邢成云（山東省濱州市北鎮(zhèn)中學初中部）

發(fā)揮題組作用優(yōu)化教學效果

邢成云（山東省濱州市北鎮(zhèn)中學初中部）

題組教學是個古老而又有生命力的話題.若依據(jù)教學目標和題組設置的基本原則，通過執(zhí)教者的精心策劃，把相關單題編擬成問題鏈，凝集成一個有機的整體系統(tǒng)，適時、適地地用好這一整體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)合力，將優(yōu)化課堂教學的效果，提高學生的學習能力，進而促進教學的長遠發(fā)展.

題組設計；教學功能；優(yōu)化教學

題組教學是個古老而又有生命力的話題.說它古老，可追溯到我國古代的《九章算術(shù)》；另外，喬治·波利亞（George Polya）編寫的《數(shù)學分析中的問題和定理》一書也是典范，不僅精選題目，發(fā)揮單題的作用，而且在編排上下功夫，發(fā)揮題目間結(jié)構(gòu)功能.他在序中說：本書決不是題目的簡單匯集，而主要是講究資料的排列，它應當促使讀者獨立鉆研，并養(yǎng)成合理數(shù)學思維的習慣.我們花費了很多精力和時間，仔細地進行題目的編排，這顯然是非常必要的.由此可見，在數(shù)學教學中，應用題組是合算的，僅用單題顯然是白白浪費了題目之間相關性（結(jié)構(gòu)）的教學功能.以上論斷足見題組的不凡作用，其旺盛的生命力也彰顯出來.

誠然，若題組中的題目彼此不搭界，那這個題組就是一種機械的拼湊，充其量是“1+1=2”，不能很好地發(fā)揮它們聯(lián)手的力量，但若依據(jù)教學目標，通過一條主線把它們統(tǒng)攝起來，凝集成一個有機的整體系統(tǒng)，這種系統(tǒng)集成塊的適切之用將優(yōu)化教學的效果，促進教學的長遠發(fā)展.

以下通過常見的幾類題組，進行闡釋，交流為盼.

一、題組設計案例

1.鋪墊性題組

精心設置墊腳題，步步逼近，達至呼之欲出的境地.在新知識教學中，常常用這一題組，加強學生學習新知識時知識、思維上的鋪墊，展示知識的發(fā)生過程，找準新知識的生長點，讓學生利用已有的知識結(jié)構(gòu)來同化新知識，實現(xiàn)知識的遷移.有時候面對難度較大的題目教學時，也可選用這一方法.

案例1：分式值為0、分式有（無）意義等的現(xiàn)身，常用如下形式鋪墊題組，如表1所示.

表1

【說明】通過這一題組，在計算的同時，隨機把分式有（無）意義、分式值為0等知識點嵌入，這種鋪墊自然、順暢.

2.并列性題組

這類題組不是簡單的平行重復，而是從不同維度、不同視角集中凸顯某一知識點、某一方法技能點等的設置，它的使用對突破關鍵點有實效.

案例2：分式值為0的集中題組.

【說明】通過一組題目，融入諸多干擾因素，凝聚一點，凸顯分式值為0的意義，即分子為0，分母不為0，這兩個條件缺一不可.

3.遞進性題組

題組中的幾個問題在思維水平與綜合解題能力要求上由淺入深，逐層遞進，符合學生循序漸進的學習規(guī)律.可以滿足不同學生的需要，既給基礎較差的學生展示自我的機會，又有可供基礎較好的學生進一步探究的空間，使得不同層次的學生都有話可說，都有所收獲.

案例3：數(shù)學中有好多形式相同但實質(zhì)不同的題目，學生在處理這類問題稍不留神就會犯下一些錯誤，帶來一些負面影響.如以下試題．

（1）已知等腰三角形的一個底角是50°，則其余兩角的度數(shù)分別為_______；

（2）已知等腰三角形的一個角是50°，則其余兩角的度數(shù)分別為_______；

（3）已知等腰三角形的一個角是100°，則其余兩角的度數(shù)分別為_______；

（4）已知等腰三角形的一個內(nèi)角是n°，求其余兩角的度數(shù).

【說明】此組題中，從一個底角到一個角，再從50°到100°，已經(jīng)把一些規(guī)律包含到里面了，如果條件是一個底角，則所求角有唯一結(jié)果；如果條件是一個角，則需考量這個角是底角還是頂角，所求角有兩種可能；而把這個角確定為100°，則這個角只能是頂角.一數(shù)之差，結(jié)果迥異.

