陳亮

高三數(shù)學(xué)學(xué)案是組織高三數(shù)學(xué)課堂的一種重要教學(xué)手段和工具，是教師綜合各方面的因素以及本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)編制的具有實(shí)用性及可操作性的資料.例題作為學(xué)案的重要的組成部分，在學(xué)案中的作用是毋庸置疑的.選用什么樣的例題、所選取例題的質(zhì)量如何，直接關(guān)系到課堂教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量.特別是在學(xué)講模式的大環(huán)境下，如何編制一份質(zhì)量上乘的學(xué)案，就要恰當(dāng)?shù)剡x取例題.例題的選取要注重一下幾個(gè)原則.

一、科學(xué)性的原則

所謂科學(xué)性原則是指例題的選取規(guī)范，要做到語言簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確、無歧義；標(biāo)點(diǎn)符號(hào)使用要正確、圖形要規(guī)范清晰，沒有科學(xué)性的錯(cuò)誤.例題的選取一定要遵循科學(xué)性的原則，避免出現(xiàn)錯(cuò)題，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生誤導(dǎo).如某中學(xué)的月考試題：

例1已知cosα=35，cos（α+β）=-1213，且α，β∈（0，π2），則cosβ=.

解析cosα=35，cos（α+β）=-1213，α+β∈0，π，所以sinα=45， sin（α+β）=513. cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-1213×35+513×45=-1665.由于α，β∈（0，π2），所以cosβ>0，而求出cosβ<0，故本題是錯(cuò)誤的.在編制本題就犯了科學(xué)性的錯(cuò)誤，這樣就對(duì)學(xué)生后面試題的處理帶來了消極的作用.

二、適應(yīng)性的原則

高三數(shù)學(xué)學(xué)案編寫的主體是高三學(xué)生，學(xué)案的編寫要適用這一主體.為了更好的適用，在編制時(shí)要注意從以下三個(gè)方面入手：一是校情，即要根據(jù)本校學(xué)生的具體情況以及本校的整體水平.如一個(gè)三星級(jí)或者三星級(jí)以下學(xué)校，那么在例題的選取上就要注重基礎(chǔ)性的例題.如一個(gè)四星級(jí)的學(xué)校在例題的選取上就要側(cè)重于提升類的題目，要有些難度.

例2已知函數(shù)f（x）=ex-a（x-1），其中a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1） 當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（3） 已知b∈R，若函數(shù)f（x）≥b對(duì)任意x∈R都成立，求ab的最大值.

解析這是一道有關(guān)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)與應(yīng)用的例題.前兩問考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及討論含參的函數(shù)的單調(diào)性的問題.屬于中檔性題目，第三問考查了復(fù)雜的含參的討論，難度較大.對(duì)于本題三星級(jí)或者三星級(jí)以下學(xué)校就可以選取本題的前兩問，四星級(jí)的學(xué)校就可以加入本題的第三問.二是學(xué)情，即一定要考慮本班學(xué)生的實(shí)際情況.教師一定要掌握本班的學(xué)生具體情況，制定適合本班級(jí)使用的學(xué)案.三是學(xué)案的編寫一定要符合《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試大綱》.要從兩個(gè)方面入手：一是例題的選取不能超出《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試大綱》，對(duì)于當(dāng)中不做要求的內(nèi)容，就不要選取，如知識(shí)點(diǎn)三視圖、線性回歸方程等.二是了解《考試大綱》中對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的要求，對(duì)于考點(diǎn)中的A級(jí)要求，A級(jí)要求主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的了解，對(duì)于這樣的知識(shí)點(diǎn)教師要做到不引、不挖、控制難度.

三、可塑性的原則

學(xué)案例題的選取要有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活的解題能力、應(yīng)變能力和發(fā)散思維等各個(gè)方面的能力.能夠熟練地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)靈活地解決問題.因此，選取的例題要具有可塑性和可變性.要注重變式教學(xué)和一題多解的訓(xùn)練.如在講解《基本不等式》一節(jié)時(shí)：

例3已知正數(shù)x，y滿足x+2y=2，則（x+8y）/（xy）的最小值為.

變式1已知正數(shù)x，y滿足（x+8y）/（xy）=1，則x+2y=.

變式2已知正數(shù)x，y滿足x+8y=xy則x+2y=.

變式3已知a，b為正數(shù)，且直線 ax+by-6=0與直線 2x+（b-3）y+5=0互相平行，則2a+3b的最小值為.

例4已知函數(shù)y=ax+b（b>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（1，3），則

4a-1+1b的最小值為.

解法1 （基本不等式法）由圖可知a>1，點(diǎn)（1，3）在函數(shù)y=ax+b的圖象上，所以 a+b=3，且1

所以4a-1+1b=12×24a-1+1b=12[（a-1）+b]4a-1+1b=125+4ba-1+a-1b≥92.

當(dāng)且僅當(dāng)4ba-1+a-1b，即a=73，b

=23時(shí)取等號(hào).所以4a-1+1b的最小值為92.

解法2（三角代換法）由解法1可知a+b=3，且1

a-12+1b=1.令

a-12=cos2θ，b2=sin2θ，所以4a-1+1b=

2cos2θ+12sin2θ=2（1+tan2θ）+12（1+cot2θ）=52+2tan2θ+cot2θ2≥92.

以下同解法1.

解法3 （判別式法）由解法1可知a+b=3.令u=4a-1+1b=4a-1+13-a，去分母整理得ua2-（4u+3）a+11+3u=0.因?yàn)閍∈R，當(dāng)u≠0時(shí)，Δ=（4u+3）2-4u（11+3u）=4u2-20u+9≥0，解得u≥92或u≤12.又因?yàn)閡=

4a-1+13-a>2+12=52，所以u(píng)≥92.當(dāng)a=73，b=23時(shí)，u=4a-1+1b=92，所以4a-1+1b的最小值為92.

例3體現(xiàn)了變式教學(xué)，考查了“1”的運(yùn)用.例4體現(xiàn)了一題多解.兩個(gè)例題充分考查了基本不等式中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)和典型例題的解法和技巧.

四、系統(tǒng)性的原則

高中數(shù)學(xué)學(xué)案的編制無論是內(nèi)容還是結(jié)構(gòu)一定要體現(xiàn)知識(shí)的完整性和系統(tǒng)性，在例題的選取上一定要盡量體現(xiàn)本節(jié)課所涉及的知識(shí)點(diǎn).如在講解《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》一節(jié)，本節(jié)課主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有：

1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

2.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；

3.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等.

因此，本節(jié)課可以選取例題：

已知函數(shù)f（x）=lnx-x-ax，a∈R.

（1） 當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值；

（2） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3） 當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x-1）+x-1+ax-1|，若實(shí)數(shù)b滿足b>a且g

bb-1=g（a），g（b）=2g（a+b2），求證：4