徐皖峰 韓玉兵 TRAN Vanha

?

采用快速近似冪迭代子空間估計(jì)的貝葉斯波束形成①

徐皖峰②韓玉兵③TRAN Vanha

(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210094)

針對(duì)深空探測(cè)過(guò)程中射電天文望遠(yuǎn)鏡的輸出性能會(huì)受到導(dǎo)向矢量不確定和強(qiáng)干擾的嚴(yán)重抑制的問(wèn)題，進(jìn)行了波束形成研究，提出了一種新的貝葉斯波束形成算法。該算法首先通過(guò)快速近似冪迭代(FAPI)來(lái)準(zhǔn)確地估計(jì)干擾子空間，再通過(guò)子空間投影使得波束形成權(quán)重垂直于干擾子空間以實(shí)現(xiàn)對(duì)強(qiáng)干擾的有效抑制，最終在貝葉斯估計(jì)的框架下，遞歸地估計(jì)出波束形成權(quán)重。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，該算法具有很好的魯棒性和抗干擾能力。該算法在收斂后具有與最優(yōu)Max-SINR波束形成器相似的性能。

貝葉斯估計(jì)， 子空間投影， 快速近似冪迭代(FAPI)， 導(dǎo)向矢量不確定， 強(qiáng)干擾

0 引 言

在陣列信號(hào)處理過(guò)程中，常常采用自適應(yīng)波束形成來(lái)增強(qiáng)傳感器陣列輸出的有用信號(hào)和抑制干擾和噪聲[1]。自適應(yīng)波束形成技術(shù)隨著陣列信號(hào)處理的不斷發(fā)展已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、射電天文學(xué)、語(yǔ)音處理和無(wú)線通信等領(lǐng)域[2]。然而，自適應(yīng)波束形成器對(duì)信號(hào)導(dǎo)向矢量的誤差是極其敏感的，這會(huì)嚴(yán)重抑制自適應(yīng)波束形成器的輸出性能。目前有多種克服任意導(dǎo)向矢量誤差的方法，其中應(yīng)用較多的是最小方差無(wú)失真響應(yīng)魯棒自適應(yīng)波束形成[3]、對(duì)角加載方法[4]以及約束最小方差方法[5]。但這些方法提高對(duì)不確定導(dǎo)向矢量的魯棒性是以降低對(duì)噪聲和干擾的抑制為代價(jià)的，從而導(dǎo)致其難以在實(shí)際中廣泛應(yīng)用。而文獻(xiàn)[6]給出的最大似然(maximum likelihood，ML)估計(jì)和最大后驗(yàn)(maximum aposteriori，MAP)估計(jì)顯示，以隨機(jī)統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的方法也可用來(lái)解決導(dǎo)向矢量的不確定問(wèn)題[7-9]。最為流行的隨機(jī)方法則是貝葉斯波束形成算法，它派生于最小均方誤差(minimum mean square error，MMSE)估計(jì)[10]。貝葉斯估計(jì)方法假定不確定的導(dǎo)向矢量或波束到達(dá)方向(direction of arrival，DOA)為一個(gè)帶有能夠描述不確定性水平前驗(yàn)分布的隨機(jī)向量或隨機(jī)變量。

本文主要研究射電天文望遠(yuǎn)鏡相控陣饋源系統(tǒng)的數(shù)字波束形成技術(shù)。在此背景下，除了導(dǎo)向矢量誤差問(wèn)題外，深空探測(cè)過(guò)程中的環(huán)境干擾，尤其是人工電磁干擾，也會(huì)嚴(yán)重影響射電天文望遠(yuǎn)鏡的探測(cè)性能。與微弱的天文信號(hào)相比，人工電磁干擾都可視為強(qiáng)干擾。對(duì)于這種情況，由于常規(guī)的自適應(yīng)波束形成算法不能形成很深的零限，以迫零準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的子空間投影方法就成為一個(gè)更好的選擇[11]，這就需要準(zhǔn)確地估計(jì)干擾子空間。本文對(duì)射電天文望遠(yuǎn)鏡探測(cè)過(guò)程中的強(qiáng)干擾和導(dǎo)向矢量不確定的問(wèn)題展開了深入研究，并提出了一種新的貝葉斯波束形成算法。該算法先用快速近似冪迭代(fast approximated power iteration ，F(xiàn)API)在線估計(jì)強(qiáng)干擾的子空間[12]，然后通過(guò)子空間投影使得波束形成權(quán)重垂直于干擾子空間，實(shí)現(xiàn)強(qiáng)干擾的抑制，再運(yùn)用貝葉斯模型消除導(dǎo)向矢量不確定的影響，最終遞歸地估計(jì)出波束形成權(quán)重。該算法能夠在遞歸貝葉斯估計(jì)的框架[13]下實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)波束形成，并且在波束形成的過(guò)程中，干擾加噪聲協(xié)方差矩陣和信號(hào)功率均被假定為已知。該算法的優(yōu)勢(shì)在于可以充分利用之前采樣的數(shù)據(jù)，而不僅僅是近期短時(shí)積分(short time integration，STI)窗中包含的少量有效信息也不同于參考文獻(xiàn)[14,15]中給出的波束形成器，它將波束形成權(quán)重建模為復(fù)高斯隨機(jī)矢量，而將波束到達(dá)方向(DOA)的不確定性建模為一個(gè)隨機(jī)變量，并在假設(shè)強(qiáng)干擾遠(yuǎn)離期望的波束形成器主瓣后，采用最大后驗(yàn)(MAP)估計(jì)來(lái)確定波束形成權(quán)重。