通過第（1），（2），（3）小題的變化可知，等腰三角形的內(nèi)角有這樣的規(guī)律：①頂角可以是銳角、直角、鈍角；②底角只能是銳角.并且在幾個問題的解決中滲透了分類討論的思想，搭起了學生學習的腳手架，把學生由問題淺灘誘入問題深處，再解決第（4）小題對學生來說已是游刃有余了.

可見，這個問題串式題組情境相同，只改變了題中的數(shù)據(jù)，卻引起了解決問題方案的變化，突出了學習內(nèi)容的思考性，讓學生在學習活動中認識到解決問題過程中選擇合理方案的重要性，不僅提高了學生運用所學知識靈活地解決問題的能力，而且也提高了學生的認識水平，引發(fā)了學生重視對條件與問題的審查與思辨，關注解決問題策略的合理與優(yōu)化.

4.對比性題組

有意識地設置一組題目，通過對比形成反差，從而凸顯差異，引起學生的深度思考，有助于鞏固知識和技能，發(fā)展思維力.如復習二次函數(shù)時，可抓住易混點設置對比題組.

案例4：填空．

（1）二次函數(shù)y=2x2-bx+c圖象的頂點在原點，則b=______，c=_______；

（2）二次函數(shù)y=2x2-bx+c圖象過原點，則b______，c=_______.

（3）二次函數(shù)y=2x2-bx+3圖象的頂點在y軸上，則b=_______；

（4）二次函數(shù)y=2x2-bx+3圖象的頂點在x軸上，則b=________.

（5）二次函數(shù)y=（m2-m）x2-2mx+1的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是__________；

（6）函數(shù)y=（m2-m）x2-2mx+1的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是__________.

【說明】以上題目每兩道題為一小組，貌似相同，實則神離，答案各異.學生在平時的練習中屢有混淆、錯誤率很高.設計這樣的題組，讓學生進行比較、分析和綜合，提高審題分析能力.在教學中應提醒學生注意：結(jié)論的變化是由題目條件的變化引起的.因此，要引導學生三思而后行，通過對比分析，提高審題能力，增強解題的準確性.像這樣易錯之處用題組的舉動，能有效地引起學生對細節(jié)的注意，有利于錯誤的避免與糾正，也是培養(yǎng)學生思維的批判性的有效舉措.

5.歸納性題組

這種題組是基于歸納的特點，其中的題目從個別到一般、從具體到抽象，進而概括出一般原理，若再有邏輯推理的助陣，將會完成一個思維的輪回.若根據(jù)教學的內(nèi)容及其規(guī)劃意圖，設置歸納性題組，讓學生在解題過程中體驗這種思維形式，幫助學生歷練知識、技能，積淀數(shù)學活動基本經(jīng)驗，能加深學生對數(shù)

學規(guī)律的認識.

案例5：

（1）如圖1，若點O為∠ABC與∠ACB兩內(nèi)角的角平分線的交點，∠A=100°，求∠BOC的度數(shù).

（2）如圖2，若點O為∠ABC與∠ACB兩外角的角平分線的交點，∠A=100°，求∠BOC的度數(shù).

（3）如圖3，若O為∠ABC的內(nèi)角與∠ACB的外角平分線的交點，∠A=100°，求∠BOC的度數(shù).

（4）若把∠A的度數(shù)去掉，試探求以上三道小題中∠BOC與∠A的數(shù)量關系.

圖1

圖2

圖3

6.構(gòu)架性題組

通過核心主線把題組并聯(lián)起來、貫穿起來、統(tǒng)攝起來，盡可能地窮盡模塊知識的內(nèi)涵與外延，有利于全面鞏固“四基”，加深理解，形成內(nèi)在的知識網(wǎng)絡.

案例6：復習二次函數(shù)，可選用以下題組構(gòu)建二次函數(shù)的網(wǎng)絡圖.

（1）求此函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標.

（2）畫出這個二次函數(shù)的圖象.

（3）求圖象與x軸、y軸的交點坐標.

（4）當x為何值時，y隨x的增大而減小.

（5）當x為何值時，y＞0？y=0？y＜0？

（6）求圖象向左平移2個單位，再向下平移2個單位后所得圖象的函數(shù)表達式.

（7）求圖象繞頂點旋轉(zhuǎn)180°后，所得圖象的函數(shù)解析式.

（8）求圖象關于x軸（或y軸）對稱的圖象的函數(shù)解析式.

（9）當x為何值時，函數(shù)y有最大值？最大值是多少？

（10）記拋物線與x軸的兩個交點為A，B，點C為拋物線上任一點，若△ABC的面積為1，試確定點C的坐標.

