郝 歡 王華力 魏 勤

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經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解理論及其應(yīng)用①

郝 歡②*王華力③*魏 勤**

(*解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院 南京 210007)(**武漢理工大學(xué)信息工程學(xué)院 武漢 430070)

闡述了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)的概念、基本理論及其作為一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的時頻分析方法，能夠根據(jù)信號特點(diǎn)自適應(yīng)地將信號分解成一組具有物理意義的固有模態(tài)函數(shù)的線性組合，十分適合于非線性、非平穩(wěn)信號分析的機(jī)理，然后綜述了一維EMD算法在解決包絡(luò)擬合、邊界效應(yīng)、模態(tài)混疊等關(guān)鍵問題上的研究進(jìn)展，重點(diǎn)對新興的多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的發(fā)展情況進(jìn)行了詳細(xì)論述；介紹了EMD在信號去噪，地球物理、生物醫(yī)學(xué)信號處理，電力工程、機(jī)械工程故障診斷方面的主要應(yīng)用，結(jié)合EMD研究中的難點(diǎn)問題，指出了下一步研究的五個重要方向。

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)， 時頻分析， 固有模態(tài)函數(shù)(IMF)， 多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

0 引 言

現(xiàn)代信號分析與處理以非線性、非高斯和非平穩(wěn)信號為研究對象，非平穩(wěn)信號分析更是當(dāng)前信號分析領(lǐng)域中的熱門研究課題。傅里葉變換已廣泛用于平穩(wěn)信號的分析與處理，然而它對于非線性、非平穩(wěn)信號，由于缺乏時間-頻率聯(lián)合分析能力，因而不能給出有意義的物理解釋。目前典型的時頻分析方法有短時傅里葉變換[1]、小波變換[2]和Wigner-Ville分布[3]等，盡管這些方法在理論分析和工程應(yīng)用中都得到了較為廣泛的應(yīng)用，但都存在一定的局限性。而由美國華裔科學(xué)家Huang[4]提出的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)能夠根據(jù)信號特點(diǎn)自適應(yīng)地將信號分解成一組具有物理意義的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)的線性組合，十分適合于非線性、非平穩(wěn)信號分析。本文以EMD的發(fā)展歷程為主線，綜述了EMD基本理論與關(guān)鍵問題，重點(diǎn)對最新的多維EMD理論與發(fā)展情況進(jìn)行了闡述，同時對現(xiàn)有的EMD相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行了介紹，并展望了未來的研究方向。

1 EMD研究概況

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)于1998年首次提出，它是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)時頻分析方法。EMD一般被稱為一個“篩選”過程。自EMD理論提出以來，相關(guān)的理論研究取得了豐碩的成果。2003年Rilling[5]采用鏡像延拓的方法對信號進(jìn)行延拓，有效抑制了EMD中的邊界飛翼現(xiàn)象。2009年Wu[6]利用EMD對高斯白噪聲具有近似二進(jìn)濾波器組特性，提出了集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)，不僅很好地解決了模態(tài)混疊現(xiàn)象，還抑制了由于極值點(diǎn)過少引起的邊界點(diǎn)飛翼。Yeh[7]和Torres[8]先后提出了互補(bǔ)集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(complementary ensemble empirical mode decomposition，CEEMD)，消除了EEMD中多次加噪引入的剩余噪聲，使得一維EMD分解理論得到完善。為了對復(fù)信號進(jìn)行處理，Tanaka[9]將復(fù)信號分解為正負(fù)頻率分量的解析信號形式，給出了復(fù)數(shù)EMD分解算法。Altaf[10]在復(fù)數(shù)域直接對復(fù)信號進(jìn)行EMD分解，提出了旋轉(zhuǎn)不變復(fù)數(shù)EMD算法。Rilling[11]認(rèn)為二維信號由快旋轉(zhuǎn)分量和慢旋轉(zhuǎn)分量組成，提出了更加準(zhǔn)確的二維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(bivariate empirical mode decomposition，BEMD)方法。通過對BEMD進(jìn)行拓展，Rehman在2010年先后提出了三維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(trivariate empirical mode decomposition，TEMD)[12]和多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(multivariate empirical mode decomposition，MEMD)[13]。在此基礎(chǔ)上，2011年Rehman又提出了噪聲輔助的多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(noise-assisted multivariate empirical mode decomposition，NA-MEMD)[14]，通過引入輔助噪聲通道，消除了MEMD中存在的模態(tài)混疊現(xiàn)象，使得多通道信號聯(lián)合分析方法得到完善。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對EMD理論和應(yīng)用的研究正在如火如荼地開展。自EMD方法提出以來，Huang所在課題組一直致力于EMD理論的推廣與完善。法國Flandrin教授所在課題組在研究EMD性質(zhì)的同時，積極推動了EMD的應(yīng)用，尤其是2003年Rilling編寫的EMD程序在工程應(yīng)用中得到了廣泛應(yīng)用。英國帝國理工學(xué)院的Mandic教授帶領(lǐng)的課題組對多維EMD的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，2013年課題組成員Rehman[15]在AdvancesinAdaptiveDataAnalysis中對一維EMD到多維EMD理論的發(fā)展進(jìn)行了綜述。同一年，Mandic教授[16]在IEEESignalProcessingMagazine的時頻分析?？显俅螌MD理論的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述。在國內(nèi)，一些高校和科研院所也積極開展了EMD的研究工作，如中科院自動化所、北京大學(xué)、天津大學(xué)、哈爾濱理工大學(xué)等。從2005年開始，國家自然科學(xué)基金委共資助了18項EMD理論及其工程化應(yīng)用研究項目。近年來資助的項目和金額不斷增大，僅2014年批準(zhǔn)的EMD研究項目就高達(dá)4項。2009年，海軍大連艦艇學(xué)院徐曉剛教授[17]在《電子學(xué)報》上對一維EMD和二維EMD的發(fā)展情況進(jìn)行了總結(jié)歸納。2014年，海軍航空工程學(xué)院戴豪民[18]在《高技術(shù)通訊》上綜述了希爾伯特-黃變換存在的問題，并對下一步的研究進(jìn)行了展望。相比于國外的研究工作，國內(nèi)學(xué)者的研究主要集中于一維和二維EMD方法的改進(jìn)上，相關(guān)綜述也缺乏對最新的多維EMD方法的介紹。

2 EMD基本理論

2.1 瞬時頻率與固有模態(tài)函數(shù)

頻率一般用于刻畫信號波形的振蕩模態(tài)和周期屬性，是信號處理、通信和物理學(xué)等領(lǐng)域中的一個重要概念。自然界中的信號大都具有非平穩(wěn)特性，其頻率隨時間的變化而變化，傳統(tǒng)的頻率定義方法無法描述具有明確物理意義的時變頻率現(xiàn)象。為了準(zhǔn)確描述非平穩(wěn)信號特性，Gabor[19]給出了解析信號的表示形式，Ville等[3]在此基礎(chǔ)上定義瞬時頻率(fi)為實信號(s(t))所對應(yīng)解析信號的相位函數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)。對于實信號s(t)，其Hilbert變換為

(1)

s(t)的解析信號為

(2)

其中，a(t)和θ(t)分別表示復(fù)信號的幅度和相位。瞬時頻率fi定義為

(3)

以上瞬時頻率的求法簡單便捷，但對于給定時間只能得到一個瞬時頻率值，因而只適用于單頻信號分量。然而，實際信號一般是寬帶信號或包含多個頻率分量，每個時刻存在多個瞬時頻率。為了得到有意義的瞬時頻率，Boashash[20]對信號作了一定的限制，要求信號經(jīng)Fourier變換后的實部只存在正頻率分量。由于Fourier變換是一種全局變換，因而這一限制是一種全局限制，不利于物理實現(xiàn)。在研究疊加了直流分量的單音信號的瞬時頻率特性后，Huang[4]指出，要得到有意義的瞬時頻率，信號分量必須具有局部對稱性且均值為0，從而以這種局部限制代替全局性限制條件。

