屈改珠

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西渭南 714000)

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高階非線性薄膜方程的李對(duì)稱分析

屈改珠

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西渭南 714000)

利用李群分析方法研究了高階非線性薄膜方程.首先，利用無(wú)窮小生成元方法得到了該方程的李代數(shù)及其最優(yōu)系統(tǒng),然后對(duì)方程進(jìn)行約化,最后獲得了一些具有特定物理意義的相似解.

高階非線性薄膜方程；李對(duì)稱分析；不變解

0 引言

對(duì)稱群方法[1-7]是約化并求解非線性偏微分方程的有效方法之一,它是由挪威數(shù)學(xué)家Sophus Lie于19世紀(jì)末提出的，稱作經(jīng)典李對(duì)稱群方法.該方法已廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)、物理、工程以及非線性科學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域,并產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.李對(duì)稱群方法不僅可以研究方程的群理論性質(zhì),還可以得到與方程的完全可積性相關(guān)的某些數(shù)學(xué)特征.

本文利用李對(duì)稱群方法研究2m階非線性薄膜方程

(1)

1 方程(1)的李對(duì)稱和優(yōu)化系統(tǒng)

1.1 方程(1)的李對(duì)稱分析

下面利用李對(duì)稱群方法研究2m階非線性薄膜方程(1).假定方程(1)的解集在單參數(shù)李群變換

(2)

下是不變的，且

(3)

這里Dt,Dx分別表示關(guān)于t和x的全導(dǎo)數(shù)算子,即

上述變換群的無(wú)窮小生成元為

(4)

(5)

將(3)式代入(5)式,同時(shí)結(jié)合方程(1)消去ut，根據(jù)u的不同階導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)函數(shù)為零經(jīng)計(jì)算整理可得關(guān)于未知函數(shù)ξ,τ,η的超定系統(tǒng):

(6)

考察以下三種情形.

(A)f(u)為任意函數(shù).解方程組(6)可得

相應(yīng)的3維李代數(shù)為:

(7)

(B)f(u)=up.解方程組(6)可得

相應(yīng)的4維李代數(shù)為:

(8)

(C)f(u)=eau(a≠0).解方程組(6)可得

相應(yīng)的4維李代數(shù)為:

(9)

1.2 方程(1)的優(yōu)化系統(tǒng)

以下根據(jù)方程(1)允許的李對(duì)稱及其交換關(guān)系，算出相應(yīng)的伴隨作用表示,進(jìn)而利用群分析理論，給出方程(1)的優(yōu)化子代數(shù).

(A)f(u)為任意函數(shù).方程(1)的3維子代數(shù)由V1,V2和V3構(gòu)成,并有交換關(guān)系

將上面的李代數(shù)運(yùn)算結(jié)果代入到伴隨作用公式

中，得到生成元(7)對(duì)應(yīng)的伴隨作用為

AdV1V2V3V1V1V2V3-12mεV1V2V1V2V3-εV2V3e12mεV1eεV2V3

設(shè)V=a1V1+a2V2+a3V3，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化該向量，考慮下面幾種情形：

綜上所述，當(dāng)f(u)為任意函數(shù)時(shí)，方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)為V1,V3,V2+μV1.

(B)f(u)=up.方程(1)的4維子代數(shù)由V1,V2,V3,V4構(gòu)成,并有交換關(guān)系

其對(duì)應(yīng)的伴隨作用表示為

AdV1V2V3V4V1V1eεV2V3V4V2V1-εV2V2V3V4V3V1V2V3eεV4V4V1V2V3-eεV4V4

(C)f(u)=eau(a≠0).方程(1)的4維子代數(shù)由V1,V2,V3,V4構(gòu)成,并有交換關(guān)系

其對(duì)應(yīng)的伴隨作用表示為

AdV1V2V3V4V1V1eεV2V3V4V2V1-εV2V2V3V4V3V1V2V3eεV4V4V1V2V3-eεV4V4

類似情形A計(jì)算方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)的過(guò)程，我們得到其他兩種情形的最優(yōu)系統(tǒng)，結(jié)果見(jiàn)表1.

2 方程(1)的相似約化和不變解

2.1 方程(1)的相似約化

利用表1的最優(yōu)系統(tǒng)我們得到方程(1)的三種情形對(duì)應(yīng)的對(duì)稱約化和群不變解,約化所得方程為常微分方程,分別由表2、表3、表4給出.

表1 方程(1)的優(yōu)化系統(tǒng)

表2 f(u) 為任意函數(shù)時(shí)方程(1)的對(duì)稱約化

表3 f(u)=up 時(shí)方程(1)的對(duì)稱約化

表4 f(u)=eau 時(shí)方程(1)的對(duì)稱約化

2.2 方程(1)的不變解

利用表1～4中的約化方程可以導(dǎo)出方程(1)的一些不變解，在此，我們僅就某些具有特定物理意義的相似解加以討論[9,11].

