尚亞明（華東師范大學數(shù)學系）

張玉環(huán)（河南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）

中、法初中教材中方程內(nèi)容的比較研究

尚亞明（華東師范大學數(shù)學系）

張玉環(huán)（河南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）

對中國與法國初中教材中方程內(nèi)容進行量化分析和質(zhì)性分析，并得到一些啟示.量化分析方面，中國人教版教材對廣度、深度、例習題的要求均高于法國；質(zhì)性分析方面，中國人教版教材重視對知識的探索與拓展、對具體問題的解決，而法國教材注重學生自我體驗感悟、對知識的各個擊破，以及逐步引導學生求知.

中、法教材；方程內(nèi)容；比較研究

一、問題的提出

方程作為初中數(shù)學教材的一個重要組成部分，是初中生用來解決問題的最主要手段和工具.方程具有深遠的數(shù)學思想，甚至可以不斷深入影響許多學科發(fā)展.因方程內(nèi)容在整個數(shù)學體系中的重要位置與作用，著名數(shù)學家陳省身對“解方程”問題曾給出很好的評價.研究者普遍認為，教師在日常教學中相當依賴教材，在很大程度上依據(jù)所使用的教材決定教什么，怎么教，以及給學生布置哪些習題等.眾所周知，位于歐洲西部的法國在歷史上對數(shù)學的發(fā)展有著重大貢獻.因此，選擇中國和法國兩個國家的初中教材作為研究對象，以期對中國教材方程部分的編寫與使用提供一定的參考與借鑒.

二、研究設計

1.研究對象

人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）是目前在國內(nèi)影響較大、使用面較廣的教材.現(xiàn)選取七年級上冊、七年級下冊、九年級上冊這三冊包含方程內(nèi)容的教材進行比較研究.

2.研究方法

主要對內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、例習題難度進行量化分析；對核心知識點的處理、實際應用進行質(zhì)性分析，以此推斷中國與法國初中階段教材中方程部分設置的異同點和各自特點.

（1）知識點的確定方法.

知識點即教材正文中所出現(xiàn)的所有數(shù)學概念、數(shù)學命題（公理、定理、法則、公式等）.根據(jù)下面三條原則確定知識點：①依據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，對比兩國的教材，并參考相關(guān)資料；②如果兩個概念區(qū)分度不大時，算做一個知識點，例如二元一次方程和二元一次方程組；③雖然函數(shù)和方

程關(guān)系很密切，但現(xiàn)在考查的是“方程”模塊，在“方程”模塊中沒有出現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，故不作為知識點.確定的知識點如表1所示.

表1：兩國各模塊所含知識點

【說明】表1中列方程、二元一次方程組，三元一次方程組、一元二次方程、一元二次方程的解、公式法、根與系數(shù)關(guān)系是人教版教材比SM教材多的知識點.其中、方程的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系是性質(zhì)，代入消元法（在SM教材中叫代換消元法）、加減消元法（在SM教材中叫高斯消元法）、配方法（在SM教材中叫完全平方法）、公式法、因式分解法（在SM教材中有提公因式法、平方差公式法）是算法，方程、方程的解、二元一次方程組、二元一次方程組的解、三元一次方程組、一元二次方程、一元二次方程的解是概念.

（2）內(nèi)容的比較方法.

將方程知識分為一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程三個模塊，對內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度進行比較.兩個國家教材中所包含的知識領(lǐng)域、概念與命題的數(shù)量作為廣度的指標，深度比較指標如表2所示.

表2：內(nèi)容深度水平指標

（3）例、習題的比較方法.

選取知識點數(shù)量、背景、要求水平三個指標來進行比較，見表3.

表3：例、習題水平指標

其中di依次分別表示知識點數(shù)量、背景和要求等因素的取值；dij表示第i個難度因素的第j個水平的權(quán)重；nij表示一組題目中屬于第i個難度因素的第j個水平的題目的個數(shù)，其總和等于該題目的個數(shù)n.

三、研究過程與結(jié)果

1.量化分析

（1）內(nèi)容廣度比較.