1 信號(hào)模型

假設(shè)接收天線陣列是G個(gè)陣元均勻排布的一維線陣，陣元間距λ/2(λ為接收信號(hào)波長(zhǎng))，窄帶信號(hào)處理，在快拍k時(shí)的陣列輸出為

(1)

Rx=E{x[k]xH[k]}=Rs+Rd+Rn

(2)

式(1)對(duì)應(yīng)的窄帶波束形成器是由G個(gè)復(fù)權(quán)重組成的線性處理器，輸出表示為

z[k]=wHx[k]

(3)

其中w是波束形成權(quán)重矢量。

需要強(qiáng)調(diào)的是，式(1)中給出的干擾被假設(shè)為連續(xù)的強(qiáng)干擾。這個(gè)假設(shè)在射電天文學(xué)和無(wú)線通信等領(lǐng)域普遍存在。借助強(qiáng)干擾與信號(hào)及噪聲之間在特征值上的顯著差別，通過(guò)一些方法可以在接收信號(hào)中區(qū)分并且濾除干擾。通常，對(duì)于一個(gè)信號(hào)加干擾加噪聲接收機(jī)模型，只有當(dāng)干信比(interferencetosignalratio，ISR)和干噪比(interferencetonoiseratio，INR)都大于10dB時(shí)，干擾才可以被稱為是強(qiáng)干擾。

2 子空間投影波束形成

為了消除干擾，波束形成器權(quán)重矢量w被設(shè)計(jì)為滿足

wHV=0

(4)

其中V=(v1,…,vM)表示干擾子空間。運(yùn)用子空間投影空域?yàn)V波算法，以短時(shí)積分(STI)為單位進(jìn)行的時(shí)變子空間投影波束形成權(quán)重矢量計(jì)算可以表示如下：

w=Pa

(5)

其中P是干擾子空間V的垂直投影矩陣。顯然，子空間投影波束形成權(quán)重w可以被視為是導(dǎo)向矢量a在V的垂直子空間中的投影。

在上述推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，可以采用貝葉斯方法遞歸地估計(jì)波束形成器權(quán)重w。假設(shè)已知STI長(zhǎng)度為K，在第j個(gè)STI中接收到的信號(hào)樣本為Xj=(x[jK],…,x[(j+1)K-1])，可以如下計(jì)算Rx的樣本估計(jì)：

(6)

因?yàn)閺?qiáng)干擾的存在，投影算子P可以估計(jì)為

(7)

其中Ud, j包含由Rx特征值分解產(chǎn)生的m個(gè)最大的特征值響應(yīng)得到的歸一化特征向量。在強(qiáng)干擾和已知干擾個(gè)數(shù)M的條件下，采用垂直子空間投影的方法會(huì)顯著抑制干擾[16]。實(shí)際上，強(qiáng)干擾的個(gè)數(shù)M可以由最小描述長(zhǎng)度(minimumdescriptionlength，MDL)算法來(lái)估計(jì)[17]。

3 基于FAPI的貝葉斯波束形成

本節(jié)提出了一種基于快速近似冪迭代(FAPI)進(jìn)行子空間估計(jì)的貝葉斯波束形成算法。貝葉斯估計(jì)模型可以用來(lái)消除不確定導(dǎo)向矢量的影響，而FAPI算法可以準(zhǔn)確地估計(jì)出干擾子空間。