由于這一局部限制使得信號中每一時刻的瞬時頻率都具有明確的物理意義，表征的是信號的內(nèi)在特性，Huang將這種信號成分定義為固有模態(tài)函數(shù)(IMF)。通過將信號分解為一系列具有局部特性的IMF分量的線性組合，分別對每個IMF分量求瞬時頻率便可以解決實際信號中多個瞬時頻率的表示問題。為此，Huang對IMF分量作如下限制：(1)整段信號中極值點(diǎn)和過零點(diǎn)數(shù)目相等或者最多相差1個；(2)由極大值和極小值形成的包絡(luò)關(guān)于x軸對稱。

2.2 EMD原理

根據(jù)IMF的定義，固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量是幅度和頻率調(diào)制信號，可以具有非平穩(wěn)特性。因而，以IMF作為基函數(shù)，能夠根據(jù)信號時間尺度上的局部特征，將復(fù)雜的實際信號表示成IMF分量的線性組合，這不僅適用于非平穩(wěn)信號分析，而且分解過程具有完全自適應(yīng)性，得到的IMF分量反映了信號的內(nèi)在特征?；谶@一思路，Huang提出了EMD方法。

不需要任何信號先驗信息，一維實信號s(n)經(jīng)過EMD可表示成從高頻到低頻的IMF分量的線性組合：

(4)

其中，ci(n)是第i個IMF分量，r(n)不包含信號的振蕩模態(tài)，只是反映信號的變化趨勢。

基于迭代的思想，EMD在分解過程中先找出信號的全部極值點(diǎn)，利用三次樣條插值求取上下包絡(luò)曲線，并定義信號的局部包絡(luò)均值為慢振蕩分量。通過不斷減去慢振蕩分量來“篩選”出快振蕩分量，自適應(yīng)地得到一組時域局部對稱且瞬時頻率具有明確物理意義的IMF信號。一維實信號EMD的具體流程如下：

(1)找出信號s(n)的所有極大值和極小值點(diǎn)，分別采用三次樣條插值得到上下包絡(luò)曲線emin(n)和emax(n)，計算上下包絡(luò)均值m(n)=(emin(n)+emax(n))/2；

(2)計算s(n)與m(n)的差值d(n)=s(n)-m(n)；

(3)判斷d(n)是否滿足IMF條件，如果滿足，令ci(n)=d(n)，否則以d(n)作為“原始”信號并返回(1)；

(4)s(n)=s(n)-ci(n)，如果s(n)是一個單調(diào)函數(shù)，把s(n)作為趨勢項，令r(n)=s(n)，同時停止迭代，否則以s(n)作為新的“原始”信號重新返回(1)。

一般情況下，步驟(3)中的IMF條件并不是嚴(yán)格按照Huang對IMF的定義設(shè)定。目前，IMF篩選條件還沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不同的準(zhǔn)則會導(dǎo)致不同的分解結(jié)果。最初Huang根據(jù)Cauchy準(zhǔn)則，以連續(xù)兩次迭代得到的di(n)和di-1(n)的歸一化均方差來判斷di(n)是否為IMF分量。歸一化均方差定義為

(5)

其中，SD的經(jīng)驗值一般取0.2～0.3。然而，這只是一種經(jīng)驗性方法，與IMF的定義無關(guān)，在實際應(yīng)用中有時甚至?xí)夯疎MD分解效果。為此，Huang[21]后來又采用一種依據(jù)IMF定義的更為魯棒的準(zhǔn)則。即d(t)在迭代過程中極值點(diǎn)和過零點(diǎn)數(shù)目連續(xù)S次不變且只相差一個，則認(rèn)為d(t)為一個IMF分量，S的經(jīng)驗取值范圍一般為4～8。文獻(xiàn)[22]提出了一種更符合IMF定義的停止準(zhǔn)則，通過限制上下包絡(luò)曲線均值的最大值來保證IMF包絡(luò)具有對稱性。

經(jīng)過理論分析與大量數(shù)值仿真，文獻(xiàn)[4]證明了EMD是完全自適應(yīng)和完備的，同時IMF分量之間具有統(tǒng)計正交性。針對IMF分量具有幅度-頻率調(diào)制特點(diǎn)，Rilling[23]對信號中兩個頻率的可分性進(jìn)行了深入分析。Flandrin[22]和Wu[24]的進(jìn)一步研究表明，EMD 具有與二進(jìn)離散小波變換相似的頻域濾波器組特性。綜上可知，EMD方法具有以下幾點(diǎn)性質(zhì)：(1)分解自適應(yīng)性；(2)分解完備性；(3)IMF分量近似正交性；(4)IMF分量幅度/頻率調(diào)制特性。以上四點(diǎn)性質(zhì)使得EMD不同于傳統(tǒng)信號分析方法，在非線性、非平穩(wěn)信號分析與處理中表現(xiàn)出優(yōu)異性能并得到了廣泛應(yīng)用。

3 一維EMD算法的完善

雖然EMD對非線性、非平穩(wěn)一維實信號的自適應(yīng)分解獲得了很好效果，但仍然存在邊界效應(yīng)和模態(tài)混疊兩個主要不足。一維EMD算法的研究主要就包絡(luò)擬合、邊界效應(yīng)、模態(tài)混疊三個方面進(jìn)行完善。

3.1 包絡(luò)擬合

在EMD過程中，需要不斷擬合信號的上下包絡(luò)曲線，通過迭代減去上下包絡(luò)均值求得IMF分量。因而，信號包絡(luò)曲線擬合的準(zhǔn)確性決定了EMD效果。Huang采用三次樣條插值擬合包絡(luò)曲線，存在較為嚴(yán)重的過沖現(xiàn)象。文獻(xiàn)[25]指出，三次樣條曲線是二階光滑的，過沖現(xiàn)象主要由曲線的“柔性”不夠造成，使得間隔較大且缺少約束的相鄰極值點(diǎn)間出現(xiàn)劇烈振蕩。文獻(xiàn)[26]則認(rèn)為過沖現(xiàn)象是由相鄰插值點(diǎn)間不具有單調(diào)性造成，提出了分段三次Hermite插值方法。該方法較好地克服了過沖現(xiàn)象，但由于包絡(luò)曲線只有一階光滑性，只能保證各段曲線在連接處的連續(xù)性，而不能保證連接點(diǎn)處的光滑性。文獻(xiàn)[27]提出了B樣條插值方法，但插值效果沒有明顯改善。文獻(xiàn)[28]和[29]分別采用二次規(guī)劃和局部積分的方法擬合包絡(luò)均值，在一定程度上抑制了過沖現(xiàn)象，減小了包絡(luò)擬合誤差。

值得注意的是，根據(jù)EMD思想，Smith[30]在2005年采用新的方法定義均值曲線，提出了局部特征尺度分解(local characteristic-scale decomposition，LCD)方法。2006年，F(xiàn)rei[31]提出了本征時間尺度分解(intrinsic time-scale decomposition，ITD)方法。這些方法根據(jù)EMD思想在某些方面進(jìn)行了改進(jìn)，但本身也存在一定的問題，需要進(jìn)一步解決。2013年，青島理工大學(xué)的王金良[32]提出了極點(diǎn)對稱模態(tài)分解(extreme-point symmetric mode decomposition，ESMD)方法，該方法采用內(nèi)部極點(diǎn)對稱插值來代替包絡(luò)對稱插值，自適應(yīng)地使剩余模態(tài)函數(shù)成為全局均值曲線，同時采用直接插值代替Hilbert變換得到瞬時頻率和幅度，獲得較好效果。

總的來說，包絡(luò)擬合中的過沖現(xiàn)象是由EMD本身所采用擬合方法的局限性造成，從而導(dǎo)致包絡(luò)曲線光滑程度不足，影響了均值求取的準(zhǔn)確性。解決方法從擬合方法的改進(jìn)和實際信號的特性出發(fā)，一定程度上改善了包絡(luò)擬合誤差。從結(jié)果來看，極點(diǎn)對稱模態(tài)分解(ESMD)方法在各方面提升了EMD性能，相較于其他方法效果更佳。

3.2 邊界效應(yīng)

