陳樹昱

高考中對于平面向量的考查，多傾向于平面幾何內容，這個知識點既是學習的重點，又是求解的熱點，因此構建行之有效的方法難能可貴.將向量置于坐標系的背景之下，賦予向量坐標的結構，權稱為“建”法，往往有事半功倍之效.下面舉例說明.

一、“建”法解數(shù)量積問題

例1（2015年福建卷） 已知AB⊥AC，AB=1t，AC=t ，若點P是△ABC 所在平面內一點，且AP=ABAB+4ACAC ，則PB·PC 的最大值等于

A.13B.15 C.19 D.21

分析縱觀條件中的長度和角度，不難看出，AB，AC的垂直關系是解題的主線，但長度的引入影響了解題的發(fā)揮，怎么辦？“建”法試一試，你會茅塞頓開！

解由已知，以點A為坐標原點，以AB為x軸，AC為y軸，如圖1建立平面直角坐標系，

則P（1，4），B（1t，0），C（0，t），所以PB·PC=（1t-1，-4）·（-1，t-4）=17-1t-4t≤17-21t·4t=13，當且僅當t=12取等號.

故選A.

點評同一個問題，當置于不同的背景之下，其難易會大有區(qū)別，這時，多想一想“建”法，以“建”為貴，你會有意想不到的收獲！

二、“建”法解角問題

例2在△ABC中，（AB-3AC）⊥CB，則角A的最大值為.

分析向量出現(xiàn)之時，“建”法立功之日！因此，大膽采用“建”法，將已知三角形的信息放在坐標系中，很快就解決了！

解以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2.

設B（1，0），C（m，n），則

（AB-3AC）⊥CB（（1，0）-（3m，3n））·（1-m，-n）=0，

整理得3m2+3n2-4m+1=0.

令t=mn，則（3t2+3）n2-4tn+1=0.

故△=（-4t）2-4（3t2+3）≥0，

解得t=mn=1tanA≥3，

故A≤π6，角A的最大值為π6.

點評可以看出一個非常難解的問題在坐標系的背景之下，會變得十分的簡單，況且操作起來更能得心應手，采用了“建”法，沒有做不到，只怕想不到！

三、“建”法解長度問題

例3在△ABC中，B=π3，A，C∈（0，π2]，則ac的取值范圍是.

分析有邊的問題，倘若采用正弦定理和余弦定理，需要反復多次使用，而且未必得正果，換個角度，“建”法開道！

解以B為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系，如圖3.

設A（c，0）， 由B=π3，設C（a2，3a2），則

AB·AC≥0，CA·CB≥0，即c2-ac2≥0，a2-ac2≥0，解得ac∈[12，2].故ac的取值范圍是[12，2].

點評作為向量，其數(shù)形結合的實質就是一種化歸，因此利用“建”法完成化歸，操作起來更加自然迅速.

四、“建”法解參數(shù)問題

例4已知△ABC為等邊三角形，設點P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，則λ=

A. 12B.1±22C.1±102D.-3±222

分析這是一個參數(shù)問題，由于未知數(shù)在條件中，所以求解起來會艱難一些，但是將向量置于坐標系中，剩余的就是計算問題了.

解如圖4，建立坐標系，以A為原點，AB為x軸，則B（2，0），C（1，3）.由AP=

λAB，得P（2λ，0）.由AQ=（1-λ）AC得Q（1-λ，

3（1-λ））.

所以-32=BQ·CP=（-λ-1，3（1-λ））·（2λ-1，-3）=（-λ-1）（2λ-1）+3（1-λ）（-3）

解得λ=12.

答案選A.

點評怎么樣？又一次的成功讓我們有了一個向量解題的方向，建系是實現(xiàn)平面幾何數(shù)形互化的重要橋梁和紐帶，以“建”為貴，“建”法來相伴，解題可歸原！