王健

在三角問(wèn)題中，注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，做一些相應(yīng)的代換，轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式，可化生為熟，打開(kāi)解題通道.本文分類(lèi)列舉介紹三角解題中的幾種代換法.

一、角的代換

例1已知cosα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos2α+π4的值.

分析本例已知式中的角與所求式中的角差異大，難以溝通.若把α+π4視為一個(gè)角，容易溝通已知角與所求角之間的關(guān)系.

解令α+π4=β，則2α+π4=2β-π4，且3π4≤β<7π4.

而cosβ=35，所以sinβ=-45，則sin2β=2sinβcosβ=-2425.

又cos2β=2cos2β-1=-725，所以

cos2α+π4=cos2β-π4

=22cos2β+sin2β=22-725-2425=-31250.

二、式的代換

例2設(shè)函數(shù)y=tanx-1+3-tanx的最大值為m，最小值為n，求mn的值.

分析注意到已知式中兩個(gè)根式的平方和是常數(shù)2，故可將根式中的式子進(jìn)行三角代換.

解由已知式知1≤tanx≤3.因?yàn)閠anx-1+3-tanx=2，故可作代換tanx-1=2sin2α，3-tanx=2cos2α0≤α≤π2.這樣，

y=2sinα+2cosα=2sinα+π4.

由0≤α≤π2π4≤α+π4≤3π422≤

sinα+π4≤12≤y≤2m=2，n=2，故mn=2.

三、常數(shù)代換

例3已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1，求證：cos4βcos2α+sin4βsin2α=1.

分析已知式與所證式中的式子次數(shù)高，難以處理，但注意到他們都可以化成平方和等于1的形式，想起三角公式sin2θ+cos2θ=1，可以進(jìn)行代換來(lái)降次化簡(jiǎn).

證明已知式即cos2αcosβ2+sin2αsinβ2=1，故可作代換

cosθ=cos2αcosβ，sinθ=sin2αsinβ，即cos2α=cosθcosβ，sin2α=sinθsinβ.

則1=cos2α+sin2α=cosθcosβ+sinθsinβ=cosθ-β.

得θ-β=2kπ，θ=2kπ+βk∈Z.

那么cosθ=cosβ，sinθ=sinβcos2α=cos2β，

sin2α=sin2β

所以cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos4βcos2β+sin4βsin2β=1.

四、配對(duì)代換

例4求值（1）sin10°sin30°sin50°sin70°；（2）sin220°+cos250°+sin20°cos50°.

分析對(duì)于這類(lèi)典型式子，注意到正弦與余弦互為余函數(shù)，可構(gòu)造出互余式子，配對(duì)解答.

解（1）記A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

構(gòu)造B=cos10°cos30°cos50°cos70°，

則

AB=12sin20°·12sin60°·12sin100°·12sin140°

=116cos70°cos30°cos10°cos50°=116B.

因?yàn)锽≠0，所以A=116為所求.

（2）記A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，配上互余式

B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°.

兩式相加、相減，可得

A+B=2+sin20°cos50°+cos20°sin50°=2+sin70°，

A-B=-cos40°+cos100°-sin30°=-cos70°-30°+cos70°+30°-sin30°

=-sin70°-12.

將以上所得兩式相加，消去B，得2A=2-12，即A=34為所求.

五、邊角代換

在三角形中，由正弦定理和余弦定理溝通了邊和角之間的關(guān)系，因此，對(duì)于三角形中一些較復(fù)雜的三角式問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為邊之間較簡(jiǎn)潔的關(guān)系，方便解題.

例5在△ABC中，求證

sinA+sinB-sinCsinA+sinC-sinB

sinB+sinC-sinA≤sinAsinBsinC.

分析如果把左式乘開(kāi)，將不勝其煩.為了簡(jiǎn)化式子，先用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.

證明由正弦定理sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，代入所求式子中，那么等價(jià)于a+b-ca+c-bb+c-a≤abc.

但對(duì)于上式仍不易尋得思路，注意到三角形中有兩邊之和大于第三邊，故作代換

a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，易解得a=x+y2，b=z+x2，c=y+z2（其中x>0，y>0，z>0）.

那么原不等式又等價(jià)于xyz≤x+y2·z+x2·y+z2.

由均值不等式xy≤x+y2，zx≤z+x2，yz≤y+z2，

三式相乘，得

xyz≤x+y2·z+x2·y+z2，從而原不等式得證.