(A)Source 解和sink 解.

因此，如果p>-2m，則當(dāng)t→0時(shí)，u(x,t)→δ(x)，且相似解為source解；如果p<-2m，則當(dāng)t→+∞時(shí),u(x,t)→δ(x),且相似解為sink解.同時(shí)對(duì)相應(yīng)的常微分方程關(guān)于z積分一次，得到(2m-1)階常微分方程

(10)

所以當(dāng)f(u)=up時(shí),高階薄膜方程(1)被約化為(2m-1)階常微分方程(10)，且具有source解和sink解.

對(duì)表3中的情形5,我們?nèi)=-2m，則相似解具有如下形式

因此，如果μ>0，則當(dāng)t→-∞時(shí),u(x,t)→δ(x)，且相似解為source解；如果μ<0，則當(dāng)t→+∞時(shí)，u(x,t)→δ(x),且相似解sink解.對(duì)相應(yīng)的常微分方程關(guān)于z積分一次，得到(2m-1)階常微分方程

(11)

所以當(dāng)f(u)=up時(shí)，高階薄膜方程(1)被約化為(2m-1)階常微分方程(11)，且具有source解和sink解.

(B)Waiting-time解.

表3中的情形1為一階常微分方程，求解后得到高階薄膜方程(1)具有waiting-time解

其中t0為任意常數(shù).

(C)Blow-up解.

表4中的情形1為一階常微分方程，求解后，得到高階薄膜方程(1)具有解

3 結(jié)論

本文利用李群分析方法討論了2m階薄膜方程(1)，得到了該方程的李對(duì)稱、最優(yōu)系統(tǒng)、相似約化以及群不變解，進(jìn)一步分析了方程的一些具有特定物理意義的相似解.對(duì)方程(1)的其他對(duì)稱約化求解方面的研究，如非古典對(duì)稱、勢(shì)對(duì)稱、非局域?qū)ΨQ、勢(shì)守恒律等，應(yīng)是很有意義的后續(xù)工作.

[1]LIES.überdieintegrationdurchbestimmteintegralevoneinerklasselinearerpartiellerdifferentialgleichungen[J].Arch Math,1881(6):328.[2] OLVER P J.ApplicationsofLieGroupstoDifferentialEquations[M].2nd ed.New York:Springer,1993.

[3] BLUMAN G W,KUMEI S.SymmetriesandDifferentialEquations[M].New York:Springer,1989.

[4] IBRAGIMOV H N.TransformationGroupsAppliedtoMathematicalPhysics[M].Boston:Reidel,1985.

[5] BLUMAN G W,ANCO S C.SymmetriesandIntegrationMethodsforDifferentialEquations[M].New York:Springer,2002.

[6] OVSIANNIKOV L V.GroupAnalysisofDifferentialEquations[M].New York:Academic,1982.

[7] GANDARIAS M L,BRUZN M S.Symmetry analysis and solutions for a family of Cahn-Hilliard equations[J].ReportsonMathematicPhysics,2000,46(1):89.

[8] ARONSON D G.The porous medium equation[C]//NonlinearDiffusionProblems.Lecture Notes in Mathematics,New York:Springer,1986,1224:1.

[9] GANDARIAS M L,MEDINA E.Analysis of a lubrication model through symmetry reductions[J].EurophysLett,2001,55(2):143.

[10] KING J R.The isolation oxidation of silicon:The reaction-controlled case[J].SIAMJApplMath,1989,49:1064.

[11] HUANG D J,YANG Q M,ZHOU S G.Group properties and invariant solutions of a sixth-order thin film equation in viscous fluid[J].JMathPhys,2013,54(1):013510(1-12).

(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

Lie symmetry analysis of a higher-order thin film equation

QU Gai-zhu

(School of Mathematics and Physics,Weinan Normal University,Weinan 714000,Shaanxi,China)

In this paper,Lie symmetry analysis approach is developed to study a higher-order nonlinear thin film equation.Using the infinitesimal generators,the Lie algebras and its optimal systems of the higher-order thin film equation are derived.The equation is then reduced to the ordinary differential equations.As a result,some physical interest solutions are obtained and discussed.

higher-order nonlinear thin film equation;Lie symmetry analysis;invariant solution

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.004

2016-04-08;修改稿收到日期:2016-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371293,11501419);陜西省軍民融合項(xiàng)目(15JMR20)；渭南師范學(xué)院理工類科研項(xiàng)目(16ZRRC05);渭南師范學(xué)院校級(jí)特色學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(14TSXK02)

屈改珠(1978—)，女，陜西蒲城人，講師，博士.主要研究方向?yàn)槠⒎址匠?E-mail:qugaizhu.hi@163.com

O 175.2

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1001-988Ⅹ(2016)06-0018-04