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        巧用對稱妙構(gòu)等腰

        2016-12-02 05:54:47朱元生
        初中生天地 2016年29期
        關(guān)鍵詞:高線延長線對稱點(diǎn)

        □朱元生

        巧用對稱妙構(gòu)等腰

        □朱元生

        在解幾何題的過程中,若遇有高線、角平分線、線段的垂直平分線,可根據(jù)圖形的軸對稱性,巧妙構(gòu)造等腰三角形,借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì),往往能夠迅速找到解題途徑,直觀易懂,簡捷明快.

        一、圖形含有垂線(或高線),以垂線(或高線)為對稱軸構(gòu)造等腰三角形

        例1如圖1,已知A D⊥B C于點(diǎn)D,且∠B=2∠C,試說明:A B+B D=D C.

        圖1

        分析:因?yàn)锳 D⊥B C,以A D為對稱軸進(jìn)行變換,點(diǎn)B的對稱點(diǎn)E必落在B C上,連接A E,則△A B E為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)使問題迎刃而解.

        解:因?yàn)锳 D⊥B C,以A D為對稱軸進(jìn)行變換,點(diǎn)E為點(diǎn)B的對稱點(diǎn).

        連接A E,則△A B E為等腰三角形,所以∠A E B=∠B=2∠C,且D B=D E.

        因?yàn)椤螦 E B=∠C+∠C A E,

        而∠A E B=2∠C,

        所以∠C=∠C A E,

        從而A E=C E.

        因此A B=A E=E C

        所以A B+B D=E C+D E=D C.

        二、圖形含有角平分線,以角平分線為對稱軸構(gòu)造等腰三角形

        例2如圖2,在等腰Rt△A B C中,∠B A C=90°,∠B的平分線交A C于D,過C作B D的垂線交B D的延長線于E,試說明:B D=2 C E.

        圖2

        分析:因?yàn)锽 E是∠A B C的平分線,且B E⊥C E,以B E為對稱軸進(jìn)行變換,點(diǎn)C的對稱點(diǎn)必是B A和C E的延長線的交點(diǎn)F,則△B C F為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可使問題巧妙獲解.

        解:因?yàn)锽 E是∠A B C的平分線,且B E⊥C E,以B E為對稱軸進(jìn)行變換,點(diǎn)C的對稱點(diǎn)則為B A和C E的延長線的交點(diǎn)F,則△B C F為等腰三角形.

        所以C E=E F,即C F=2 C E.

        在△A B D和△A C F中,

        因?yàn)椤螧 A D=∠C A F=90°,

        A B=A C,

        ∠A B D=90°-∠F=∠A C F,

        所以△A B D≌△A C F(ASA),

        所以B D=C F=2 C E.

        三、圖形含有線段的垂直平分線,以垂直平分線為對稱軸構(gòu)造等腰三角形

        例3如圖3,在△A B C中,A B= A C,∠A=120°,A B的垂直平分線交A B于點(diǎn)E、交B C于點(diǎn)D,試說明:

        圖3

        分析:因?yàn)镈 E是線段A B的垂直平分線,以D E為對稱軸進(jìn)行變換,點(diǎn)B的對稱點(diǎn)必為點(diǎn)A,連接A D,則△A B D為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可使問題迅速獲解.

        解:D E為線段A B的垂直平分線,連接A D,則△A B D為等腰三角形.

        因?yàn)锳 B=A C,∠A=120°,

        所以∠B=∠C=30°.

        因?yàn)椤鰽 B D為等腰三角形,

        B D=A D,則∠B A D=∠B=30°,

        從而∠D A C=90°.

        根據(jù)圖形的軸對稱,巧妙構(gòu)造等腰三角形,可迅速找到解題途徑,不僅能使問題化難為易,迎刃而解,而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們探索求新的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力和幾何解題能力.

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