由于信號兩端缺少極值點(diǎn)，采用樣條插值擬合包絡(luò)曲線時會導(dǎo)致邊界飛翼，使得邊界處信號產(chǎn)生較大的誤差。該誤差在分解過程中將進(jìn)一步惡化中間信號的分解效果，導(dǎo)致整個信號序列受到污染，這一現(xiàn)象被稱為“邊界效應(yīng)”。一直以來，如何抑制邊界效應(yīng)是EMD研究的難點(diǎn)?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中，一類方法認(rèn)為自然信號本身存在一定的自相似性，從而利用特征波匹配、端點(diǎn)延拓、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、智能優(yōu)化[17，33]等方法估計邊界處信號波形或極值點(diǎn)來抑制邊界效應(yīng)，這些方法一般只對某些特定信號具有較好的邊界抑制效果。另外一類方法不需要信號的先驗知識，雖然不能完全抑制邊界效應(yīng)，但具有普適性。其中，以Rilling[5]提出的鏡像延拓方法最具代表性。該方法并不試圖準(zhǔn)確估計出信號邊界，僅在端點(diǎn)處對信號進(jìn)行對稱延拓，從而抑制邊界飛翼現(xiàn)象。文獻(xiàn)[34]和[35]分別利用加窗和求導(dǎo)的方法抑制邊界飛翼現(xiàn)象，也獲得較好效果。

以上邊界抑制方法使EMD中的邊界飛翼現(xiàn)象得到一定的改善，但都存在一定的局限性。在工程實際中，由于信號一般都含有噪聲，鏡像延拓方法以其計算簡單、對噪聲不敏感的特點(diǎn)，得到了最為廣泛的應(yīng)用。

3.3 模態(tài)混疊

自然過程中的大多數(shù)信號都具有間歇性，在分解過程中對間歇信號極值點(diǎn)的欠奈奎斯特采樣極易產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。不僅影響固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量之間的局部正交性，同時還模糊了IMF分量本身的物理意義。早期Huang提出采用間歇性檢驗來改善模態(tài)混疊現(xiàn)象，但這種方法使得EMD變得不再是自適應(yīng)的。同時，該方法嚴(yán)重依賴于間歇信號在時間上的獨(dú)立性和可分性，后來又出現(xiàn)了改進(jìn)IMF標(biāo)準(zhǔn)[36]和包絡(luò)均值求法[37]等方式抑制模態(tài)混疊的方法。

利用EMD對高斯白噪聲的近似二進(jìn)濾波特性，Wu[6]提出了集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)，它在不需要任何信號先驗知識的條件下，通過在信號中疊加有限幅度白噪聲，將N次分解結(jié)果的均值作為最終的IMF分量，有效解決了模態(tài)混疊現(xiàn)象。為了完全消除噪聲，中心極限定理指出N必須趨于無窮大，而這在實際應(yīng)用中不可能實現(xiàn)。為此，Torres[8]提出在求取每個IMF分量過程中加入特定噪聲來保證分解結(jié)果的完備性。Yeh[7]提出了更為簡捷的互補(bǔ)集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(CEEMD)方法，即在信號加噪過程中加入正負(fù)噪聲對來保證信號分解的完備性。由于CEEMD對于噪聲是完備的，分解過程只需消除模態(tài)混疊現(xiàn)象而不需要考慮剩余噪聲問題，因而N一般較小，運(yùn)算效率得到明顯提高，具有更強(qiáng)的實用性。

EMD雖然分解效果較差，但是由于只需一次分解，因而處理速度較快。而EEMD與CEEMD都需要多次分解求取均值，雖然分解性能較好，但一般難以硬件實時實現(xiàn)。在應(yīng)用中，需要根據(jù)分解結(jié)果的有效性和計算的時效性綜合選擇相應(yīng)的分解方法。

4 多維EMD

采用一維EMD算法分別對多通道信號進(jìn)行分解，無法保證每個通道信號在分解后具有相同數(shù)目的IMF分量，同時同一IMF分量包含相同的信號尺度，因而無法對工程應(yīng)用中的多通道信號進(jìn)行聯(lián)合分析。為了將一維EMD推廣至復(fù)信號和多通道信號的聯(lián)合分析，便于信道間信號同步和數(shù)據(jù)融合[38]，需要將一維EMD擴(kuò)展至多維EMD。由于多維信號極值點(diǎn)無法直接定義，因而多維信號局部均值的求取是多維EMD研究的主要難點(diǎn)。

4.1 復(fù)數(shù)EMD與二維EMD

為了利用一維EMD處理復(fù)信號，Tanaka[9]將復(fù)信號分解為正負(fù)頻率分量的解析信號形式。由于解析信號存在信息冗余，僅采用解析信號的實部便可無失真表示信號，即：

(6)

R表示取實部，F(xiàn)-1表示傅里葉逆變換，S+(ejw)和S-(ejw)分別表示信號正負(fù)頻譜部分。對正負(fù)頻率分量的實部分別進(jìn)行一維EMD分析，保證了信息無丟失條件下將一維EMD擴(kuò)展到復(fù)數(shù)EMD。Altaf[10]認(rèn)為對正負(fù)頻率分量獨(dú)立地進(jìn)行一維EMD分解會導(dǎo)致部分信息丟失，提出了旋轉(zhuǎn)不變EMD(rotation-invariant EMD, RI-EMD)方法。以復(fù)信號的相位函數(shù)θ(t)的一階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)作為極值點(diǎn)，從而直接在復(fù)數(shù)域計算復(fù)數(shù)IMF。

Rilling[11]開創(chuàng)性的提出了二維信號由快旋轉(zhuǎn)分量和慢旋轉(zhuǎn)分量組成的思想，根據(jù)這一思想提出了二維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(BEMD)。BEMD將二維信號投影到復(fù)平面內(nèi)單位圓的多個方向上，分別對每個方向的投影信號進(jìn)行復(fù)數(shù)樣條插值得到包絡(luò)曲線，通過求取包絡(luò)曲線均值來近似局部均值。BEMD可以看作是RI-EMD的一般形式，而RI-EMD只有兩個投影方向，BEMD則可以有任意多個投影方向，投影方向越多越能捕捉到信號的時變特性。因而，BEMD比RI-EMD可以獲得更好的分解性能。Alireza認(rèn)為，對單位圓均勻采樣的BEMD方法只適用于兩個通道信號功率相同的情形，而當(dāng)兩個通道信號功率不匹配時，只能得到次優(yōu)的分解結(jié)果。利用橢圓的幾何特性，Alireza將均勻采樣映射為非均勻采樣，提出了一種能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)自適應(yīng)選擇投影方向的非均勻采樣BEMD方法[39]。在相同采樣點(diǎn)數(shù)目條件下，該方法獲得了更加準(zhǔn)確的時頻表示。二維均勻采樣與非均勻采樣如圖1所示。這兩種固定投影方向的方法仍需要大量的投影來保證分解結(jié)果的準(zhǔn)確性，從而導(dǎo)致計算量過大。為此，根據(jù)二維曲線的局部曲率，Rehman[40]動態(tài)地分配采樣點(diǎn)數(shù)目和投影方向，給出了一種采樣點(diǎn)數(shù)目較少的BEMD方法。

在用BEMD處理圖像這樣的二維信號時，不同于處理兩個通道實信號的情形。一些文獻(xiàn)借鑒一維EMD的思想，將求取局部均值曲線拓展為求取圖像局部均值曲面。文獻(xiàn)[41]采用徑向基函數(shù)的平面插值方法獲得圖像的上下包絡(luò)曲面，文獻(xiàn)[42]對極值點(diǎn)采用Delaunay三角劃分和三次插值的方法實現(xiàn)平面插值，提高了BEMD算法速度。

(a) 單位圓上均勻采樣

(b) 橢圓上均勻采樣

4.2 三維EMD與多維EMD

為了將二維EMD推廣至三維EMD，Rehman采用單位四元數(shù)[43]中相角-軸的方式表示旋轉(zhuǎn)，提出了三維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(TEMD)[12]。通過將信號投影到單位球面的等距經(jīng)度線上，對三維空間多個投影方向上的信號分別采用分量形式的樣條插值求得四元數(shù)包絡(luò)曲線，然后求取包絡(luò)曲線均值來近似三維信號的局部均值。在引入超球概念后，Rehman將TEMD進(jìn)一步推廣至多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(MEMD)[13]，將多維實信號投影到超球面的多個方向上來計算多維信號包絡(luò)和局部均值，從而能夠?qū)Χ嗤ǖ佬盘栠M(jìn)行聯(lián)合分析。