【說明】一個題組網(wǎng)盡二次函數(shù)的核心知識，把二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)（頂點、對稱性、開口、增減性、最值）、對稱變換，以及與方程、不等式的聯(lián)系等貫通在一起，整體呈現(xiàn)，脈絡分明，通過師生的共建，知識網(wǎng)絡就形成了.

7.探索性題組

這類題組，它按照一定的組成和線索，出示一組數(shù)、式、圖、表等，讓學生通過觀察、實驗、計算等數(shù)學活動，撥動學生的思維神經(jīng)，助推學生發(fā)現(xiàn)和揭示一些數(shù)學規(guī)律；或者提出一系列的問題，層級推進，彼此借力，通過題組的合力與張力，把內(nèi)在的解題規(guī)律提煉出來，并把探索的規(guī)律用之于解題，這樣做不但能激發(fā)學生的學習興趣，而且能培養(yǎng)學生的觀察能力、發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，以及邏輯思維能力.

案例7：有關基本圖形的核心圖形——半徑、弦的一半以及弦心距的題組.

（1）已知，如圖4，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D.若AB=8 cm，OA= 5 cm，則OD=____；

（2）已知，如圖4，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D.若AB=6 cm，OD=4 cm，則OC= _____；

（3）已知，如圖4，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D.若AB=6 cm，OD= 4 cm，則CD=______；

（4）已知，如圖4，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D.若OC=5 cm，CD=2 cm，則AB=____.

圖4

（5）通過上述四個問題的解答，同學們能發(fā)現(xiàn)什么？

先思考，再小組交流.

【說明】圖中涉及四條與圓有關的重要線段：半徑（OA）、弦（AB）、弦心距（OD）、弓形高（CD）.它們的不同組合形成了豐富多彩的題目.通過題組的解答與交流，引導學生把這四個量知其二則能求其另二的規(guī)律揭示出來，使之成為解題的有力武器，為它們的后續(xù)應用儲備能源.

為了將探求出的規(guī)律及時顯能，可安排一組題作為課后作業(yè).

（1）如圖5，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于點E，交于點D.

圖5

①試寫出五個不同類型的正確結(jié)論;

②若BC=8，ED=2，求⊙O的半徑.

【說明】此題揭示了垂徑定理與勾股定理聯(lián)袂的本質(zhì)，是對“四條線段”彼此確定最有力的注解.

（2）如圖6，已知⊙O半徑為5，弦AB長為8，點P為弦AB上一動點，連接OP，則線段OP的最小長度是_______.

圖6

【說明】此題表面上并沒有要求弦心距，但線段OP的最小長度狀態(tài)即為OP⊥BA之時，故問題仍然轉(zhuǎn)化為求弦心距.

（3）已知圓的半徑為13 cm，兩弦AB//CD，AB= 20 cm，CD=10 cm，則兩弦AB，CD的距離是（ ）.

（A）7 cm （B）17 cm

（C）12 cm （D）7 cm或17 cm

【說明】基于圓的對稱性，此題包括兩種情況，求解需將兩弦AB，CD的距離轉(zhuǎn)化為兩條弦心距的和或差，具有一定的綜合性.

通過這一題組作業(yè)，讓學生感知作弦心距、連半徑就是此類題目的常用輔助線，并進一步領悟四量知二求二的解題真諦.

8.規(guī)律揭示性題組

案例8：在“坐標系內(nèi)的圖形對稱”的中考復習課中，可設計如下題目.

（1）點P(x，y)關于x軸對稱的點的坐標是_______；關于y軸對稱的點的坐標是_______；關于原點對稱的點的坐標是_______.

（2）直線y=2x-1關于x軸對稱的直線的解析式是______；關于y軸對稱的直線的解析式是_______；關于原點對稱的直線的解析式是_______；

（4）拋物線y=3x2+2x-1關于x軸對稱的拋物線的解析式是_______；關于y軸對稱的拋物線的解析式是______；關于原點對稱的拋物線的解析式是______.

【說明】通過題組沿著從點到線，從直線到曲線，遞進式發(fā)展.通過這種集中呈現(xiàn)，揭示出對稱的一般規(guī)律，幫助學生構(gòu)建起解決問題的方法體系——線由點組成，線的對稱就是點的對稱.因此，關于x軸對稱，即將y用-y替換，x不變；關于y軸對稱，即將x用-x替換，y不變；關于原點對稱，即將x用-x替換，將y用-y替換即可.當通過探研獲得這種一脈同源的認識后，就成了以后解決此類問題的有力工具.

