朱紅桃，梁馨月，梁 林

(1.云南師范大學(xué)，云南 昆明 650500；2.楚雄師范學(xué)院科技處，云南 楚雄 675000)

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微分幾何背景下Dini曲面的幾何性質(zhì)研究*

朱紅桃1，梁馨月1，梁 林2

(1.云南師范大學(xué)，云南 昆明 650500；2.楚雄師范學(xué)院科技處，云南 楚雄 675000)

曲面是經(jīng)典微分幾何研究的主要對(duì)象，它的性質(zhì)很豐富.本文以Dini曲面為背景，以微分幾何為工具，討論了三維歐氏空間中Dini曲面的有關(guān)幾何性質(zhì)，給出了Dini曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率等幾何性質(zhì)；再由高斯曲率、平均曲率，得到Dini曲面的極小軌跡。

Dini曲面；主曲率；高斯曲率；極小軌跡

微分幾何是以數(shù)學(xué)分析的方法為基礎(chǔ)，應(yīng)用微積分的理論對(duì)空間幾何性質(zhì)進(jìn)行研究的學(xué)科，而曲面是微分幾何研究的主要對(duì)象，它有許多豐富的性質(zhì)。曲面的性質(zhì)是近幾年的研究的新的熱點(diǎn)。袁媛、劉會(huì)立在文[1]中討論了特殊曲線的副法線曲面以及由此特殊性而得到的相關(guān)結(jié)論。梁林在文[2]中討論了曲線的副法線曲面，得到它的幾何性質(zhì)。受此啟發(fā)，本文采用類比研究的方法討論了Dini曲面，得出了Dini曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率、極小軌跡。

1.預(yù)備知識(shí)

(1.1)

第一基本形式為 I=Edu2+2Fdudv+Gdv2.

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

引理3[3]曲面上一點(diǎn)的主曲率的計(jì)算公式為

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

2．主要結(jié)論

設(shè)曲面的參數(shù)方程為

(2.1)

其中

u,v為參數(shù)，a,b為常數(shù)，記Dini曲面為

(2.2)

定理1 Dini曲面∑的第一基本形式為

(2.3)

(a,b為常數(shù))，對(duì)曲面方程求一階導(dǎo)，得

(2.4)

于是，由公式(1.2)及(2. 4)得Dini曲面∑的第一基本形式為

Ⅰ=Edu2+2Fdudv+Gdv2

定理2 Dini曲面∑的第二基本形式為

(2. 5)

證明 由(2.4)知

對(duì)ru, rv求一階導(dǎo)，得

(2. 6)

得Dini曲面∑的第二基本形式為

求一階導(dǎo)得

定理4 Dini曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)不是共軛網(wǎng).

定理5 Dini曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)不是漸近網(wǎng).

證明 由(2. 6)知

定理6 Dini曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)不是曲率線網(wǎng).

證明 由(2. 4)(2. 6)知

定理7 Dini曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)不是切比雪夫網(wǎng).

證明 由(2.4)知

對(duì)u,v求一階導(dǎo)，得Gu=0, Ev=a2sin2v≠0即得證.

(2.7)

證明 由公式(1.7)知Dini曲面的主曲率的計(jì)算公式為

又由(2. 4)和(2. 6)知

令m=a2[a2sin2vcos2v+b2cos2v(cos2v+1)],

設(shè)Dini曲面的主曲率為k1和k2，解得

(2.8)

又由(2. 4)和(2. 6)知

(2.9)

又由(2. 4)和(2. 6)得

(2.10)

證明 由定義知H=0，又由(2. 9)知

所以Dini曲面的極小軌跡為

定理12 Dini曲面具有正則性.

(2.11)

所以Dini曲面具有正則性.

(2.12)

由公式(1.3)知

[1]袁媛，劉立會(huì).空間曲線的副法線曲面[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)，2012,33(10)：1517―1520.

[2]梁林.曲線的副法線曲面及其性質(zhì)研究[J].楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015,30(03):1―4.

[3]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2008.

(責(zé)任編輯 李艷梅)

Research on the Geometric Properties of the Dini SurfaceundertheBackgroundofDifferentialGeometry

ZHUHongtao,LIANGXinyue&LIANGLin

(Yunnan Normal University, Kunming, 650500, Yunnan Province;Science & Technology Dept., Chuxiong Normal University, Chuxiong, 675000, Yunnan Province)

Surfaceismainobjectoftheclassicdifferentialgeometry,whichhasalotofdifferentialgeometry,BasedontheDinisurfaceasthebackground,DiniinthreedimensionalEuclideanspacewerediscussedaboutthegeometricpropertiesofthesurface.GivestheDinisurfaceasymptote,maincurvature,gaussiancurvatureandmeancurvaturegeometryproperties;Againbygaussiancurvatureandmeancurvature,obtainedtheDinitinytrajectoryofthesurface.

Dinisurface;Maincurvature;Gaussiancurvature;Minimalpath

楚雄師范學(xué)院國(guó)家自然科學(xué)基金孵化項(xiàng)目。

2016 - 04 - 24

朱紅桃(1991―)，女，碩士研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))。

O186.16

A

1671 - 7406(2016)09 - 0001 - 06