在n維空間中選擇一組方向向量，可以看作是對單位(n-1)球的采樣問題。由于局部均值的計算是所有包絡(luò)對方向向量積分的一種估計，對球面的采樣點(diǎn)越多分解結(jié)果越準(zhǔn)確，但采樣點(diǎn)數(shù)目過多會導(dǎo)致計算量增加，因而需要在計算精度和復(fù)雜度之間折衷考慮。由于均勻相位采樣會導(dǎo)致采樣點(diǎn)在n-球的南北極過度聚集，使得該方向信號具有更大權(quán)重，因而MEMD一般采用類似于蒙特卡洛法的低差異Hammersley序列[44]實現(xiàn)對球面的均勻采樣，兩種采樣方法對n-球的采樣結(jié)果如圖2所示。

(a) 均勻相位采樣

(b) 均勻采樣

由于MEMD采用EMD算法的思想，因而也存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。為了消除這一現(xiàn)象，文獻(xiàn)[14]對比了EMD與MEMD對高斯白噪聲的分解特性，得出了MEMD對白噪聲較EMD具有更好的二進(jìn)濾波器組特性的結(jié)論，兩者算法對8通道高斯白噪聲單次分解得到的噪聲功率譜如圖3所示?？梢钥闯?，MEMD對白噪聲單次分解得到的IMF分量頻譜混疊較小。與集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)將噪聲直接加在信號上不同，噪聲輔助的多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(NA-MEMD)在n維輸入信號中引入l個獨(dú)立通道的白噪聲，經(jīng)過MEMD得到(n+l)維IMF分量，從中減去對應(yīng)l個通道的噪聲子空間便得到信號的n維IMF分量。由于噪聲子空間與信號空間相互獨(dú)立，NA-MEMD不僅消除了MEMD中的模態(tài)混疊現(xiàn)象，同時還保證了信號分解的完備性，具體分解算法可參考文獻(xiàn)[14]。在處理單通道實信號時，NA-MEMD不僅能夠消除EMD中的模態(tài)混疊現(xiàn)象，同時還避免了EEMD對信號直接加噪引入的剩余噪聲。因而，在不考慮計算速度的條件下，EMD適用的應(yīng)用場合都可以被NA-MEMD替代。

圖3 8通道白噪聲單次分解的IMF分量對應(yīng)頻譜圖

需要指出的是，NA-MEMD算法一般只采用一次MEMD分解，因而無法保證分解結(jié)果的唯一性。為此，文獻(xiàn)[16]不僅比較了MEMD方法與其它EMD方法的分解效果，還對NA-MEMD分解中引入噪聲通道數(shù)目、噪聲功率以及集合平均的效果進(jìn)行了詳細(xì)探討。

對于單通道信號分析，表1給出了現(xiàn)有的幾種典型EMD算法的性能對比。

表1 不同EMD算法性能對比

可以看出，通過引入輔助噪聲，NA-MEMD算法不僅有很好的分解性能，而且計算復(fù)雜度較EEMD和互補(bǔ)集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(CEEMD)低。更為重要的是，NA-MEMD可以對多通道信號進(jìn)行聯(lián)合分析，因而具有廣泛的應(yīng)用前景。然而，這里算法的計算復(fù)雜度只是相對于一維EMD算法而言，與快速傅里葉變換(FFT)和小波變換等快速算法相比，仍然無法對信號進(jìn)行實時分析。

5 EMD算法的主要應(yīng)用

EMD是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的信號分解方法，能夠自適應(yīng)地反映出信號的內(nèi)在特征，比依賴于先驗基函數(shù)的傅里葉變換和小波變換等方法更適用于非線性、非平穩(wěn)信號分析，在信號處理領(lǐng)域已經(jīng)有了很多應(yīng)用。

5.1 信號去噪

Flandrin[22]和Wu[24]對分?jǐn)?shù)高斯噪聲和高斯白噪聲的EMD結(jié)果做了大量統(tǒng)計分析，得出了這些噪聲經(jīng)EMD后在不同IMF分量中的功率譜密度分布特性。利用這一分布特性，將EMD用于信號去噪主要通過部分重構(gòu)、閾值去噪以及兩者的結(jié)合來實現(xiàn)。EMD去噪流程如圖4所示。

圖4 EMD去噪流程

EMD可以將信號表示成從高頻到低頻的IMF分量的線性組合，通過選取合適的IMF分量部分重構(gòu)便可以實現(xiàn)信號去噪，如下式所示：

(7)

其中，ci為第i個IMF分量，n1和n2分別表示IMF的序號。通過選擇不同的n1和n2，可以實現(xiàn)類似高通、帶通和低通濾波器效果。在文獻(xiàn)[45]中，n1和n2依據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行選取。為了根據(jù)信號特性自適應(yīng)地部分重構(gòu)信號，文獻(xiàn)[46]采用連續(xù)均方誤差準(zhǔn)則來選擇相應(yīng)的IMF。而文獻(xiàn)[47]則采用相關(guān)的方法來判斷是否需要保留該IMF分量，但這種方法對噪聲敏感。文獻(xiàn)[48]采用信息論中互信息和熵的概念來得到噪聲IMF分量，文獻(xiàn)[49]提出了一種根據(jù)pdf相似度來選擇IMF的方法，在l2范數(shù)條件下獲得了很好的效果。

受小波變換用于信號去噪的啟發(fā)，先后出現(xiàn)了基于EMD的硬閾值和軟閾值去噪方法[46]。然而，IMF是零均值的幅度/頻率調(diào)制信號，即便對每個樣點(diǎn)采用軟閾值去噪仍然會使去噪后的信號波形失真。為此，文獻(xiàn)[50]提出了區(qū)間閾值去噪方法，即通過比較極值點(diǎn)的幅度與閾值來判斷兩個過零點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)是噪聲還是有用信號。為了進(jìn)一步提高去噪效果，文獻(xiàn)[50]還給出了類似于集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)思想的迭代區(qū)間閾值去噪方法，獲得了良好的去噪效果，相關(guān)程序可以從http://www.see.ed.ac.uk/～ykopsini/emd/emd.html下載。結(jié)合閾值去噪和部分重構(gòu)去噪兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[52]將閾值去噪用于部分重構(gòu)的IMF分量。在EMD去噪前先對分?jǐn)?shù)高斯噪聲的H指數(shù)進(jìn)行估計，結(jié)合文獻(xiàn)[49]的部分重構(gòu)去噪和文獻(xiàn)[50]的區(qū)間閾值去噪方法有效去除了分?jǐn)?shù)高斯噪聲。對于高斯白噪聲，MEMD單次分解較EMD具有更好的二進(jìn)濾波特性，本文作者在[51]中將MEMD引入到EMD去噪中，利用pdf相似性選擇相應(yīng)的IMF分量，并結(jié)合區(qū)間閾值去噪實現(xiàn)了信號的自適應(yīng)去噪，獲得了較小波變換和EMD更好的去噪效果。

5.2 地球物理

很多地球物理信號(如大氣湍流、海洋面波以及地磁脈動等)都可看成是非線性、非平穩(wěn)信號。在研究這些信號的特性時，幅度、頻率和相位的瞬時屬性十分重要。Hilbert-Huang變換利用EMD將信號分解成IMF分量的線性組合，然后通過對每個IMF分量進(jìn)行Hilbert變換得到信號的時頻分布特性，該變換在地球物理研究中被廣泛采用。

2008年，Huang對Hilbert-Huang變換及其在地球物理研究中的應(yīng)用進(jìn)行了綜述[53]，進(jìn)一步推動了EMD在地球物理研究中的應(yīng)用。此后，文獻(xiàn)[54]比較了EMD和EEMD的地震信號分析效果，結(jié)果表明EEMD得到的地質(zhì)信息更為準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[55]將EEMD用于處理甚低頻電磁法得到的信號，并對某泥火山的活動進(jìn)行了分析并得到了一些重要結(jié)論。文獻(xiàn)[56]利用噪聲輔助的多維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(NA-MEMD)的優(yōu)異性能，提出了采用NA-MEMD的甚低頻電磁數(shù)據(jù)去噪方法。本文作者在[57]和[58]中將NA-MEMD分別用于去除單通道和多通道電磁數(shù)據(jù)中的基線漂移，獲得了較好的效果。