二、題組的設置原則

題組的設計要遵循基本原則，力避盲目亂象.題組中的題目之間是有機聯(lián)系、相輔相成的，它們構(gòu)成一個小組織、一個小系統(tǒng).這個組織、這個系統(tǒng)要有規(guī)矩，除了恪守科學性原則外，還需遵循以下的基本原則.

1.目的性要強，指向鮮明

題組的設置力避隨心所欲的簡單的拼盤，力戒“拿到籃里都是菜”的盲目組題，成組要有共同的聚合點，能承擔起內(nèi)化知識、熟練技能、凝聚方法、提升思想的重任.也就是說，目的一定要明確.導向一定要鮮明，是為了以舊引新，還是為了突出重點；是為了化難為易，還是為了歸納提煉等都要了然于心.

2.思想性要強，突出方略

題組設置總有自己的思想脈絡，忌簡單重復、原地踏步；要有思想、有靈魂，有思維含量.用數(shù)學思想武裝起來的學生，他們解決問題將更具有洞察力和卓識遠見，融入數(shù)學思想的題組運用于課堂，我們的教學才會更加朝氣蓬勃、充滿生機.笛卡兒說過，最有價值的知識是關于方法的知識.突出題組的方法性能、策略價值至關重要，因此，題組教學一定要走出狹隘的以題論題之困境，臻于以題論法之幽境，進而登臨以題論道之圣境.

3.階梯性要強，層級推進

笛卡兒說過，從最簡單、最易懂的對象開始，依照先后次序，一步步達到更為復雜的對象.夸美紐斯說過，一切功課都應細分成階段，務使先學的能為后學的掃清道路，給予解釋.兩位偉人的經(jīng)典之言給了我們設置題組教學以極大的啟示，明確了題組設置的方向，要遵循學生的認知規(guī)律和知識的形成規(guī)律，由簡到繁，由淺入深，由易到難，層級遞進.要用題組中的題目的梯度，逼近學生的最近發(fā)展區(qū)，以便適應不同學生的不同需求，讓不同學生各有所獲.

4.啟發(fā)性要強，啟迪智慧

題目的設置要有啟發(fā)性，要有“不悱不發(fā)”的蓄勢.富有啟發(fā)性的題組能不斷地激發(fā)學生的學習積極性，集中學生的注意力，發(fā)展學生的智力，起到舉一反三、遷移同化的啟迪作用，能啟迪思維，啟迪智慧，生出求索的欲望.

5.系統(tǒng)性要強，擴張題能

整體效益是題組的追求與歸宿！整體效應產(chǎn)生題目的增值，結(jié)構(gòu)體系迸發(fā)系統(tǒng)的整合之力.從系統(tǒng)論的觀點來看，題組就是一個系統(tǒng)，它不是零星題目的隨意組合，更不是題目的堆砌疊加，它貫穿的是融教育規(guī)律、教育方法、知識內(nèi)在聯(lián)系為一體的一條系統(tǒng)脈絡.因此，題組要按照知識的形成過程和相關知識點之間的內(nèi)在關聯(lián)來設計，題目組合要有序，搭配要合理.

6.智趣性要強，增進參與

興趣激發(fā)靈感，興趣增進參與，但單有外在的趣味還不夠，還要有數(shù)學的真味.外在趣味下的參與是一種淺層的參與，只有靠數(shù)學的內(nèi)在魅力生發(fā)的智趣才是內(nèi)驅(qū)力，學生才會為解題而樂此不疲.題組設置的有魅力、有磁力，才能更好地把學習者引入新的思維境界，使學習饒有興致、富有情趣，并給人以美的享受，助于補償學生解題之勞頓，提升數(shù)學好玩的幸福指數(shù).

三、結(jié)束語

通過前面題組的設計與分析，我們看到了題組所特有的功能，它不是獨立題目的“物理”組合，單看各個小題沒有多大作用，但一組題膠合起來就有了威力，這就是凝聚的作用，集體的力量，也是“組”的核能量.內(nèi)在的關聯(lián)是題組的特征，有引領、凝聚、啟示、揭示等源動力.

題組不是偶爾為之的營養(yǎng)大餐，而是天天面對的家常便飯，讓常態(tài)的方法成為習慣，長期的習慣成為意識，長期的意識養(yǎng)成能力，我們的課堂就得到了優(yōu)化，就有了實實在在的效果.

［1］楊之，陳國清.數(shù)學題組芻議［J］.中學數(shù)學，1994（5）：15-18.

［2］邢成云.題組引領梯度推進：例談題組梯度復習法［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2010（7/8）：34-37.

2016—05—26

山東省教學研究課題——全息教學論下的跨越式教學（pt-20120126）.

邢成云（1968—），男，中學高級教師，主要從事課堂教學與中考研究.