孫朝仁（江蘇省連云港市教育科學研究所）

中考試題解法“自然性”的四個“引擎”
——以2015年江蘇省連云港市中考試題第26題為例

孫朝仁（江蘇省連云港市教育科學研究所）

以2015年江蘇省連云港市中考試題第26題為載體，呈現(xiàn)生成解題自然性的四個“引擎”，即通過溯源比較引發(fā)自然，通過內顯變式引向自然，通過原型定向引導自然，通過系統(tǒng)生成引動自然，以此凸顯崇尚自然和常規(guī)的自然解題要義．

數(shù)學試題；解法研究；自然引擎

“自然”取自然而然之意，即按照事物內部規(guī)律發(fā)展變化．把自然界的這種“自然性”借用到教學領域，則需要教師把握好生成解法自然性的四個“引擎”，即溯源比較、內顯變式、原型定向和系統(tǒng)生成．以2015年江蘇省連云港市中考試題第26題為例，呈現(xiàn)解題的自然性，以此凸顯崇尚自然和常規(guī)的自然解題要義．

一、試題解法探析

題目（2015年江蘇·連云港卷）在數(shù)學興趣小組活動中，小明進行數(shù)學探究活動．將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

圖1

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，試幫他說明理由．

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，試幫他求出此時BE的長．

圖2

（3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由．

圖3

解析：第（1）小題考查了基本圖形中兩條直線的位置關系，可以借助全等變換獲取解答方案.

如圖4，延長EB交DG于點M，可得△EBA≌△GDA.

圖4

從而得∠MGB=∠AEB.

又∠GBM=∠EBA，進而可知∠GMB=∠EAB=90°.

所以DG⊥BE．

這種基于三角形全等尋求角之間的數(shù)量關系，進而獲取圖形位置關系的方法，是每個學生易想易做的通法，也是解決基本圖形問題的自然解法．

第（2）小題考查基本圖形的特殊性，可借助操作不變性思想（旋轉變換），在全等變換思想指導下獲取線段等量關系（DG=BE），將未知線段（BE）轉化為可求解線段（DG）．即如圖5，過點A作AH⊥DG于點H，利用勾股定理可得從而有這種通過構造直角三角形，獲取線段數(shù)量關系的方法，在初中階段是一種普適解法.

圖5

而第（3）小題考查了動點問題靜態(tài)化思想．就△GHE面積最大而言，在底GE為定值的情況下，面積的最大值需要GE邊上的高最長．由于無論圖形旋轉到何位置，總有DG⊥BE，因此，點H是始終在以EG為直徑的圓上，顯然唯有當點H與點A重合時，△GHE的高最大，此時其面積最大值為4．同時，△BHD的面積也最大，其最大值為2.因此，它們面積之和的最大值為6．這類帶有幾何直觀特征的軌跡類猜想題，學生很容易借助特殊位置關系獲取正確答案．盡管有些學生知其然，不知其所以然，但獲取正確結果的自然性很大．

二、中考試題解法自然性的四個“引擎”

自然性是指在自然環(huán)境中自然變化所引起的自然行為.對于解題教學而言，其解法的自然性需要一定的“引擎”，方能讓學生生成解題的自然性.這里的“引擎”主要有通過溯源比較引發(fā)自然，通過內顯變式引向自然，通過原型定向引導自然，通過系統(tǒng)生成引動自然．

1.溯源比較，引發(fā)自然

溯源比較是生成解題自然性的基本引擎，反映解題系統(tǒng)內部的自然屬性．這里的“溯源”是對問題來源的追問；“比較”是對同類問題的本質特征的把握．解題要回到自然，回到固有的生動活潑的思考之中．而通過溯源比較可以使得學生盡快進入生動活潑思考的心理狀態(tài)，可見溯源比較是引發(fā)自然解題的起點．

“溯源”就是要尋找教材原型，便于引發(fā)自然解題．經(jīng)過尋找發(fā)現(xiàn)，2015年江蘇省連云港市中考試題第26題源于蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊第94頁習題第16題：點C在線段AB上，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側作正方形ACDE和BCFG，連接AF，BD．（1）AF與BD是否相等？證明你的結論．（2）如果點C在線段AB的延長線上，（1）中所得的結論是否成立？試畫出圖形并證明.

