于霖沖

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空間站展開機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析①

于霖沖②

(廈門理工學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廈門 361024)

考慮了動(dòng)力失諧、質(zhì)量失諧和摩擦失諧三種常見失諧現(xiàn)象，研究了空間站展開機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)。利用多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法，在機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自動(dòng)分析(ADAMS)仿真平臺(tái)下建立了空間站柔性展開機(jī)構(gòu)的失諧模型，并用重要度抽樣方法隨機(jī)抽取失諧量，然后進(jìn)行機(jī)構(gòu)動(dòng)學(xué)仿真，得到機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。仿真研究證明，該方法可用較少的計(jì)算時(shí)間得到柔性展開機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)隨機(jī)分布特性。

諧調(diào)機(jī)構(gòu)， 失諧機(jī)構(gòu)， 動(dòng)態(tài)響應(yīng)， 重要度抽樣方法

0 引 言

空間站展開機(jī)構(gòu)是由若干細(xì)長(zhǎng)的子機(jī)構(gòu)構(gòu)成的柔性周期機(jī)構(gòu)(periodicmechanism)，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)呈高度非線性。在失諧情況下，空間站展開機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與諧調(diào)模型的理想動(dòng)態(tài)響應(yīng)相比是不同的，利用蒙特卡洛方法進(jìn)行隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的時(shí)間成本較大，因而需研究失諧下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)方法。本研究采用重要度抽樣方法進(jìn)行了失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，該方法減少了計(jì)算成本，得到了失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)的隨機(jī)分布特性。

1 相關(guān)研究

通常情況下，對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有一定規(guī)律性和重復(fù)性的周期機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，只需要計(jì)算有代表性的一個(gè)子機(jī)構(gòu)，并將該子機(jī)構(gòu)的分析結(jié)果擴(kuò)展到整個(gè)周期機(jī)構(gòu)。這種方法既降低了問(wèn)題的復(fù)雜性，又減少了計(jì)算成本。在這方面已有研究，例如于霖沖等分析了對(duì)稱空間站展開機(jī)構(gòu)其中一側(cè)子機(jī)構(gòu)的變形動(dòng)態(tài)響應(yīng)并進(jìn)行了動(dòng)態(tài)可靠性分析[1]；高陽(yáng)等針對(duì)軸對(duì)稱機(jī)構(gòu)的一個(gè)子機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)可靠性分析[2]。然而，由于制造裝配誤差以及機(jī)構(gòu)運(yùn)行使用過(guò)程中的隨機(jī)因素，子機(jī)構(gòu)完全相同的諧調(diào)機(jī)構(gòu)是不存在的。不同子機(jī)構(gòu)之間在拓?fù)?、尺寸、質(zhì)量以及使用條件(摩擦、受力)等方面存在差異的機(jī)構(gòu)叫做失諧機(jī)構(gòu)(mistunedmechanism)。由于機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨時(shí)間改變，尤其是柔性機(jī)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)方程為微分代數(shù)方程，分析難度大、計(jì)算工作量大，計(jì)算時(shí)間成本高[3,4]。雖然機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)參數(shù)在失諧情況下同設(shè)計(jì)理論值相比會(huì)有差異，但是在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中這種差異被忽視。