從表1可以看出，人教版教材中“方程”部分有19個知識點，內(nèi)容廣度為19；SM教材有13個知識點，內(nèi)容廣度為13.兩國對相同概念的定義方式有所差異，主要體現(xiàn)在表述的不同.例如，對方程的定義，人教版教材的定義為含有未知數(shù)的等式是方程；SM教材的定義為方程是一個等號和一個或多個未知數(shù)（常用字母表示）組成的表達式.前者強調(diào)方程是等式，后者強調(diào)方程是表達式，且表述更詳細，更徹底.再比如，對方程的解的定義，人教版教材為，一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解；SM教材為，滿足兩個等式的數(shù)字是二元一次方程組的解.本質(zhì)一樣，但出發(fā)點不一樣，表述各有特色.人教版教材方程內(nèi)容中被定義的知識點個數(shù)要多于SM教材，比如對于二元一次方程組、三元一次方程組、一元二次方程、一元二次方程的解等概念的定義（教材中實際還有對一元一次方程、二元一次方程的定義），還有對代入消元法、加減消元法等解法的定義，而法國教材對這些沒有提及.兩個版本的教材對于基礎(chǔ)知識點，比如方法的解釋、運用，都較多涉及，體現(xiàn)了算法的思想.

對于兩個國家的三個模塊所出現(xiàn)的被定義的知識點個數(shù)如圖1所示.

圖1

從圖1可以看出：人教版教材“方程”的三個模塊被定義的知識點個數(shù)多于SM教材.

（2）內(nèi)容深度比較.

將兩個版本教材中方程三大模塊的知識點按照內(nèi)容深度指標表（見表2）進行匯總（一元一次方程的應用、二元一次方程組的應用、一元二次方程的應用三個知識點除外，不計入總數(shù)），并將兩個指標不同水平的知識點個數(shù)進行統(tǒng)計，得到圖2.

圖2

由圖2可知：兩個版本的教材內(nèi)容呈現(xiàn)方式都偏重于類比、歸納水平，且人教版教材的偏重更重，人教版教材三個水平差距大，SM教材三個水平差距小.

（3）例、習題比較.

將兩個版本教材方程部分例、習題按照難度量化指標表（見表3）進行統(tǒng)計，得到表4.

表4：兩個版本教材方程例、習題難度量化數(shù)據(jù)

①例題比較.

人教版教材中方程部分有22道例題，SM教材中方程內(nèi)容有23道例題，根據(jù)上面公式計算難度獲得其比較的三角形圖，如圖3所示.

圖3

②習題比較.

人教版教材中方程內(nèi)容習題共167道，SM教材中方程內(nèi)容部分習題共165道，兩個版本教材習題數(shù)目不相上下，根據(jù)公式（1）計算難度獲得其比較的三角形圖，如圖4所示.

圖4

綜上所述，SM教材中方程部分例、習題難度低于人教版教材中方程部分例、習題難度.

2.質(zhì)性分析

（1）核心知識點的處理比較.

對于方程，兩個版本教材的設置各有特點，特別是對核心知識點的處理，這點充分體現(xiàn)在知識點的引入上.現(xiàn)分別選取列方程（SM教材中沒有該知識點，但有相關(guān)的解釋）、方程的性質(zhì)兩個有代表性的知識點做比較，從而得出兩個版本教材對方程核心知識點處理的不同.

①列方程的比較.

列方程在中國是一個基礎(chǔ)知識點，同時也是一個教學難點，研究它的引入，并且對比它在SM教材的引入，是非常有意義的.在人教版教材中，給出列方程這個知識點之前，首先給出一個“汽車勻速經(jīng)過三個村莊”的具體實例，題目給出了具體的解題步驟，同時設了好多空白，讓學生自己試著在原有的知識基礎(chǔ)上作答，然后拓展為列方程，從而完成了列方程的引入.

SM教材雖然也沒有明確地提出列方程，但對于這個知識點，教材中還是以活動的形式給出了解釋，這個活動有具體的步驟，見案例1.