3.1 貝葉斯波束形成

為了估計(jì)波束形成權(quán)重w=Pa，在每一個(gè)STI中，首先構(gòu)造一系列新的信號(hào)樣本Yj=(y[jK],…,y[(j+1)K-1])，即

(8)

(9)

y[k]在第j個(gè)短時(shí)積分(STI)中的協(xié)方差計(jì)算如下：

(10)

給出樣本Y0:j={Y0,…,Yj}，可以采用最小均方誤差(MMSE)估計(jì)來(lái)確定波束形成權(quán)重：

(11)

根據(jù)貝葉斯原理，后驗(yàn)概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction，PDF)可以表示為

(12)

其中，p(Yj|Y0:j-1)=∫p(w|Y0:j-1)p(Yj|w)dw是歸一化概率。

因?yàn)閷?dǎo)向矢量不確定，所以波束形成權(quán)重w=Pa也同樣是不確定的。假設(shè)已知后驗(yàn)PDFp(w|Y0:j-1)是一個(gè)均值為wj-1，協(xié)方差為Cj-1的復(fù)高斯隨機(jī)分布，則有

p(w|Y0:j-1)=

(13)

這樣假設(shè)的原因是高斯分布可以公式化表示，在此基礎(chǔ)上可以將wj-1和Cj-1表示成遞歸形式。根據(jù)上述假設(shè)，得到似然函數(shù)

p(Yj|w)

(14)

式中|Ry, j|有如下形式：

(15)

(16)

再根據(jù)文獻(xiàn)[15]，似然函數(shù)可以如下計(jì)算：

(17)

(18)

考慮到式(13)中的復(fù)高斯隨機(jī)分布，可以得到如下推導(dǎo)：

(19)

由此，式(17)可以被簡(jiǎn)化為

p(Yj|w)

(20)

其中，

且知γj可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行歸一化。將式(13)和式(20)代入式(12)中，得到后驗(yàn)概率密度p(w|Y0:j)如下：

p(w|Y0:j)

(21)

上式的推導(dǎo)中，

(22)

綜上可知后驗(yàn)PDFp(w|Y0:j)是一個(gè)均值為wj，協(xié)方差為Cj的復(fù)高斯隨機(jī)過(guò)程，并且可以表示為以下形式：

(23)

3.2 FAPI子空間跟蹤方法

正如第2節(jié)所述，為了得到垂直投影矩陣P，必須先求得Ud, j，而Ud, j被視為是M個(gè)強(qiáng)干擾的子空間。常用的子空間估計(jì)方法包括典型的特征值分解和奇異值分解。受限于它們的計(jì)算量，本文需要采用一些新的、計(jì)算復(fù)雜度較小的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)干擾子空間的準(zhǔn)確估計(jì)。文獻(xiàn)[12]給出了近似冪迭代子空間跟蹤的一種快速應(yīng)用，即FAPI子空間估計(jì)算法。該算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，正交性強(qiáng)以及計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)。表1列出了FAPI算法的計(jì)算步驟，在每一個(gè)STI的所有快拍中都會(huì)進(jìn)行這些操作，從而獲得由強(qiáng)干擾響應(yīng)得到的干擾子空間。

表1 FAPI子空間估計(jì)算法

表1中，βF為遺忘因子，是一個(gè)以指數(shù)方式來(lái)減小前面快拍對(duì)當(dāng)前快拍影響的參數(shù)，在本文中設(shè)置βF=0.998。對(duì)于算法初始化，可以在單個(gè)STI的FAPI迭代中，保存由前一個(gè)快拍求得的U(k-1)和Z(k-1)來(lái)作為當(dāng)前快拍FAPI子空間迭代的初始值U(0)和Z(0)。這個(gè)做法同樣適用于不同STI間的迭代傳遞過(guò)程。而針對(duì)仿真開始時(shí)第一個(gè)STI中的第一個(gè)快拍，可以將Z(0)設(shè)置成維數(shù)為M·M(M為干擾個(gè)數(shù))的單位陣，而將U(0)設(shè)置為G·M(G為陣元數(shù))的零矩陣，且將其對(duì)角元素gii(i為正實(shí)數(shù)，且i≤M)設(shè)置為1，以此來(lái)模擬FAPI迭代的初始值。