自從Anderson在1958年首次發(fā)現(xiàn)金屬結(jié)晶過(guò)程中存在失諧現(xiàn)象以來(lái)[5]，在機(jī)械結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域也相繼發(fā)現(xiàn)了失諧現(xiàn)象，例如：Xie探討了大型平面桁架結(jié)構(gòu)的失諧問(wèn)題，提出了失諧結(jié)構(gòu)分析的基本方法[6]；Angelo研究了失諧連續(xù)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)局部化問(wèn)題[7]；Yoo等討論了周期結(jié)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)[8]；Raeisil等利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基因算法計(jì)算了葉盤結(jié)構(gòu)的失諧問(wèn)題[9];Bai等分析了葉盤結(jié)構(gòu)的失諧問(wèn)題[10]。近30年以來(lái)，失諧結(jié)構(gòu)的研究取得了很多新進(jìn)展，很多理論、方法和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以應(yīng)用于機(jī)構(gòu)的失諧響應(yīng)分析。隨著計(jì)算技術(shù)的不斷改進(jìn)以及計(jì)算方法效率的不斷提高，進(jìn)行失諧機(jī)構(gòu)的研究是失諧結(jié)構(gòu)分析的發(fā)展趨勢(shì)。本文首先利用多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法建立了諧調(diào)柔性機(jī)構(gòu)模型，根據(jù)重要度抽樣方法隨機(jī)抽取失諧量，然后進(jìn)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真，得到了機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。結(jié)果表明：利用本方法可以用較低的時(shí)間成本得到柔性機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)隨機(jī)分布特性，為進(jìn)一步研究失諧機(jī)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。

2 諧調(diào)機(jī)構(gòu)與失諧機(jī)構(gòu)系統(tǒng)模型

2.1 諧調(diào)機(jī)構(gòu)與失諧機(jī)構(gòu)

機(jī)構(gòu)系統(tǒng)是由多個(gè)構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副組成的多體系統(tǒng)，如果機(jī)構(gòu)系統(tǒng)是包含子機(jī)構(gòu)的諧調(diào)周期機(jī)構(gòu)，那么在不同的子機(jī)構(gòu)的構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副是諧調(diào)的。具有相同設(shè)計(jì)(形狀、尺寸、約束以及作用)但隸屬于不同子機(jī)構(gòu)的構(gòu)件，互稱為諧聯(lián)構(gòu)件，而不隸屬于子機(jī)構(gòu)的其他構(gòu)件稱為獨(dú)立構(gòu)件。通常情況下，諧聯(lián)構(gòu)件在計(jì)算機(jī)輔助工程(CAE)分析時(shí)按照相同的網(wǎng)格劃分原則進(jìn)行，如果機(jī)構(gòu)是完全相同的諧調(diào)機(jī)構(gòu)，諧聯(lián)構(gòu)件的網(wǎng)格劃分結(jié)果是完全相同的。反之，如果子機(jī)構(gòu)是由于構(gòu)件幾何形狀、幾何尺寸等拓?fù)涫еC引起的，那么構(gòu)件在離散化網(wǎng)格劃分上的結(jié)果也是有差異的。構(gòu)件在離散化時(shí)，將結(jié)構(gòu)劃分為有限個(gè)單元，單元之間的連接簡(jiǎn)化為彈簧和阻尼，如圖1所示。

圖1 構(gòu)件離散化模型

假設(shè)周期機(jī)構(gòu)的任意兩個(gè)諧聯(lián)構(gòu)件ai和bi，如果它們?yōu)橹C調(diào)構(gòu)件，對(duì)于任意參數(shù)p(i)存在

pa(i)=pb(i)

(1)

即構(gòu)件ai和bi任意參數(shù)均一致。

如果(1)式不成立，即構(gòu)件ai和bi某一參數(shù)或者某些參數(shù)不一致，則出現(xiàn)失諧。機(jī)構(gòu)失諧的程度用失諧量σm描述，見下式：

σm=pa(i)-pb(i)

(2)

失諧量是指由制造誤差、裝配誤差以及使用過(guò)程中的不確定因素引起的參數(shù)不一致。即σm≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)存在失諧。

為了便于說(shuō)明和計(jì)算，定義單位失諧量σ為

σ=0.01×p(i)

(3)

即單位失諧量是參數(shù)理想值的1%，例如若諧聯(lián)構(gòu)件ai失諧量為-2σ，而諧聯(lián)構(gòu)件bi失諧量為3σ，則

σm=-2σ-3σ=-5σ

(4)