案例1：（1）Alice用一個數(shù)乘以8，然后加上7，得到一個結(jié)果；（2）Bertrand用一個數(shù)乘以6，然后加上13，得到一個結(jié)果；（3）Chloe用一個數(shù)乘以3，然后加上30，得到一個結(jié)果；（4）如果Alice和Bertrand的起始數(shù)都是x，并且得到的結(jié)果是一樣的，寫出一個含有x的方程；如果Alice和Chloe的起始數(shù)字都是y，并且得到的結(jié)果是一樣的，寫出一個含有y的方程；如果Bertrand和Chloe的起始數(shù)字都是z，并且得到的結(jié)果是一樣的，寫出一個含有z的方程.

【評析】案例1的整個過程簡單明了，每一步都讓學生自我體驗，逐步引導學生求知，從而列出方程.

②方程的性質(zhì)的比較.

方程的性質(zhì)在兩個版本的教材中都有出現(xiàn)，它對解方程起著至關(guān)重要的作用，學生只有充分理解它的內(nèi)涵，在應用時才能得心應手.方程的性質(zhì)包含兩條，人教版教材對于這兩條的引入，是從學生熟悉的天平開始的，接著給出兩條性質(zhì)，是一個回顧和告訴的過程.

而SM教材在給出性質(zhì)之前，會給出一個有具體步驟的活動，里面有若干個問題，大致步驟見案例2.

案例2：Ali和Sonia有相同個數(shù)的球.（1）如果你給了他們相同數(shù)目的球，那他們的球數(shù)還相同嗎？（2）如果你從Ali那里拿走了一個球，那你該怎么做才能使他們的球數(shù)依舊相同？（3）Sonia在玩三倍于原來數(shù)目的球，那Ali是不是也得增加相同數(shù)目的球才能保持相等？（4）Ali給了別人他的原來一半的球，Sonia也這樣做，那他們的球數(shù)還相同嗎？（5）總結(jié)出一些性質(zhì).

【評析】案例2的每一步讓學生設身處地思考，在這個基礎(chǔ)上，再給出兩條性質(zhì).很容易看出，SM教材把兩條性質(zhì)分成了四小條，前兩小條對應性質(zhì)1，后兩小條對應性質(zhì)2，注重各個擊破.

（2）實際應用的比較.

兩個版本教材都注重對三個模塊的實際運用，特別是人教版教材，對于這三個部分的應用，還設立了獨立的小節(jié)進行整體討論探究，SM教材雖然沒有作為獨立的小節(jié)研究，但對應用的介紹還是很有特點的.例如，兩個版本教材對于一元一次方程的應用的設置.人教版教材的一元一次方程的應用在章末的“實際問題與一元一次方程”小節(jié)中著重討論，題目以探究題的形式出現(xiàn).

探究：這是一個關(guān)于銷售中的盈虧的具體問題：一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

給出題目后，先進行分析，然后設盈利25%的那件衣服的進價是x元，根據(jù)進價與利潤的和就是售價，就可以得到方程x+0.25x=60，解得x=48.類似地，設另外一件衣服的進價，根據(jù)相等關(guān)系得到方程，進而求解，得到答案.然后結(jié)合兩個答案，得到最終的答案.在這方面人教版教材注重知識的探究和拓展.

SM教材的一元一次方程的應用主要體現(xiàn)在對結(jié)果的解釋上，如案例3.

案例3：問題1：Sylvia比他的妹妹Rose大7歲.10年之后，Sylvia的歲數(shù)比妹妹Rose大一倍.如果把Rose的年齡設為x，那么Rose多大了？

問題2：2000年，Paul的年齡是10歲，Louis的年齡是17歲，什么時候Louis的年齡是Paul的兩倍？把這一年與2000年的差設為x.

（1）把這兩個問題列成方程，你意識到了什么？

（2）解決這兩個方程；

（3）把兩個結(jié)果放在一起，進行總結(jié).

【評析】根據(jù)問題1，可以列出方程：7+x+10= 2(x+10).解得x=-3；根據(jù)問題2，可以列出方程：17+x=2(x+10).解得x=-3.把兩個方程放到一起，

很容易看出這兩個方程是一樣的，結(jié)果也一樣.那么對于問題1，得到x=-3，意義就是Rose的年齡是-3歲；對于問題2，也得到x=-3，意義就是1997年，Louis的年齡是Paul的兩倍.很顯然，這兩個結(jié)果不符合實際情況，故這兩個解不成立，也就是說題目無解.這種逐步引導學生思考、發(fā)現(xiàn)，最后總結(jié)的活動步驟，在人教版教材中是沒有出現(xiàn)的.