5.3 生物醫(yī)學(xué)

生物信號分析主要是針對生物組織異常活動的檢測分析，研究人體組織不同的活動節(jié)律與不同病理和功能之間的關(guān)系。由于生物信號是一種隨機(jī)性很強(qiáng)的非線性、非平穩(wěn)信號，傳統(tǒng)分析方法無法對它進(jìn)行有效處理。EMD以其獨(dú)特的自適應(yīng)分解特性，在生物信號處理中得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[59]對腦電(Electroencephalograph, EEG)信號進(jìn)行了EMD，以IMF分量解析信號的帶寬特征作為支持向量機(jī)的輸入來判別是否具有癲癇病癥。為了防止逆濾波放大噪聲和人為干擾，文獻(xiàn)[60]利用EMD實現(xiàn)了聲音誘發(fā)電位的EEG信號增強(qiáng)。文獻(xiàn)[61]將EMD用于胸音異常檢測，在低信噪比(SNR)時也十分有效。由于EEMD較EMD具有更好的分解性能，文獻(xiàn)[62]利用EEMD對麻醉程度進(jìn)行診斷。文獻(xiàn)[63]和[64]分別采用MEMD對肌電信號和EEG信號進(jìn)行分析，實現(xiàn)了手勢識別和運(yùn)動想象信號的分類。

5.4 電力工程

高壓輸電線路和電力設(shè)備出現(xiàn)故障時產(chǎn)生的暫態(tài)信號是典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過程，暫態(tài)信號分析是電力系統(tǒng)中故障診斷及暫態(tài)保護(hù)的基礎(chǔ)和依據(jù)。EMD從信號本身的尺度特征出發(fā)，能分解得到電力信號的內(nèi)在特征，具有良好的局部適應(yīng)性。對IMF分量進(jìn)行Hilbert變換進(jìn)一步得到信號的Hilbert-Huang譜，增加了電力信號分析的靈活性和有效性。

Hilbert-Huang變換被分別用于電力系統(tǒng)暫態(tài)信號分析[65]、電能質(zhì)量事件評估[66]和電力傳輸網(wǎng)絡(luò)中的故障定位[67]。文獻(xiàn)[68]比較了EEMD和EMD用于電能質(zhì)量擾動的特征提取效果，得出在分析電能質(zhì)量事件時EEMD比EMD具有更高分辨率的結(jié)論，經(jīng)過Hilbert變換后結(jié)合支持向量機(jī)以較高的準(zhǔn)確率實現(xiàn)了電能質(zhì)量擾動的分類。文獻(xiàn)[69]則將二維經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(BEMD)用于電力需求的區(qū)間預(yù)測，獲得了較好效果。

5.5 機(jī)械故障診斷

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是最常見的機(jī)械設(shè)備類型，廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域中。高強(qiáng)度的工作環(huán)境使機(jī)械零件容易受到損傷，導(dǎo)致設(shè)備的加工質(zhì)量下降，嚴(yán)重時甚至?xí)l(fā)安全事故。在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷中，常利用信號處理方法分析響應(yīng)信號進(jìn)而了解其故障特征。由機(jī)械故障產(chǎn)生的瞬變分量使得信號具有非平穩(wěn)特性，而傳統(tǒng)的時域和頻域分析方法都是基于信號的平穩(wěn)性和線性假設(shè)，可能會得出錯誤結(jié)論。

2013年，Lei[70]專門綜述了EMD、EEMD以及EMD與主成分分析、獨(dú)立成分分析、小波變換、Wigner-Ville分布、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、K均值聚類等方法聯(lián)合用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷技術(shù)，內(nèi)容基本涵蓋了EMD在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中的各種應(yīng)用。

5.6 圖像處理

圖像的噪聲、紋理、光照影響特性通常對應(yīng)于圖像空間頻率的變化。采用固定基函數(shù)的分析方法，如Fourier變換、小波變換、Gabor變換等，影響了其分析高頻分量的能力。EMD具有多尺度分析特性，不需要圖像的先驗信息，能夠自適應(yīng)地將圖像分解為一系列表征空間頻率內(nèi)在變化特征的局部窄帶信號的和，在數(shù)字圖像處理中的主要應(yīng)用如圖5所示。

圖5 EMD在數(shù)字圖像處理中的主要應(yīng)用

圖像增強(qiáng)是指采用一定的方法，有選擇地突出圖像中感興趣的特征或者抑制某些不需要的信息，是數(shù)字圖像處理中的一個重要組成部分。EMD用于圖像增強(qiáng)，主要針對陰影和過度曝光等不良照明條件造成圖像對比度較低等問題。例如，對于水下獲得的照明不足的圖像，文獻(xiàn)[71]采用EMD分解并對得到的IMF分量賦予不同權(quán)重來改善圖像質(zhì)量，增強(qiáng)算法如下式所示：

(8)

其中，F(xiàn)(x,y)是增強(qiáng)后的圖像，ci是第i個IMF分量，R、G、B代表圖像的三元色分量。wi為第i個IMF分量的權(quán)重系數(shù)，可以通過優(yōu)化算法得到。文獻(xiàn)[72]結(jié)合BEMD與形態(tài)學(xué)處理方法去除圖像陰影和高光點(diǎn)，實現(xiàn)了橋梁表面涂裝的估計。

圖像融合是指利用圖像處理技術(shù)，對多個傳感器獲取的同一目標(biāo)圖像進(jìn)行處理，通過提取各個通道中的有利信息融合成高質(zhì)量圖像。由于信息互補(bǔ)性強(qiáng)，圖像融合技術(shù)在遙感遙測和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[73]根據(jù)一定的規(guī)則選取融合系數(shù)，實現(xiàn)了不同傳感器獲得的圖像間融合。

目前，將EMD用于圖像壓縮主要有兩種方式。一種是先用EMD將圖像分解為IMF和剩余分量，然后采用不同的壓縮策略實現(xiàn)圖像壓縮。例如，文獻(xiàn)[74]和[75]分別采用離散余弦變換和壓縮感知的方法實現(xiàn)IMF圖像和剩余圖像的壓縮。另一種方法是先對原始圖像降采樣，利用BEMD得到的不同尺度的IMF分量之間具有空間相似性來實現(xiàn)圖像壓縮。文獻(xiàn)[76]利用這種空間相似性，構(gòu)造級聯(lián)前饋壓縮結(jié)構(gòu)對采樣后圖像進(jìn)行了壓縮。

特征提取是指根據(jù)需要從圖像中提取感興趣的部分，是圖像識別和分類的重要組成部分。將EMD用于特征提取一般是利用特征分量存在于某個或幾個IMF分量中，通過部分重構(gòu)抑制其它干擾。文獻(xiàn)[77]利用EMD提取虹膜圖像特征，文獻(xiàn)[78]和[79]則分別將BEMD用于高光譜圖像和紅外圖像的特征提取，實現(xiàn)了圖像分類和紅外小目標(biāo)信號檢測。

5.7 語音、水聲和通信信號處理

語音信號具有典型的非平穩(wěn)、非線性特性，EMD已用于語音增強(qiáng)、說話人識別和音頻水印等應(yīng)用中。文獻(xiàn)[80]和[81]分別根據(jù)IMF分量的二階統(tǒng)計量和Hurst指數(shù)，自適應(yīng)選擇IMF分量部分重構(gòu)實現(xiàn)了語音增強(qiáng)。文獻(xiàn)[82]根據(jù)語音IMF分量時頻譜的稀疏特性，利用非負(fù)矩陣分解實現(xiàn)了單通道語音信號中男聲和女聲信號的分離。文獻(xiàn)[83]以IMF分量的對數(shù)能量作為說話人特征，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了說話人識別。文獻(xiàn)[84]將語音分幀處理，通過改變每幀語音經(jīng)EMD分解得到的剩余分量的極值點(diǎn)幅度，實現(xiàn)了同步碼和水印信息的嵌入。文獻(xiàn)[85]利用EMD對語音對數(shù)幅度譜進(jìn)行分解，根據(jù)得到諧波、包絡(luò)和噪聲分量進(jìn)行多帶嗓音異常分析。文獻(xiàn)[86]將EMD用于水聲信號處理，獲得較好的目標(biāo)檢測效果。文獻(xiàn)[87]將EMD和時頻峰值濾波算法相結(jié)合，獲得了電力線通信信號保真和噪聲抑制兩者間更好的權(quán)衡。

