山東省廣饒縣第一中學(xué)　李麗娟

過某定點(diǎn)作與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)問題

山東省廣饒縣第一中學(xué)李麗娟

直線與橢圓及拋物線的交點(diǎn)問題相對(duì)來說容易理解掌握。因此本文僅對(duì)雙曲線中過某定點(diǎn)作與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)問題加以代數(shù)證明，希望對(duì)大家有所幫助。

高考數(shù)學(xué)直線雙曲線

圓錐曲線作為高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，考察頻繁。由于不能正確認(rèn)識(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，導(dǎo)致失分。備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)該問題的理解。直線與橢圓及拋物線的交點(diǎn)問題相對(duì)來說容易理解掌握。因此本文僅對(duì)雙曲線中過某定點(diǎn)作與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)直線條數(shù)問題加以代數(shù)證明，希望對(duì)大家有所幫助。

過定點(diǎn)P與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線為雙曲線的切線或與漸進(jìn)線平行的直線。①當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線外且不在漸進(jìn)線上，過P點(diǎn)有兩條切線和兩條與漸近線平行的直線，共有四條。②當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線外且在一條漸進(jìn)線上，過P點(diǎn)有一條切線和一條與漸近線平行的直線，共有兩條。③當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線外且在兩條漸進(jìn)線上，即P為原點(diǎn)，過P點(diǎn)沒有切線也沒有與漸近線平行的直線，有0條。④當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線上，過P點(diǎn)只有一條切線和兩條與漸進(jìn)線平行的直線，共有三條。⑤當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，過P點(diǎn)沒有切線，只有與漸進(jìn)線平行的兩條直線，共有兩條。

同樣幾何特征上述結(jié)論顯然成立，現(xiàn)用代數(shù)法予以證明。

證明：與漸進(jìn)線平行的直線條數(shù)只與點(diǎn)是否在漸進(jìn)線上有關(guān)，易證。下面給出切線條數(shù)的證明。

設(shè)切線過點(diǎn)P且斜率為k，則方程為y=k（x-x0）+y0

因?yàn)榍芯€不可能平行于漸進(jìn)線，所以b2-a2k2≠0，由直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)即上述方程只有一解得：

①當(dāng)P為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)方程（1）無解，這時(shí)只有一條平行于y軸（斜率不存在）的直線與雙曲線相切，還有兩條與漸進(jìn)線平行的直線，所以與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條。②當(dāng)P在雙曲線外且在一條漸進(jìn)線上時(shí)，方程（1）有一解是k=或，顯然不可能，只有一條平行于y軸（斜率不存在）的切線，這樣過P點(diǎn)只有一條切線，與漸進(jìn)線平行的直線也只有一條，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條。③當(dāng)P在雙曲線外且不在漸進(jìn)線上時(shí)，方程（1）有一解，還有一條平行于y軸（斜率不存在）的切線，這樣過P點(diǎn)只有兩條切線，與漸進(jìn)線平行的直線也只有兩條，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有四條。

（2）當(dāng) x02-a2≠0時(shí)，（此時(shí)切線的斜率一定存在，方程（1）有幾解就有幾條切線），而方程（1）解的情況可由判別式的符號(hào)來確定：

①當(dāng)Δ>0即P在雙曲線外且不在漸進(jìn)線上時(shí)，方程（1）有兩解，從而過點(diǎn)P可作雙曲線的兩條切線，還有兩條與漸進(jìn)線平行的直線，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有四條。②當(dāng)Δ>0即P在雙曲線外且在一條漸進(jìn)線上時(shí)，方程（1）有兩解，但有一解是應(yīng)舍去，從而過點(diǎn)P可作雙曲線的一條切線。且只有一條與漸進(jìn)線平行的直線，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條。③當(dāng)Δ>0即P在雙曲線外且在兩條漸進(jìn)線上，即P為原點(diǎn)時(shí)，方程（1）有兩解為或，都舍去，從而過點(diǎn)P沒有與雙曲線相切的直線，也沒有與漸進(jìn)線平行的直線，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線不存在。④當(dāng)Δ=0即P在雙曲線上時(shí)，方程（1）有一解，從而過點(diǎn)P可作雙曲線的一條切線，還有兩條與漸進(jìn)線平行的直線，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條。⑤當(dāng)Δ<0即P在雙曲線內(nèi)時(shí)，方程（1）無解，從而過點(diǎn)P沒有切線，只有兩條與漸進(jìn)線平行的直線，所以此時(shí)與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條。

綜上，（1）（2）結(jié)論得證。