此中考試題改變了設問的方向，由探索數(shù)量關系轉移到對位置關系的探尋，并對數(shù)量關系進行深度探究，包括對線段長度的求解和對面積最值的思考．

“比較”就是要思考解決同類問題的本質特征，為解題教學提供理性思維的自燃性．經(jīng)比較，筆者聯(lián)想到2014年江蘇省連云港市中考試題第27題的前兩道小題，試題如下.

某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8．

問題思考：如圖6，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP，BP為邊在同側作正方形APDC與正方形BPEF．

圖6

（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，試求出；若不是，求出這兩個正方形面積之和的最小值．

（2）分別連接AD，DF，AF，AF交DP于點K.當點P運動時，在△APK，△ADK，△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？試說明理由．

蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第68頁習題第5題就研究了“母子型”圖形的相關問題，只不過設問方向與2014年江蘇省連云港市中考試題第27題考查角度不同：教材習題是從面積和周長的角度直接預設的，而2014年江蘇省連云港市中考試題第27題“問題思考”是從函數(shù)和等積選擇的角度設問的.在這樣的比較中，自然獲得一類試題的常規(guī)解法．在教學中，如果教師能經(jīng)常引導學生思考問題的來源，并比較同類問題的本質特征，那么學生見到陌生問題就能自然尋求到問題解決的突破口，提高解題效率.

2.內顯變式，引向自然

內顯變式是生成解題自然性的關鍵引擎．變式是排除概念非本質屬性干擾的重要手段，內顯變式是解題自然性形成的關鍵策略．而由變式到解題行為發(fā)生的本身，又是實現(xiàn)解題思維躍遷的自然過程.其間，內顯變式（變化參數(shù)設置、變換試題背景等）是引向解題自然的主要動力來源，當然并不排除外顯變式（數(shù)量關系的變化、圖形位置的變化等）的助推作用．無論是外顯的還是內顯的都反映解題教學需突破同一背景的變式思想．

心理學家馬斯洛指出，學習者具有發(fā)自內心的生長力，教師的重要任務在于設置良好的學習環(huán)境，讓學生自行學習．這里的“生長力”“學習環(huán)境”“自行學習”可理解為形而上的自然性因素，前者應該與原始自然屬性對應；后兩者應該與生產自然屬性吻合．因為只有基于自然的背景中，方能讓學習者的思維有序，向平穩(wěn)過渡，實現(xiàn)解題自然．

從教材原型到2015年江蘇省連云港市中考試題第26題的變式來說，顯然屬于內顯變式．前者考查了靜態(tài)直觀和動態(tài)變化融合的較為直接的數(shù)量關系，而后者考查了基于位置變化背景背后的數(shù)量關系．就試題

示例內部邏輯關系來說，第（1）小題屬于顯性變式，利用幾何直觀可自然解決；第（2）小題屬于隱性變式，需要進行構造與化歸相結合來解決；第（3）小題屬于外顯變式，需要思考并抓住運動變化中的不變量，進而思考運動狀態(tài)下的“極端”情形（最大值）．三道小題由淺入深，層層遞進，又相互關聯(lián)，在變式中讓學生學會數(shù)學的思維，形成解題的自然屬性.

3.原型定向，引導自然

原型定向是生成解題自然性的重要引擎．自然解題的過程就是學習者定向原型的自然而然過程．這里的“自然”就是順應學生的心理發(fā)展水平，“而然”就是讓問題思維水平盡可能與不同學習者的知覺水平自然銜接．這就要求試題本身具有清晰的原型起點，方能讓學習者的解題思維邏輯連貫、模型清晰．就教材習題原型的思維起點而言，就是基本圖形數(shù)量關系的建立（AF與BD是否相等），而初中階段借助全等變換是獲得線段數(shù)量關系的自然通法，因此原型定向具有選擇心理水平層面的自然性．2015年江蘇省連云港市中考試題第26題的思維起點，就是基本圖形位置關系的建立（小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，試幫他說明理由），而初中階段借助概念是獲得特殊位置關系的常規(guī)路徑，這就為構造直角三角形埋下思維的自然伏筆．無論是教材原型還是試題示例，最終都是通過全等變換實現(xiàn)自然的解答．因此，全等變換是試題組塊的自然通法，同時，定量分析自然解法的過程，又促進了原型定向的自然反哺功能．