6 結(jié) 論

EMD是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的非線性、非平穩(wěn)信號分析方法，能夠根據(jù)信號的內(nèi)在特征，將信號自適應(yīng)地分解為一組完備的、準(zhǔn)正交的IMF分量的線性組合。本文對EMD基本性質(zhì)以及近年來的理論發(fā)展、應(yīng)用三個方面進(jìn)行了綜述。作為一種新穎、高效的時頻分析方法，EMD在近十幾年里得到廣泛的研究和應(yīng)用。尤其是EEMD、CEEMD和NA-MEMD的出現(xiàn)，使得原來EMD中存在的邊界效應(yīng)和模態(tài)混疊現(xiàn)象得到了較好的抑制和解決。到目前為止，EMD分解算法的研究和應(yīng)用已經(jīng)取得了很大的成功，但是仍然存在一些理論問題需要解決。同時，現(xiàn)有的EMD方法缺乏相應(yīng)的快速算法，無法滿足信號的實時分析與處理。因此，本文認(rèn)為可在以下方向開展進(jìn)一步研究：

(1)從數(shù)學(xué)的角度，給出EMD方法的理論框架。EMD是一種基于“經(jīng)驗”的分解方法，由于無法給出像Fourier變換和小波變換等方法那樣嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，限制了其進(jìn)一步的發(fā)展和應(yīng)用。為此， Huang[21]從統(tǒng)計學(xué)的角度對EMD理論進(jìn)行了闡述，F(xiàn)landrin[22]則從統(tǒng)計學(xué)的角度研究了EMD對于分?jǐn)?shù)高斯噪聲的濾波器組特性。根據(jù)EMD思想，后來又出現(xiàn)了局部特征尺度分解(LCD)[30]、本征時間尺度分解(ITD)[31]和極點(diǎn)對稱模態(tài)分解(ESMD)[32]，雖然仍存在一定的局限性，但對于EMD理論的研究提供了參考。

(2)針對不同信號，給出一種通用的邊界抑制方法。EMD的邊界問題主要由對極值點(diǎn)的欠采樣造成，已有的EMD邊界處理方法大都采用邊界延拓，在處理信號邊界時不能兼顧有效性和通用性，因而需要對相應(yīng)方法進(jìn)行改進(jìn)或者采用新的均值求取方法來提取IMF分量。

(3)研究EMD的濾波器組特性與傳統(tǒng)濾波器組之間的關(guān)系。傳統(tǒng)濾波器和濾波器組都要求信號具有線性和平穩(wěn)性，而實際信號通常并不具備這些特性。為此，研究適用于非線性、非平穩(wěn)信號的EMD濾波器組具有重大意義。2014年Koh[88]對非抽取和抽取的MEMD濾波器組進(jìn)行了開創(chuàng)性研究，初步展現(xiàn)了這一方向的研究價值。

(4)MEMD的進(jìn)一步推廣應(yīng)用。MEMD在多通道生物信號聯(lián)合分析中得到了較為廣泛的應(yīng)用，然而在其他領(lǐng)域相關(guān)應(yīng)用的報道仍然很少。通過加入輔助噪聲，NA-MEMD算法能夠?qū)瓮ǖ佬盘栠M(jìn)行處理。利用MEMD對于高斯噪聲的良好二進(jìn)濾波特性，結(jié)合閾值去噪和部分重構(gòu)必將得到比EMD方法更好的信號去噪效果。而且NA-MEMD具有與EEMD相近的分解性能，一般情況下計算時間較EEMD小。同時MEMD還具有多通道信號的聯(lián)合分析能力，必將在陣列信號處理、多通道信號聯(lián)合分析與信息融合中得到廣泛應(yīng)用，尤其應(yīng)該引起國內(nèi)研究人員的重視。

(5)改進(jìn)EMD分解方法，給出適合硬件系統(tǒng)實現(xiàn)的快速分解算法。EMD的核心思想是基于插值和迭代運(yùn)算，因而計算速度較慢。Lee[89]利用數(shù)字信號處理(DSP)和現(xiàn)場編程門陣列(FPGA)平臺實現(xiàn)了EMD在線計算，并成功用于心電數(shù)據(jù)去噪。MEMD方法將信號投影到多個方向分別計算包絡(luò)，需要耗費(fèi)更多的計算資源，因而可以考慮采用并行計算來降低計算時間，并開發(fā)出適合硬件實現(xiàn)的快速在線計算方法。

為便于讀者更好地應(yīng)用EMD方法，本文最后給出了三個最具影響力的研究團(tuán)隊提供的采用Matlab編寫的EMD程序代碼。其中，EMD方法創(chuàng)始人Huang所在研究團(tuán)隊的程序代碼可在臺灣中央大學(xué)的主頁上下載，網(wǎng)址為http://rcada.ncu.edu.tw/research1.htm，該程序可用于EMD和EEMD，同時還包含了文獻(xiàn)[7]提出的CEEMD方法程序代碼。法國Flandrin教授的研究團(tuán)隊給出的EMD程序中不僅包含了EEMD方法，還給出了文獻(xiàn)[8]提出的CEEMD方法和文獻(xiàn)[11]提出的BEMD方法程序代碼，其下載網(wǎng)址為http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/emd.html。與前兩者的一維EMD和二維EMD分解方法不同，英國Mandic教授的研究團(tuán)隊側(cè)重于MEMD方法的研究，相關(guān)的程序代碼下載網(wǎng)址為http://www.commsp.ee.ic.ac.uk/～mandic/research/emd.htm

致謝

感謝英國帝國理工學(xué)院的Danilo P. Mandic教授對于EMD下一步研究展望給出的建議，同時感謝巴基斯坦康薩斯信息技術(shù)學(xué)院助理教授Naveed ur Rehman對于本文的指導(dǎo)與幫助。

[ 1] Kiymik M K, Güler I, Dizibüyük A, et al. Comparison of STFT and wavelet transform methods in determining epileptic seizure activity in EEG signals for real-time application.ComputerinBiology&Medicine, 2005, 35(7):603-616

[ 2] Morlet J, Arens G, Fourgeau E, et al. Wave propagation and sampling theory-Part I: Complex signal and scattering in multilayered media.Geophysics, 1982, 47(2): 203-221

[ 3] Andrieux J C, Feix M R, Mourgues G, et al. Optimum smoothing of the Wigner——Ville distribution.IEEETransactionsonAcoustics,SpeechandSignalProcessing, 1987, 35(6): 764-769

[ 4] Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA:Mathematical,PhysicalandEngineeringSciences, 1998, 454(1971): 903-995

[ 5] Rilling G, Flandrin P, Goncalves P. On empirical mode decomposition and its algorithms. In: Proceeding of the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing NSIP-03, Grado, Italy, 2003. 8-11

[ 6] Wu Z, Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise-assisted data analysis method.Advancesinadaptivedataanalysis, 2009, 1(1): 1-41

[ 7] Yeh J R, Shieh J S, Huang N E. Complementary ensemble empirical mode decomposition: A novel noise enhanced data analysis method.AdvancesinAdaptiveDataAnalysis, 2010, 2(2): 135-156

[ 8] Torres M E, Colominas M A, Schlotthauer G, et al. A complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise. In: Proceeding of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Prague, Czech Republic, 2011. 4144-4147

[ 9] Tanaka T, Mandic D P. Complex empirical mode decomposition.IEEESignalProcessingLetters, 2007, 14(2): 101-104

[10] Umair Bin Altaf M, Gautama T, Tanaka T, et al. Rotation invariant complex empirical mode decomposition. In: Proceeding of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Hawaii, USA, 2007. 1009-1012

[11] Rilling G, Flandrin P, Gon?alves P, et al. Bivariate empirical mode decomposition.IEEESignalProcessingLetters, 2007, 14(12): 936-939

