●丁福珍

(天臺縣教育局教研室 浙江天臺 317200)

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“勾股分割點”盡壓群芳，獨放光彩
——2015年浙江省臺州市中考卷壓軸題亮點賞析

●丁福珍

(天臺縣教育局教研室 浙江天臺 317200)

題目 定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN．若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．

1)已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3，求BN的長.

圖1 圖2

2)如圖2，在△ABC中，F(xiàn)G是中位線，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC>DE≥BD，聯(lián)結(jié)AD，AE分別交FG于點M,N．求證：點M，N是線段FG的勾股分割點.

圖3 圖4

3)已知點C是線段AB上的一定點，其位置如

圖3所示，請在BC上畫一點D，使點C，D是線段AB的勾股分割點(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可).

4)如圖4，已知點M，N是線段AB的勾股分割點，MN>AM≥BN，△AMC,△MND和△NBE均為等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點F，G，H，若H是DN的中點，試探究S△AMF，S△BEN和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(2015年浙江省臺州市數(shù)學(xué)中考試題第24題)

本題作為壓軸題，知識涵蓋面廣，綜合程度較高，計算、作圖、證明聯(lián)手出擊，融匯一體，彰顯數(shù)學(xué)的本色.

亮點1 親和力中融“四基”，體現(xiàn)公平

本題以學(xué)生熟悉的直角三角形以及勾股定理為背景，給學(xué)生一種“溫暖”的心理暗示,倍感“平易近人”.通過文字語言描述、圖形語言說明給出了“勾股分割點”的概念，在文字和圖形的相互映襯下，學(xué)生能輕松地理解概念，消除了因不理解題意而無法解題的障礙.問題的呈現(xiàn),從利用“勾股分割點”概念計算線段長度,再證明“勾股分割點”,最后進(jìn)行尺規(guī)作圖,進(jìn)而綜合應(yīng)用“勾股分割點”尋求S△AMF，S△BEN和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系,由易到難,層層遞進(jìn),力求讓不同層次的的學(xué)生在本題上會有不同的收獲，真正詮釋了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中所提出的“學(xué)生要獲得適應(yīng)社會生活的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”，充分體現(xiàn)了試題的公平性.

亮點2 新穎度中藏“三技”，彰顯本色

本題蘊藏數(shù)學(xué)的三大題型——計算、作圖、證明，聯(lián)手出擊，融匯一體.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中新增了關(guān)鍵詞“幾何直觀”，就是在作圖過程中，再現(xiàn)知識、熟練技能、歷練思維，知識的來龍去脈全程展現(xiàn)，為鞏固認(rèn)知、加深理解提供了直觀的感應(yīng)和理性的思考.通覽本題,命題者借助“勾股分割點”這個概念為載體,整個題目交匯于全等、相似等核心知識，計算、證明貫穿始終.第1)小題利用“勾股分割點”計算線段的長度，看似計算，實際上是理解與計算的凝聚,更是分類思想的滲透;第2)小題證明“勾股分割點”，是對新概念理解后的簡單應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生能熟練掌握“勾股分割點”;第3)小題尺規(guī)作圖，逆向思考，綜合運用，提升學(xué)生的思維品質(zhì);第4)小題先猜想，再證明，難度大，凸顯甄選功能.因此,“大膽猜想,細(xì)心求證”在本題中塵埃落定，成為考查學(xué)生邏輯思維能力的有效載體.

亮點3 解題法中賦“內(nèi)涵”，回味無窮

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對“問題解決”的具體闡述是：“獲得分析問題與解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識.”本題的第4)小題,解法多樣,凸顯本質(zhì),有利于引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的主動發(fā)揮和創(chuàng)造力的充分挖掘.下面就第4)小題提供幾種解法供欣賞.

解 如圖5，設(shè)AM=a，MN=b，NB=c.由H是DN的中點，得△MND，△BNE均為等邊三角形，從而

△DGH≌△NEH.

因為

MG∥NE，

所以

即

又因為

b2=a2+c2,

所以

(a-c)(b+a-c)=0,

即

a=c,

故

(此步驟是本題的關(guān)鍵，以下解法中將直接應(yīng)用.)

方法1 利用相似比求面積

圖5 圖6

如圖6，設(shè)FM=x，則

因為

AC∥MG,

所以

即

得

設(shè)S△AMC=S,則

即

則

故

于是

進(jìn)而

因此

S1+S3=S2.

方法2 利用轉(zhuǎn)化全等圖求面積

如圖7，過點E作EX∥BN，可證

S△AMF=S△XHE.

由

知

S梯形MNEG-S△HNE=S菱形NBEX-S△HNE,

即

S1+S3=S2.

圖7 圖8

方法3 利用等底同高分割面積

如圖8，易證△ACF≌△GDH，于是AF=GH,從而

S△AFM=S△GHM.

因為H是DN的中點，所以

又因為

所以

S△MNH=S△NBE,

從而

S△AMF+S△NBE=S四邊形MNHG.

方法4 利用全等分割面積

過點G作GK∥MN交DN于點K，因為

△ACF≌△GDH,

所以

AF=GH.

由

∠FAM=∠HGK， ∠AMC=∠GKH,

知

△AMF≌△GKH，

從而S四邊形MNKG=S△MND-S△GKD=

又因為

所以

S△AMF+S△NBE=S四邊形MNHG.

圖9 圖10

方法5 利用中位線以及全等代換

如圖10，取MN的中點P，聯(lián)結(jié)HP，作HQ⊥NE于點Q.由PH∥NE得

從而 (b-a)(a-b+c)=0(其中a-b+c≠0)，

即

因為

△ACF≌△GDH≌△ENH，

且

所以

從而

故

S△AFM+S△BNE=S四邊形MNHG.

亮點4 區(qū)分度中蘊“靈動”，凸顯選拔

圖11

筆者在中考閱卷過程中,發(fā)現(xiàn)有許多考生的解題思路“火候”不夠.筆者也曾迷惑,似乎其中有一定的道理,但通過仔細(xì)考究,發(fā)現(xiàn)這原來是命題者的“點睛之作”——凸顯選拔性.

猜想 如圖11，S四邊形MGHN≥S△AFM+S△BNE.

簡略理由如下：設(shè)AM=a，MN=c，BN=b.易證

△DGH≌△NEH， △ACF∽△DGH.

從而

因為

MN>AM≥BN,

即

a≥b,

所以

S△ACF≥S△DGH.

又因為

所以

且

當(dāng)a=b時，S四邊形MGHN=S△AFM+S△BNE;當(dāng)a>b時，S四邊形MGHN>S△AFM+S△BNE.

綜上所述,S四邊形MGHN≥S△AFM+S△BNE.

這些考生的思維方式是到位的,但“火候”不夠，因沒有證明a=b而失分，足見命題者對第4)小題的深度思考和敏銳的洞察力.數(shù)學(xué)猜想需要經(jīng)歷特定的思維過程,看似簡單的答案,卻能考查學(xué)生的觀察能力和歸納能力,考查學(xué)生是否具備豐富的知識儲備、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)猜想作為綜合程度很高的數(shù)學(xué)能力,具有科學(xué)性、多樣性、假定性、驗證性、創(chuàng)新性.因此,本題對新課程所倡導(dǎo)的核心理念——“一切為了學(xué)生的發(fā)展”作了真正的解讀,無愧為一道妙題.