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        三角形角平分線的應(yīng)用

        2016-12-02 05:54:48韓春見
        初中生天地 2016年29期
        關(guān)鍵詞:外角垂線平分線

        □韓春見

        三角形角平分線的應(yīng)用

        □韓春見

        三角形的角平分線是三角形中的一條重要線段,要全面學好三角形的相關(guān)知識,需對三角形的角平分線給予足夠的關(guān)注.

        一、直接用角平分線分得的兩個角相等

        例1(1)如圖1,點D是△A B C中∠A B C和∠A C B兩個內(nèi)角平分線的交點,求證:∠D=90°+

        圖1

        圖2

        (2)如圖2,點D是△A B C中∠A B C和∠A C B兩個外角平分線的交點,試猜想∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

        (2)為結(jié)論開放問題,沿著(1)的思路:先表示∠D和∠A,再借助條件B D和C D為∠A B C和∠A C B兩個外角平分線,易猜想到結(jié)論為∠D= 90°-

        解:(1)∵點D是△A B C中∠A B C和∠A C B兩個內(nèi)角平分線的交點,

        在△B C D中,

        ∠D=180°-(∠D B C+∠D C B),

        在△A B C中,

        ∠A B C+∠A C B=180°-∠A,

        證明略.

        點評:(1)本題主要就是運用了角平分線分得的兩個小角等于原兩大角的一半.(2)本題的第2小問是結(jié)論開放問題,準確猜想出結(jié)論是解決問題的關(guān)鍵.

        二、利用三線合一

        例2已知:如圖3,P是∠A O B平分線上的一點,P C⊥O A,P D⊥O B,垂足分別為C、D.求證:

        (1)O C=O D.

        (2)O P是C D的垂直平分線.

        圖3

        分析:該題涉及角平分線和線段的垂直平分線,這兩者之間有較為緊密的聯(lián)系.在該題中,可利用這兩者之間的關(guān)系為解題創(chuàng)造條件.

        證明:(1)由條件可知,

        ∠P C O=∠P D O=90°,

        ∠C O P=∠D O P,O P=O P,

        故△P O C≌△P O D.

        所以O(shè) C=O D.

        (2)由(1)知△P O C≌△P O D,

        所以C P=D P.

        由定理“到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上”,可知點P在線段C D的垂直平分線上,

        又∵O C=O D,同理可知點O也在線段C D的垂直平分線上,

        故O P是C D的垂直平分線.

        引申:如圖3,C、D是射線O A、O B上的兩點.若O P是線段C D的垂直平分線,

        求證:O P是∠A O B的角平分線.

        證明:∵O P是線段C D的垂直平分線,

        ∴O C=O D,

        ∴由等腰三角形三線合一,可知O P是∠A O B的角平分線.

        點評:例2是利用O P是∠A O B的角平分線這一條件,證明O P是線段C D的垂直平分線的.引申問題卻反過來用O P是線段C D的垂直平分線這一條件,來證明O P是∠A O B的角平分線.在很多情況下二者可互相轉(zhuǎn)化,互為條件,這是解這類問題的關(guān)鍵.

        三、向角的兩邊作垂線

        例3已知:如圖4,∠C=90°,∠B=30°,A D是Rt△A B C的角平分線.求證:B D=2 C D.

        圖4

        分析:根據(jù)已知條件可求出∠B A C的度數(shù),再由A D是△A B C的角平分線,可分別求出圖4中其余各角的度數(shù),再證明結(jié)論就容易了.

        證明:由∠C=90°,∠B=30°,知∠B A C=60°.

        ∵A D是△A B C的角平分線,

        ∴∠B A D=∠C A D=30°,

        ∴∠B=∠B A D,∴A D=B D.

        在△A D C中,

        ∠D A C=30°,∠C=90°,

        ∴A D=2 C D.故B D=2 C D.

        引申:該題中,若條件不變,如圖4,從D點向A B作垂線交A B于點E,請問:(1)△A D E≌△A D C是否成立?(2)B D=2 D C是否成立?

        證明:(1)∵A D是△A B C的角平分線,

        ∴由角平分線的性質(zhì)可知D E=D C,

        在Rt△A D E和Rt△A D C中,

        ∴Rt△A D E≌Rt△A D C.

        (2)在△B D E中,

        ∠B=30°,∠B E D=90°,

        ∴B D=2 D E.

        由(1)可知D E=D C,故B D=2 D C.

        點評:全等的條件可輕松找到,B D=2 D E顯然也成立.這是在特殊角三角形的情況下考慮的,若推廣到一般三角形的情況,解答該題的主要依據(jù)“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”依然是一個重要的解題條件.

        例4已知:如圖5,△A B C的外角∠C B D和∠B C E的平分線相交于點F.求證:點F在∠D A E的平分線上.

        圖5

        分析:該題圖比較簡單,單從上圖中很難看出應(yīng)該怎么證明結(jié)論.但問題既然涉及角平分線,我們很容易想到定理“在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上”,所以不妨過點F分別作B D、B C、C E的垂線段,這樣就找到了解決問題的切入點.

        證明:如圖5,過點F分別作B D、B C、C E的垂線段F G、F H、F M.

        ∵B F是∠C B D的平分線,

        ∴F G=F H.

        同理F H=F M,則F G=F M.

        ∵點F在∠D A E內(nèi),且點F到A D、A E的距離相等,

        ∴點F在∠D A E的平分線上.

        引申:該題中,若條件不變,請問:∠A與∠B F C有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(∠B F C=90°-∠A,探索求解過程程略).

        點評:以上兩題巧妙地利用了角平分線的性質(zhì)和判定來證明問題.角平分線的性質(zhì)和判定是平面幾何中的兩個重要知識點,在中考中獨立命題不多,常與線段垂直平分線、三角形全等以及圓等其他幾何知識相互滲透,往往以填空題、解答題等低中檔題目出現(xiàn).

        四、在角的兩邊截取相等的線段

        例5如圖6,已知△A B C的角平分線A D交B C于點D,且∠A B C=2∠C,A B=4cm,B D=3cm,求線段A C的長.

        圖6

        分析:要求線段A C的長,就是要想辦法將線段A C與已知線段A B和B D聯(lián)系起來.利用∠B A D=∠C A D相等,可在∠B A C的兩邊截取相等線段,如在邊A B所在的射線上截取A E=A C,可得△A E D≌△A C D,只要證明△B D E是一個等腰三角形,即可得A C=A E=A B+B E=A B+B D=7cm.(注:在邊A C上截取也可求得A C=7cm).

        解:延長A B到E,使A E=A C,連接D E.

        ∵△A B C的角平分線A D交B C于點D,

        ∴∠B A D=∠C A D.

        ∵A D=A D,

        ∴△A D E≌△A D C,

        ∴∠E=∠C.

        ∵∠A B C=2∠C,

        ∠A B C=∠E+∠B D E,

        ∴∠E=∠B D E,

        ∴B E=B D=3cm,

        A C=A E=A B+B E=A B+B D=4+3=7(cm).

        點評:當給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件時,需要我們認真觀察、分析,根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征,挖掘潛在因素,通過添加適當?shù)妮o助線,巧構(gòu)全等三角形.三角形的角平分線為構(gòu)造全等三角形提供了一對相等角(∠B A D=∠C A D)和一對公共邊(A D=A D),只需再添加一個條件就可得到全等,借助全等三角形的性質(zhì),就可迅速找到解題的途徑.

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