果AC+BD0,則當(dāng)σ=(k=1,2,···,s;j=0,1,2,···)時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4處經(jīng)歷了Hopf分支.

綜合上面的討論可得關(guān)于系統(tǒng)(1.1)的Hopf-zero分支的存在定理.

定理2.4假設(shè)a0+b0+c0=0,a1+b1+c1＞0,a2+b2＞0,且方程(2.8)至少有一個正實(shí)根ωk(k=1,2,···,s),

(i)如果(H2)成立,則當(dāng)σ=σ0時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4附近經(jīng)歷了Hopf-zero分支;

(ii)如果(H4)成立,τ∈[0,τ0),則當(dāng)σ=σ0時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4附近經(jīng)歷了Hopf-zero分支.

證因?yàn)閍0+b0+c0=0,所以0是方程(2.1)的根.由引理2.7可得,±iσ0是方程(2.1)的一對純虛根.類似于定理2.2的證明可得,當(dāng)σ=σ0時,方程(2.1)除了一個零根和一對純虛根±iσ0外,其余根均具有負(fù)實(shí)部,即系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4附近經(jīng)歷了Hopf-zero分支.定理2.4得證.

圖1:當(dāng)τ=1.01時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4局部漸近穩(wěn)定.

圖2:當(dāng)τ=1.4時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4附近經(jīng)歷了Hopf分支.

3　數(shù)值模擬

為了研究具多重時滯水體富營養(yǎng)化生態(tài)模型的復(fù)雜動力學(xué)行為,本文應(yīng)用微分方程的穩(wěn)定性和分支理論得到了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性區(qū)域和周期解存在的充分條件.為了說明理論結(jié)果的正確性,下面進(jìn)行數(shù)值模擬.

參照文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù),取r1=2.1,k=20,e1=0.45,e2=0.5,a1=0.8,a2= 0.6,β=0.35,b1=0.25,b2=2.5,c1=0.25,c2=0.55,m1=m2=1.通過計算知(H1)和(H3)滿足,g(ξ)有一個正根ξ1≈1.18,所以β1≈1.0861,g＇()＞0.由(2.6)式和引理2.5可得

所以計算可得τ0=1.409.因此由定理2.1和(3.1)式可得如下結(jié)論.

結(jié)論3.1假設(shè)τj(j=0,1,2,···)如(3.1)式定義,

(i)當(dāng)τ∈[0,τ0)時,系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)S4是局部漸近穩(wěn)定的(如圖1所示);

(ii)當(dāng)τ=τj(j=0,1,2,···)時,系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)S4處經(jīng)歷了Hopf分支(如圖2所示).

4　結(jié)論

本文研究了基于浙江省溫州市澤雅水庫的雙時滯富營養(yǎng)化生態(tài)模型.通過對系統(tǒng)線性化方程的特征方程根的分布分析入手,得出了系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性區(qū)域,當(dāng)時滯經(jīng)歷一系列臨界值時,系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支和Hopf-zero分支.本文研究表明,時滯在系統(tǒng)(1.1)的復(fù)雜動力學(xué)行為中起了重要作用,時滯可以使得藻類和濾食性魚類(鰱魚和鳙魚)在穩(wěn)定狀態(tài)下共存.即時滯對生態(tài)種群的穩(wěn)定性有積極影響.

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2010 MR Subject Classification:34C23

STABILITY AND BIFURCATION ANALYSIS OF MULTIPLE TIME DELAY EUTROPHICATION ECOLOGICAL MODEL

YANG Ji-hua1,2,LIU Mei1
(1.School of Mathematics and Computer Science,Ningxia Normal University,Guyuan 756000,China)
(2.School of Mathematical Science,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

In this paper,the stability and bifurcation problem of eutrophication ecological model with two time delays is studied.By using the eigenvalue method,we study the linear stabilities with one delay and two delays,respectively.It is found that Hopf bifurcations and Hopf-zero bifurcations exist at the equilibriums when the delays pass through a sequence of critical values.The sufficient conditions of the existence of Hopf bifurcation and Hopf-zero Bifurcation are obtained.In the end,some numerical simulations are carried out for supporting the analytic results.

two time delays;stability;Hopf bifurcation;Hopf-zero bifurcation

MR(2010)主題分類號:34C23O175

A

0255-7797(2016)06-1222-09

?2015-02-10接收日期:2015-07-06

國家自然科學(xué)基金資助(11361046);寧夏自然科學(xué)基金(NZ13213);寧夏高等學(xué)?？蒲许?xiàng)目(寧教高[2014]222號(17);寧教高[2014]222號(16)).

楊紀(jì)華(1983-),男,河南周口,講師,主要研究方向:微分方程的穩(wěn)定性與分支理論.