在式(4)中，σm所表達(dá)的物理意義等同于式(2)，不同的只是將失諧量σm轉(zhuǎn)化為單位失諧量σ的倍數(shù)來(lái)表示。

2.2 失諧空間站柔性展開機(jī)構(gòu)模型

空間站展開機(jī)構(gòu)由左右對(duì)稱的兩組子機(jī)構(gòu)組成，子機(jī)構(gòu)通過(guò)鉸鏈副連接到空間站主體結(jié)構(gòu)，機(jī)構(gòu)初始位置為收攏狀態(tài)，如圖2(a)所示。其中，左側(cè)子機(jī)構(gòu)的構(gòu)件a1～a9以及右側(cè)子機(jī)構(gòu)的構(gòu)件b1～b9為細(xì)長(zhǎng)桿，作為柔性構(gòu)件，其他構(gòu)件作為剛體。機(jī)構(gòu)由d1～d4四臺(tái)電機(jī)提供驅(qū)動(dòng)動(dòng)力，驅(qū)動(dòng)規(guī)劃是前10s為勻速驅(qū)動(dòng)，10s之后機(jī)構(gòu)借助慣性展開，并在d1～d4阻尼作用下在規(guī)定時(shí)間(25s)和規(guī)定位置停止，即機(jī)構(gòu)處于完全展開狀態(tài)時(shí)停止，如圖2(b)所示。

柔性機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為微分代數(shù)方程，在給定初值后可迭代求解，計(jì)算時(shí)間成本較高。因此，周期機(jī)構(gòu)利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的規(guī)律性，一般選擇一個(gè)子機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，主要目的就是降低計(jì)算的復(fù)雜性，減少計(jì)算時(shí)間。這樣做的前提是周期機(jī)構(gòu)是一個(gè)諧調(diào)機(jī)構(gòu)，各個(gè)子機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是完全相同的。在文獻(xiàn)[1]中，柔性機(jī)構(gòu)模型與空間站主體結(jié)構(gòu)固定連接，假設(shè)空間站主體結(jié)構(gòu)為靜止的剛體，并對(duì)右側(cè)子機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)的可靠性分析。

(a) 展開機(jī)構(gòu)模型

(b)ADAMS平臺(tái)下失諧展開機(jī)構(gòu)模型

若機(jī)構(gòu)為失諧機(jī)構(gòu)，即左右兩側(cè)子機(jī)構(gòu)之間存在失諧，右側(cè)子機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)同左側(cè)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)不一定完全相同。那么，用一側(cè)的分析結(jié)果代替另一側(cè)顯然存在計(jì)算誤差。因此，為了更加準(zhǔn)確地分析機(jī)構(gòu)的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)，以圖2(a)中彈簧阻尼結(jié)構(gòu)代替文獻(xiàn)[1]的剛體本體，以滑動(dòng)鉸鏈支撐代替文獻(xiàn)[1]的固定連接支撐。這樣使模型更加接近于工程實(shí)際，并且考慮失諧響應(yīng)在子機(jī)構(gòu)之間傳遞的影響。失諧展開機(jī)構(gòu)模型在機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自動(dòng)分析(ADAMS)仿真平臺(tái)下建立，給定各個(gè)構(gòu)件的幾何、物理、拓?fù)浜图s束信息，失諧量的數(shù)據(jù)采用人工修改方法輸入，展開機(jī)構(gòu)模型如圖2(b)所示。

根據(jù)柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理[4]，用Lagrange乘子法建立的柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

式中：M(t)為柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變質(zhì)量矩陣；K(t)為柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變剛度矩陣；C(t)為柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變約束矩陣；F(t)為柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變廣義力矩陣；λ為L(zhǎng)agrange乘子列陣；q為廣義坐標(biāo)列陣。

2.3 重要度抽樣方法

若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，在N次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻數(shù)為n，頻率為W(A)=n/N，則對(duì)于任意ε>0，有

(6)