3.3 算法總結(jié)

假設(shè)p(w|Y1:j-1)是均值為wj-1，協(xié)方差為Cj-1的復(fù)高斯隨機(jī)概率密度函數(shù)(PDF)，那么在第j個(gè)短時(shí)積分(STI)中的自適應(yīng)貝葉斯波束形成可以總結(jié)如下：

(1) 運(yùn)用表1中的FAPI子空間估計(jì)算法來(lái)遞歸估計(jì)干擾子空間Ud, j；

(4) 運(yùn)用式(22)和(23)計(jì)算p(w|Y1:j)并更新權(quán)重矢量wj和Cj。

表2中列出了上述步驟的計(jì)算復(fù)雜度。若默認(rèn)K>G>M，則由表2可知，本文提出的算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(G2K)，與線性約束最小方差(linearlyconstrainedminimumvariance,LCMV)和最大信干噪比(Max-SINR)波束形成器的計(jì)算復(fù)雜度一致(因?yàn)樵诜抡孢^(guò)程中，LCMV波束形成器和Max-SINR波束形成器的計(jì)算復(fù)雜度均可視為O(G2K))。從表2中還可以看出FAPI迭代過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度低于特征值分解等傳統(tǒng)子空間估計(jì)方法的計(jì)算復(fù)雜度。

表2 本文算法的計(jì)算復(fù)雜度(G：陣元數(shù)，M：干擾數(shù)，K：STI長(zhǎng)度)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

(24)

針對(duì)遞歸算法的初始化，設(shè)置初始值為C0=0.001I，w0=(Pr+δpI)a0。其中，Pr是理想的干擾子空間垂直投影矩陣，a0是均值為ar，協(xié)方差矩陣為δaI的復(fù)高斯隨機(jī)過(guò)程。參數(shù)δa和δp分別滿足

(25)

式中tr{·}表示求矩陣的跡；UR表示不確定度，是一個(gè)用來(lái)表征初始波束形成權(quán)重不確定程度的變量，UR越大表明不確定程度越嚴(yán)重[6]。

仿真中提供了具備真實(shí)導(dǎo)向矢量ar和理想干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Rd+Rn的最優(yōu)Max-SINR波束形成器作為參考，它的波束形成權(quán)重為

wMax-SINR=(Rd+Rn)-1ar

(26)

4.1 算法的收斂性和魯棒性

首先檢驗(yàn)本文算法的收斂性。圖1展示了不同信噪比(SNR)條件下，對(duì)于不同的UR，輸出SINR隨STI參數(shù)的變化。由圖1可以看到，即便是導(dǎo)向矢量不確定程度很高(例如UR=20dB)，本文提出的波束形成器仍具備良好的收斂性能。隨著時(shí)間的推移，不同UR和SNR條件下的輸出都達(dá)到了與Max-SINR波束形成器的SINR輸出相同的水平。圖2給出了UR=20dB，SNR為-30dB和-40dB時(shí)本文提出的波束形成器的收斂性能檢驗(yàn)結(jié)果。從圖中可以看到，本文提出的波束形成器在甚低信噪比的條件下仍能正常收斂，說(shuō)明它可以被用來(lái)探測(cè)深空中微弱的天文信號(hào)。

圖1 不同SNR條件下，對(duì)于不同的UR，輸出SINR隨STI參數(shù)的變化

圖2 甚低信噪比情況下，UR=20dB時(shí)，輸出SINR隨STI參數(shù)的變化

(27)

圖3 單次實(shí)驗(yàn)中，對(duì)于不同情形，Prar和之間的矢量角誤差。

干噪比(dB)矢量角誤差(°)SINR(dB)Max-SINR(dB)200.204812.763912.7725150.263012.754812.7725100.451312.742812.772551.526912.573212.7725089.9504-52.162012.7725