[12] Naveed ur Rehman, Mandic D P. Empirical mode decomposition for trivariate signals.IEEETransactionsonSignalProcessing, 2010, 58(3): 1059-1068

[13] Rehman N, Mandic D P. Multivariate empirical mode decomposition.ProceedingsoftheRoyalSocietyA:Mathematical,PhysicalandEngineeringScience, 2010, 466(2117):1291-1302

[14] ur Rehman N P, Mandic D. Filter bank property of multivariate empirical mode decomposition.IEEETransactionsonSignalProcessing, 2011, 59(5):2421-2426

[15] ur Rehman N, Park C, Huang N E, et al. EMD via MEMD: multivariate noise-aided computation of standard EMD.AdvancesinAdaptiveDataAnalysis, 2013, 5(2):1350007

[16] Mandic D P, Rehman N U, Wu Z, et al. Empirical mode decomposition-based time-frequency analysis of multivariate signals: the power of adaptive data analysis.IEEESignalProcessingMagazine, 2013, 30(6): 74-86

[17] 徐曉剛，徐冠雷，王孝通等. 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)及其應(yīng)用. 電子學(xué)報，2009，37(3)：581-585.

[18] 戴豪民，許愛強(qiáng)，李文峰. 希爾伯特-黃變換若干問題研究與展望. 高技術(shù)通訊，2014，24(8)：807-813

[19] Gabor D. Theory of communication.JournaloftheInstitutionofElectricalEngineers-PartI:General, 1947, 94(73):58

[20] Boashash B, Member S. Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal.ProceedingsoftheIEEE, 1992:520-538

[21] Huang N E, Wu M L C, Long S R, et al. A confidence limit for the empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA:Mathematical,PhysicalandEngineeringSciences, 2003, 459(2037): 2317-2345

[22] Flandrin P, Rilling G, Goncalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank.IEEESignalProcessingLetters, 2004, 11(2): 112-114

[23] Rilling G, Flandrin P. One or two frequencies? The empirical mode decomposition answers.IEEETransactionsonSignalProcessing, 2008, 56(1): 85-95

[24] Wu Z, Huang N E. A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method.ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA:Mathematical,PhysicalandEngineeringSciences, 2004, 460(2046): 1597-1611

[25] Qin S R, Zhong Y M. A new envelope algorithm of Hilbert-Huang Transform.MechanicalSystems&SignalProcessing, 2006, 20(8):1941-1952

[26] Wang Y. Improvements of approximation of the local mean in the process of empirical mode decomposition: [M.S. degree thesis]. Edmonton: University of Alberta, 2006. 65-77

[27] Chen Q, Huang N, Riemenschneider S, et al. A B-spline approach for empirical mode decompositions.AdvancesinComputationalMathematics, 2006, 24(1-4):171-195

[28] Meignen S, Perrier V. A new formulation for empirical mode decomposition based on constrained optimization.IEEESignalProcessingLetters, 2007, 14(12):932-935

[29] Hong H, Wang X, Tao Z. Local integral mean-based sifting for empirical mode decomposition.IEEESignalProcessingLetters, 2009, 16(10):841-844

[30] JS S. The local mean decomposition and its application to EEG perception data.JournaloftheRoyalSocietyInterface, 2005, 2(5):443-454

[31] Frei M G. Intrinsic time-scale decomposition: time-frequency-energy analysis and real-time filtering of non-stationary signals.ProceedingsMathematicalPhysical&EngineeringSciences. 2007, 463:321-342

[32] Wang J, Li Z. Extreme-point symmetric mode decomposition method for data analysis.AdvancesinAdaptiveDataAnalysis, 2013, 5(3): 1350015

[33] Kopsinis Y, McLaughlin S. Investigation and performance enhancement of the empirical mode decomposition method based on a heuristic search optimization approach.IEEETransactionsonSignalProcessing, 2008, 56(1): 1-13

[34] Qi K, He Z, Zi Y. Cosine window-based boundary processing method for EMD and its application in rubbing fault diagnosis.MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2007, 21(7): 2750-2760

[35] Chu P C, Fan C, Huang N. Derivative-optimized empirical mode decomposition for the Hilbert-Huang transform.JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2014, 259: 57-64

[36] Xuan B, Xie Q, Peng S. EMD sifting based on bandwidth.IEEESignalProcessingLetters, 2007, 14(8): 537-540

[37] Huang Y P, Li X Y, Zhang R B. A research on local mean in empirical mode decomposition.LectureNotesinComputerScience, 2007:125-128

[38] Looney D, Mandic D P. Multiscale image fusion using complex extensions of EMD.IEEETransactionsonSignalProcessing, 2009, 57(4): 1626-1630

[39] Ahrabian A, ur Rehman N, Mandic D P. Bivariate empirical mode decomposition for unbalanced real-world signals.IEEESignalProcessingLetters, 2013, 20(3): 245-248

[40] Rehman N U, Safdar M W, Rehman U U, et al. Dynamically-sampled bivariate empirical mode decomposition.IEEESignalProcessingLetters, 2014, 21(7):857-861

[41] Nunes J C, Bouaoune Y, Delechelle E, et al. Image analysis by bidimensional empirical mode decomposition.Image&VisionComputing, 2003, 21(12):1019-1026

[42] Damerval C, Meignen S, Perrier V. A fast algorithm for bidimensional EMD.IEEESignalProcessingLetters, 2005, 12(10):701-704

[43] Hart J C, Francis G K, Kauffman L H. Visualizing quaternion rotation.ACMTransactionsonGraphics(TOG), 1994, 13(3): 256-276

[44] Cui J, Freeden W. Equidistribution on the sphere.SIAMJournalonScientificComputing, 1997, 18(2): 595-609

[45] Kopsinis Y, Mclanglin S. Empirical mode decomposition based soft thresholding. In: Proceedings of the 16th European IEEE Signal Processing Conference, Lausanne, Switzerland, 2008

[46] Boudraa A, Cexus J. Denoising via empirical mode decomposition. In: Proceedings of IEEE International Symposium on Control Communications and Signal Processing (ISCCSP), Marrakech, 2006, 4: 4-8

[47] Ayenu-Prah A, Attoh-Okine N. A criterion for selecting relevant intrinsic mode functions in empirical mode decomposition.AdvancesinAdaptiveDataAnalysis, 2011, 2(1):1-24

[48] Tseng C, Lee H. Entropic interpretation of empirical mode decomposition and its applications in signal processing.AdvancesinAdaptiveDataAnalysis, 2011, 2(4):429-449

[49] Komaty A, Boudraa A, Augier B, et al. EMD-based filtering using similarity measure between probability density functions of IMFs.IEEETransactionsonInstrumentation&Measurement, 2014, 63(1):27-34

[50] Kopsinis Y, McLaughlin S. Development of EMD-based denoising methods inspired by wavelet thresholding.IEEETransactionsonSignalProcessing, 2009, 57(4): 1351-1362

[51] Hao H, Wang H L, Zeng W J, et al. MEMD-based filtering using interval thresholding and similarity measure between pdf of IMFs.IEICETransactionsonInformationandSystems, 2016, E99-A(2):1-4

[52] Yang G, Liu Y, Wang Y, et al. EMD interval thresholding denoising based on similarity measure to select relevant modes.SignalProcessing, 2015, 109:95-109

[53] Huang N E, Wu Z. A review on Hilbert-Huang transform: Method and its applications to geophysical studies.ReviewsofGeophysics, 2008, 46(2):1-23

[54] Wang T, Zhang M, Yu Q, et al. Comparing the applications of EMD and EEMD on time-frequency analysis of seismic signal.JournalofAppliedGeophysics, 2012, 83: 29-34

[55] Lin M J, Jeng Y. Application of the VLF-EM method with EEMD to the study of a mud volcano in southern Taiwan.Geomorphology, 2010, 119(1): 97-110

[56] Bahri A S, Warnana D D, Santos F A M, et al. Fast, simultaneous and robust VLF-EM data denoising and reconstruction via multivariate empirical mode decomposition.Computers&Geosciences, 2014, 67: 125-138