即當(dāng)N足夠大時(shí)，頻率WA以概率為1收斂于PA。根據(jù)式(6)，為了取得較高的精度，必須有足夠大的抽樣次數(shù)N才能夠達(dá)到足夠的精度。對(duì)于非線性程度高的柔性機(jī)構(gòu)，單次失諧仿真計(jì)算的時(shí)間成本較高，通過(guò)很大的仿真次數(shù)來(lái)提高分析精度的做法顯然是不科學(xué)的。重要度抽樣方法是對(duì)上述方法的重要改進(jìn)，其基本原理是：在隨機(jī)變量的離散數(shù)據(jù)抽樣時(shí)，通過(guò)修正隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和抽樣中心，使隨機(jī)變量離散數(shù)據(jù)的抽樣頻次具有不同的權(quán)值，這樣用較少的抽樣數(shù)據(jù)即可得到較多的信息，從而提高計(jì)算效率，降低計(jì)算成本。重要度抽樣方法包括自適應(yīng)重要度抽樣、方向重要度抽樣和分層抽樣等，其中自適應(yīng)重要度抽樣是較常用且計(jì)算效率較高的方法。重要度抽樣方法的具體計(jì)算過(guò)程參考文獻(xiàn)[11]。

3 空間站柔性展開機(jī)構(gòu)失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)

諧聯(lián)構(gòu)件a6和b6在展開運(yùn)動(dòng)中做平移運(yùn)動(dòng)，是機(jī)構(gòu)是否展開到位、是否完成展開運(yùn)動(dòng)的標(biāo)志，因此考慮失諧的影響，以諧聯(lián)構(gòu)件a6和b6為研究對(duì)象進(jìn)行失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。分別考慮單因素失諧和多因素失諧，計(jì)算失諧量從σ到5σ變化引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變化。

3.1 單因素失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真

分別考慮動(dòng)力失諧、質(zhì)量失諧和摩擦失諧三種常見的失諧現(xiàn)象，為了便于計(jì)算和說(shuō)明，假定左側(cè)子機(jī)構(gòu)各個(gè)參數(shù)均為理論值，右側(cè)子機(jī)構(gòu)的動(dòng)力、各個(gè)構(gòu)件質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)副的摩擦存在失諧，失諧量為確定值。按照式(5)進(jìn)行仿真并比較左右子機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，動(dòng)力失諧的動(dòng)態(tài)響應(yīng)比質(zhì)量失諧和摩擦失諧劇烈，動(dòng)力失諧量為2.5σ的位移失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖3所示，橫坐標(biāo)為時(shí)間，單位為s，縱坐標(biāo)為位移，單位為mm。

(a) x方向位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)

(b) y方向位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)

在圖3中可以看出，當(dāng)發(fā)生動(dòng)力失諧時(shí)，左右兩側(cè)子機(jī)構(gòu)的位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)是不一致的，x方向位移響應(yīng)的最大差值為6mm，出現(xiàn)時(shí)刻為10s。同時(shí)，柔性構(gòu)件的快變運(yùn)動(dòng)即在y方向的振動(dòng)也出現(xiàn)了不同步現(xiàn)象。

當(dāng)失諧量從σ變化到5σ時(shí)，比較諧聯(lián)構(gòu)件a6和b6的速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)，速度失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖4所示，橫坐標(biāo)為時(shí)間，單位為s，縱坐標(biāo)為速度，單位為mm/s。

在圖4中速度失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)的最大差值隨著失諧量的增大而增大，在到達(dá)展開位置前的殘余速度差值也隨著失諧量的增大而增大。當(dāng)失諧量從σ變化到5σ時(shí)，諧聯(lián)構(gòu)件a6和b6的加速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖5所示。

圖4 速度失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖5 加速度失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖5中橫坐標(biāo)為時(shí)間，單位為s，縱坐標(biāo)為加速度，單位為mm/s2。從圖5中可以看出，加速度失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)的最大差值隨著失諧量的增大而增大，最大差值出現(xiàn)在15s時(shí)刻。在25s展開運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，存在殘余加速度差值。殘余加速度差值越大，柔性機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)就大。

3.2 多因素的隨機(jī)失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)