表4 不同STI長(zhǎng)度下本文算法的魯棒性能評(píng)估

4.2 與其它算法的比較

圖4 不同UR條件下，對(duì)于不同的波束形成器，輸出SINR隨SNR的變化

由圖4和圖5可以知道，本文所提出的貝葉斯波束形成器在大多數(shù)情況下性能優(yōu)于其他方法的波束形成器，且知該波束形成器具備與最優(yōu)Max-SINR波束形成器相似的性能。與LCMV和子空間投影方法相比較，本文提出的波束形成器能產(chǎn)生更高的SINR輸出和更好的波束形狀。這是因?yàn)楸疚奶岢龅姆椒軌蚶冒谶^(guò)去STI窗中的波束形成權(quán)重信息，而LCMV和子空間投影方法只能簡(jiǎn)單地利用包含在當(dāng)前STI窗中的信息。與文獻(xiàn)[14,15]中給出的其他三種遞歸貝葉斯波束形成器相比，本文提出的方法在SINR輸出和波瓣形狀上有一定的改善效果，特別是在高SNR的情況下改善效果更為明顯。此外，從圖4中還可以知道，在低SNR的情況下，本文所提出的波束形成器與文獻(xiàn)[14,15]中的波束形成器之間的差異很小。原因之一是當(dāng)SNR較小時(shí)，包含在接收數(shù)據(jù)中的波束形成權(quán)重信息很少；另一個(gè)原因是DOA的前驗(yàn)PDF對(duì)于文獻(xiàn)[14,15]中的波束形成器更好。所以在這種情況下，本文所提出的方法對(duì)于SINR的改善不是很重要。與ML和MAP波束形成器相比，本文所提出的方法在低SNR的條件下展現(xiàn)出了更好的SINR輸出。這是因?yàn)橄噍^于ML和MAP，本文所提出的方法能利用到所有先前觀測(cè)的有效數(shù)據(jù)。然而，在高SNR的條件下，ML和MAP在一定程度上具備更好的SINR輸出性能。出現(xiàn)這種情況的原因是在仿真中利用了理想的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Rd+Rn來(lái)計(jì)算ML和MAP的波束形成權(quán)重，與此同時(shí)，這種假設(shè)在本文所提出的方法中是不必要的。

圖5 單次實(shí)驗(yàn)中，不同波束形成器的波瓣圖

表5 不同干擾移動(dòng)速率下所提出算法的魯棒性能評(píng)估

5 結(jié) 論

本文提出的遞歸貝葉斯波束形成算法能夠有效地解決射電天文望遠(yuǎn)鏡探測(cè)過(guò)程中導(dǎo)向矢量不確定和強(qiáng)干擾的問(wèn)題。在貝葉斯估計(jì)的框架下，該算法能夠充分利用之前采樣的數(shù)據(jù)而不僅僅是近期的STI窗中包含的少量有效信息，從而實(shí)現(xiàn)遞歸地估計(jì)波束形成權(quán)重。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，與LCMV，子空間投影，ML，MAP，以及其他三種遞歸貝葉斯波束形成器相比，本文提出的波束形成器具備更好的性能參數(shù)。收斂之后，它具有與最優(yōu)Max-SINR波束形成器相似的性能。此外，該算法仍然存在三個(gè)方面的局限性：(1)對(duì)低于-30dB的甚低信噪比情況，該算法未能展現(xiàn)出穩(wěn)健的波束形成性能；(2)對(duì)于干擾移動(dòng)速率比較大的情況，該算法未能表現(xiàn)出很好的魯棒性；(3)信號(hào)和噪聲的功率在本文中都被假設(shè)為已知，不符合實(shí)際情況的要求。對(duì)于這三個(gè)問(wèn)題，有必要開展進(jìn)一步的研究。

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Bayesian beamforming using fast approximated power iteration subspace estimation

Xu Wanfeng， Han Yubing， TRAN Vanha

(School of Electronic and Optical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094)

To solve the problem that in the process of deep space exploration, the output performance of a radio telescope is suppressed severely by steering vector uncertainty and strong interferences, the Bayesian beamforming was studied and a new Bayesian beamforming algorithm was proposed. The algorithm estimates the interference subspace by fast approximated power iteration (FAPI), then, effectively inhibits strong interferences by using subspace projection to make the beamforming weight perpendicular to the interference subspace and finally, recursively estimates the beamforming weight under the Bayesian estimation framework. The simulations demonstrated the good effectiveness and robustness of the proposed beamforming algorithm. After convergence, its performance was similar to the optimal Max-SINR beamformer.

Bayesian estimation， subspace projection， fast approximated power iteration (FAPI)， steering vector uncertainty， strong interference

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.01.013

① 國(guó)家自然科學(xué)基金(11273017，61471196)資助項(xiàng)目。

?，E-mail: hanyb@njust.edu.cn(

2015-06-26)

② 男，1992年生，碩士生；研究方向：陣列信號(hào)處理和自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法；E-mail： xwfnjust@163.com