依據(jù)心理學家安德森的心智技能形成三段論（認知階段、聯(lián)結階段和自動化階段），筆者認為，心智技能形成的邏輯起點就是原型定向與現(xiàn)有思維水平的一致性．真正的自然解法應該是原型定向的自然化序列過程，由教材原型到試題示例中采用的全等變換，其思維水平是梯級遞進的自然過程．前者是直接變換的結果（全等三角形對應邊相等的性質），后者是間接變換的結果（借助全等三角形對應角相等的性質，利用三角形內角和定理，獲得直角的等量關系）．試題示例三個設問間的內部關系，均是以“垂直”這一位置關系為自然思維的起點，第（2）小題借助勾股定理解決問題，第（3）小題借助圓周角定理得以解決．而定理是高級思維的自然形態(tài)，時時監(jiān)控學生的思維走向，有利于簡單化思考，引導生成解題的自然性．

4.系統(tǒng)生成，引動自然

系統(tǒng)生成是引動解題自然性的高級引擎．“系統(tǒng)”在這里可理解為解題對象、解題矛體和解題受體，以及由受體轉化為矛體的過程性因素的組合．“生成”具有不穩(wěn)定性和不平衡性，可理解為在個體思維最近發(fā)展區(qū)的原型內化形態(tài)性和層次性，體現(xiàn)人人都能獲得良好數(shù)學教育的課程理念．

系統(tǒng)生成引動解題自然主要體現(xiàn)在以下三個層面：一是學生自然想到的通性、通法；二是易于操作的常規(guī)性方法；三是具有清晰的思維線索，可水平關聯(lián)和垂直聯(lián)結．試題示例的三個設問可抽象成“圖形位置關系—線段數(shù)量關系—面積數(shù)量關系”．從水平關聯(lián)特征來看，揭示“數(shù)量—位置—數(shù)量”之間自然水平轉換關系．這就要求解題時，關注位置關系中的自然解法（全等變換），只要在位置關系視野下，后續(xù)的自然思維將迎刃而解．從垂直聯(lián)結特征來看，反映“化歸—操作不變性—幾何直觀—數(shù)形結合”之間的相互補位．這就要求解題教學時，應用力于把握邏輯分析、邏輯監(jiān)控和邏輯呈現(xiàn)，以及反例補償?shù)刃袨橐兀侥芤齽幼匀唤忸}，體現(xiàn)試題自然解法的功能．

任何科學都關心某種變化中不變的東西，而哲學關心普遍的規(guī)律．這里“不變的東西”不是“能指”而是“所指”，在解題領域可解釋為系統(tǒng)生成的物質化外殼，具有獨特性和不均衡性．換句話說，也就是不同個體在解題自然的反哺下，可獲得不同層面的發(fā)展．而“普遍的規(guī)律”則是自然的自然屬性，具有理性審美意識，在解題領域具有“常規(guī)”“通性”之美．也可以理解為，自然解法是尚簡的、大道的和審美的．

生成自然解法，除了需要有自然的載體（中考試題）來承載，還需要用自然的引擎來引領，更需要擁有自然意識的主體（學習者）來顯化．因此，解法自然不止于對具體問題的通法、通性的研究，而在于對解題教學系統(tǒng)各要素自然屬性的表征研究，體現(xiàn)系統(tǒng)解題自然觀．

［1］張逢臣，王志進.探索解題方法自然生成的軌跡［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2015（4）：29-31．

［2］尤維明.探尋解題方法自然生成的源泉［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2015（6）：49-50．

［3］云鵬，李健.得之自然成之天然［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2015（6）：50-51．

［4］［德］菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數(shù)學［M］.舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯.上海：復旦大學出版社，1989．

2016—08—01

孫朝仁（1967—），男，正高級中學高級教師，主要從事初中數(shù)學教育與教學研究及科研管理.