由于柔性機(jī)構(gòu)的失諧仿真計(jì)算成本較高，將動(dòng)力、質(zhì)量和摩擦失諧按照重要度抽樣方法進(jìn)行抽樣并進(jìn)行多因素失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真是一種減少計(jì)算時(shí)間的方法。具體方法如圖6所示。首先按照蒙特卡羅方法進(jìn)行失諧量的隨機(jī)抽樣，按照均值μ、±σ、±2σ、±3σ、±4σ和±5σ將抽樣數(shù)據(jù)劃分到圖6中對(duì)應(yīng)的范圍，以上述特定點(diǎn)的仿真數(shù)據(jù)代替所有劃分到該范圍的抽樣數(shù)據(jù)的仿真值。例如在單因素仿真時(shí)，用11次仿真即可計(jì)算出動(dòng)態(tài)響應(yīng)的隨機(jī)分布，通過(guò)這種方法，用特定點(diǎn)的較少次數(shù)的仿真就可以模擬多次仿真。

圖6 重要度抽樣方法

通過(guò)蒙特卡羅方法抽樣3000組數(shù)據(jù)，按照重要度方法劃分范圍，得到動(dòng)力失諧的隨機(jī)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的加速度極值分布，如圖7所示。橫坐標(biāo)是動(dòng)態(tài)響應(yīng)分布，其中σ為單位失諧量，縱坐標(biāo)為次數(shù)。

圖7 失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)分布

在圖7中，90.8%以上的失諧出現(xiàn)在±σ之間，絕對(duì)值超過(guò)3σ的失諧響應(yīng)占比不到5%。而且，失諧量與失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間并非單調(diào)非線性關(guān)系，不同失諧量引起的失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)是不同的。

4 結(jié) 論

機(jī)構(gòu)中廣泛存在失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)，尤其是柔性機(jī)構(gòu)，在其使用過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)，應(yīng)該引起足夠的重視。隨著失諧量的增大，殘余速度和加速度差值增大，不利于機(jī)構(gòu)定位和控制。

采用重要度抽樣方法簡(jiǎn)單可行，柔性機(jī)構(gòu)仿真時(shí)間成本較低。但是計(jì)算精度較低，需使用提高計(jì)算精度的算法進(jìn)行改進(jìn)。

除重點(diǎn)研究各種因素導(dǎo)致機(jī)構(gòu)產(chǎn)生失諧動(dòng)態(tài)響應(yīng)之外，由失諧引起的可靠性分析、疲勞分析以及振動(dòng)局部化問(wèn)題，將會(huì)是失諧機(jī)構(gòu)研究的熱點(diǎn)。

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Analysis on mistuned dynamic responses of space station expanding mechanism

Yu Linchong

(School of Mechanical and Automotive Engineering，Xiamen University of Technology， Xiamen 361024)

Mistuned dynamic responses in a flexible expanding mechanism for space stations were studied with the three common mistuning phonomena of dynamic mistuning, mass mistuning and friction mistuning being considered. Firstly, a mistuned model of a flexible expanding mechanism for space stations was established under the platform of automatic dynamic analysis of mechanical systems (ADAMS) by using the method of flexible multibody dynamics, and the mistuned quantity was randomly sampled by using the importance sampling method. Then, the dynamic simulation of the flexible mechanism was conducted, and the mechanism’s mistuned dynamic responses were obtained and processed. The result of the simulation study verifies that the importance sampling method can use the less computation time to obtain the distribution characteristics of a flexible spanding mechanism’s mistuned dynamic responses.

tuned mechanism, mistuned mechanism, dynamic response, importance sampling method

① 863計(jì)劃(2006AA04Z405)和國(guó)家自然科學(xué)基金(51375412)資助項(xiàng)目。

2015-09-17)

② 男，1968年生，副教授；研究方向：系統(tǒng)可靠性，CAD及自動(dòng)化，系統(tǒng)仿真；聯(lián)系人，E-mail:ylc1968@163.com；lcyu@xmut.edu.cn(