[57] 郝歡，王華力，張翼鵬. 一種SQUID 傳感器基線漂移和工頻干擾聯(lián)合抑制新方法. 信號處理，2016, 32(2): 127-134

[58] Hao H, Wang HL, Yin TH. Joint analysis of the shaft-rate magnetic fields for vector sensors. In: Proceedings of the 2015 International Conference on Wireless Communications and Signal Processing (WCSP2015), Nanjing, China, 2015

[59] Bajaj V, Pachori R B. Classification of seizure and nonseizure EEG signals using empirical mode decomposition.IEEETransactionsonInformationTechnologyinBiomedicine, 2012, 16(6): 1135-1142

[60] Wang T, Lin L, Zhang A, et al. EMD-based EEG signal enhancement for auditory evoked potential recovery under high stimulus-rate paradigm.BiomedicalSignalProcessingandControl, 2013, 8(6): 858-868

[61] Charleston-Villalobos S, Gonzalez-Camarena R, Chi-Lem G, et al. Crackle sounds analysis by empirical mode decomposition.IEEEEngineeringinMedicineandBiologyMagazine, 2007, 26(1): 40-47

[62] Chen D, Li D, Xiong M, et al. GPGPU-aided ensemble empirical-mode decomposition for EEG analysis during anesthesia.IEEETransactionsonInformationTechnologyinBiomedicine, 2010, 14(6): 1417-1427

[63] Li L, Looney D, Park C, et al. Power independent EMG based gesture recognition for robotics. In: Proceedings of the IEEE Engineering in Medicine & Biology Society Conference, Boston, America, 2011

[64] Cheolsoo Park, Looney D, ur Rehman N, et al. Classification of motor imagery BCI using multivariate empirical mode decomposition.IEEETransactionsonNeuralSystemsandRehabilitationEngineering, 2013, 21(1):10-22

[65] 李天云，趙妍，李楠. 基于 EMD 的 Hilbert 變換應(yīng)用于暫態(tài)信號分析. 電力系統(tǒng)自動化，2005，29(4)：49-52

[66] Shukla S, Mishra S, Singh B. Empirical-mode decomposition with Hilbert transform for power-quality assessment.IEEETransactionsonPowerDelivery, 2009, 24(4): 2159-2165

[67] Bernadic A, Leonowicz Z. Fault location in power networks with mixed feeders using the complex space-phasor and Hilbert-Huang transform.InternationalJournalofElectricalPower&EnergySystems, 2012, 42(1): 208-219

[68] Ozgonenel O, Yalcin T, Guney I, et al. A new classification for power quality events in distribution systems.ElectricPowerSystemsResearch, 2013, 95: 192-199

[69] Xiong T, Bao Y, Hu Z. Interval forecasting of electricity demand: A novel bivariate EMD-based support vector regression modeling framework.InternationalJournalofElectricalPower&EnergySystems, 2014, 63: 353-362

[70] Lei Y, Lin J, He Z, et al. A review on empirical mode decomposition in fault diagnosis of rotating machinery.MechanicalSystems&SignalProcessing, 2013, 35(1-2):108-126

[71] ?elebi A T, Ertürk S. Visual enhancement of underwater images using empirical mode decomposition.ExpertSystemswithApplications, 2012, 39(1): 800-805

[72] Chen P H, Yang Y C, Chang L M. Illumination adjustment for bridge coating images using BEMD-Morphology Approach (BMA).AutomationinConstruction, 2010, 19(4): 475-484

[73] Chen S, Zhang R, Su H, et al. SAR and multispectral image fusion using generalized IHS transform based on a trous wavelet and EMD decompositions.IEEESensorsJournal, 2010, 10(3): 737-745

[74] 賀靜波，彭復(fù)員. 基于改進(jìn) EMD 的圖像壓縮算法. 紅外與毫米波學(xué)報，2008，27(4)：295-298

[75] Yan L I U, Zhou H, Zhang H, et al. Image compression using compressed sensing based on empirical mode decomposition.TheJournalofChinaUniversitiesofPostsandTelecommunications, 2011, 18: 123-128

[76] Tian Y, Zhao K, Xu Y, et al. An image compression method based on the multi-resolution characteristics of BEMD.Computers&Mathematicswithapplications, 2011, 61(8): 2142-2147

[77] Chang C P, Lee J C, Su Y, et al. Using empirical mode decomposition for iris recognition.ComputerStandards&Interfaces, 2009, 31(4): 729-739

[78] He Z, Wang Q, Shen Y, et al. Multivariate gray model-based BEMD for hyperspectral image classification.IEEETransactionsonInstrumentationandMeasurement, 2013, 62(5): 889-904

[79] Chen Z, Luo S, Xie T, et al. A novel infrared small target detection method based on BEMD and local inverse entropy.InfraredPhysics&Technology, 2014, 66: 114-124

[80] Chatlani N, Soraghan J J. EMD-based filtering (EMDF) of low-frequency noise for speech enhancement.IEEETransactionsonAudio,Speech,andLanguageProcessing, 2012, 20(4): 1158-1166

[81] Z?o L, Coelho R, Flandrin P. Speech enhancement with EMD and hurst-based mode selection.IEEE/ACMTransactionsonAudio,SpeechandLanguageProcessing(TASLP), 2014, 22(5): 899-911

[82] Gao B, Woo W L, Dlay S S. Single-channel source separation using EMD-subband variable regularized sparse features.IEEETransactionsonAudio,Speech,andLanguageProcessing, 2011, 19(4): 961-976

[83] Wu J D, Tsai Y J. Speaker identification system using empirical mode decomposition and an artificial neural network.ExpertSystemswithApplications, 2011, 38(5): 6112-6117

[84] Khaldi K, Boudraa A. Audio watermarking via EMD.IEEETransactionsonAudio,Speech,andLanguageProcessing, 2013, 21(3): 675-680

[85] Kacha A, Grenez F, Schoentgen J. Multiband vocal dysperiodicities analysis using empirical mode decomposition in the log-spectral domain.BiomedicalSignalProcessingandControl, 2014, 17:11-20

[86] Li C, Wang X, Tao Z, et al. Extraction of time varying information from noisy signals: An approach based on the empirical mode decomposition.MechanicalSystems&SignalProcessing, 2011, 25(3):812-820

[87] 翟明岳，蘇嶺東. 基于 EMD-TFPF 算法的電力線通信噪聲消除技術(shù)研究. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2015，43(7)：51-56

[88] Koh M, Mandic D P, Constantinides A G. Theory of digital filter banks realized via multivariate empirical mode decomposition.AdvancesinAdaptiveDataAnalysis, 2014, 6(1): 1450001

[89] Lee M H, Shyu K K, Lee P L, et al. Hardware implementation of EMD using DSP And FPGA for online signal processing.IEEETransactionsonIndustrialElectronics, 2011, 58(6):2473-2481

Theory of empirical mode decomposition and its application

Hao Huan*, Wang Huali*, Wei Qin**

(*College of Communications Engineering, PLA University of Science & Technology, Nanjing 210007) (**School of Information Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070)

The concept and basic theory of empirical mode decomposition (EMD) are interpreted, and as an approach to data-driven time-frequency analysis, the EMD’s mechanism quite suitable for nonlinear and non-stationary signal analysis due to its adaptive decomposing of a signal into a set of intrinsic mode functions with physical meaning according to the characteristics of the signal is explained. Then, the developments of research on the key questions needing EMD to deal with, such as envelope estimation, boundary effect and mode mixing, are reviewed, especially in the advances of the newly emerged multivariate empirical mode decomposition, the main applications of EMD in noice elimination of signals, processing of geophysical and biomedical signals, diagnosis of electric and mechanical failures and image, speech sound processing are introduced, and five directions for further EMP research are pointed out based on the analysis of the current problems in EMD studies.

empirical mode decomposition(EMD), time-frequency analysis, intrinsic mode function(IMF), multivariate empirical mode decomposition

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.01.010

① 國家自然科學(xué)基金(61271354)和十二五預(yù)研資助項目。

?E-mail: wanghl09092009(

2015-06-16)

② 男，1988年生，博士生；研究方向：低頻通信，非平穩(wěn)信號分析與處理；E-mail: whhaohuan@163.com