四、研究結(jié)論及啟示

1.研究結(jié)論

（1）在內(nèi)容廣度上，人教版教材方程的內(nèi)容廣度比SM教材中方程的內(nèi)容廣度大，且三大模塊定義的知識點個數(shù)明顯多于SM教科書.

（2）在內(nèi)容深度上，人教版教材三個模塊的知識點的呈現(xiàn)方式都偏重于第二個水平，即歸納、類比.但人教版教材的偏重程度要高于SM教材，并且人教版教材三個水平差距大于SM教材.

（3）在例、習題難度上，人教版教材的三個難度因素水平都普遍高于SM教材.從難度取值來看，在背景方面，人教版教材題目比較關(guān)注學生的個人生活背景，SM教材更多的是無背景；在知識點數(shù)量上，人教版教材題目知識點含量明顯高于SM教材，知識點含量差距大；在要求水平上，人教版教材略高于SM教材，都偏重于“理解”層次.

（4）在對核心知識點的處理、實際應用的比較上，人教版教材比較注重對知識的探索與拓展，注重對具體問題的解決；SM教材注重學生的自我體驗和感悟，對知識點的各個擊破，逐步引導學生求知.

2.啟示

（1）注重基礎(chǔ).初中階段屬于義務教育階段，以掌握基礎(chǔ)知識、形成基本技能為主，重視通性、通法的掌握.兩個版本教材的方程部分知識均以三大模塊出現(xiàn)，即一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程，并且兩個版本教材對于一些基礎(chǔ)知識點都很注重.比如，方法的解釋：解二元一次方程組中的代入消元法、加減消元法（在SM教材中，叫高斯消元法）、解一元二次方程中的配方法（在SM教材中，叫完全平方法）、因式分解法（在SM教材中，有提公因式法、平方差公式法）等；方法的運用：一元一次方程的運用、二元一次方程組的運用、一元二次方程的運用等；在例、習題方面，中法兩國題目的內(nèi)容設計也重在基礎(chǔ).

（2）適當減少“方程”的定義個數(shù).有人做過統(tǒng)計，一本書中出現(xiàn)的定義個數(shù)與讀完這本書的人成反比.方程這塊知識在初中教材中的位置不容忽視，而且它的現(xiàn)實應用性也很高，但有時比較抽象，難以把握，出現(xiàn)較多的定義，不但達不到預期的教學目的，反而會讓學生產(chǎn)生一種厭學心理.

（3）注重對知識各個擊破，以及逐步引導學生求知.相比于算式，方程引入了未知數(shù)，是含有未知數(shù)的等式，建立的邏輯關(guān)系比較抽象，如果學生沒有深入理解用方程解決問題的各個知識點的含義，就不能準確地用方程解決問題.SM教材的實際應用和對核心知識點的處理方面，設置的“活動”部分從每個知識點出發(fā)，逐步引導學生一一擊破，使學生充分了解知識，理解并掌握它們.所以，注重對每個知識點的各個擊破，逐步引導學生運用方程顯得尤為重要.

［1］張奠宙.數(shù)學的明天［M］.南寧：廣西教育出版社，2000.

［2］姜美玲.教師實踐性知識研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2008.

［3］人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書·數(shù)學（七年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2012．

［4］人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書·數(shù)學（八年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2012．

［5］人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.義務教育教科書·數(shù)學（九年級下冊）［M］．北京：人民教育出版社，2012．

［8］周九詩，王延文.中英初中數(shù)學教科書難易程度的比較研究：以中國“人教版”和英國《數(shù)學連接》為例［J］.數(shù)學教育學報，2013，22（3）：18-23.

［9］范良火，黃毅英，蔡金法，等.華人如何學習數(shù)學（中文版）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

2016—07—19

河南省教師教育課程改革研究項目——多元化學習評價在高校數(shù)學類教師教育理論課程的實踐與探索（2016-JSJYYB-012）；河南大學民生學院教育教學改革研究項目——《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的學習成績歸因分析及對策研究（MS?JG2015025）.

尚亞明（1991—），女，博士，主要從事數(shù)學教育方向的研究.