●王紅權(quán)

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

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等式基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)的幾個(gè)要點(diǎn)*

●王紅權(quán)

(杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

“源于生活、易于理解”是對(duì)日常生活中的一些規(guī)律的最為簡(jiǎn)樸的抽象.等式基本性質(zhì)是數(shù)學(xué)中的基本規(guī)律之一，小學(xué)和初中的教材中都呈現(xiàn)了該內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)中重要的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)設(shè)計(jì)中需要充分理解其地位、價(jià)值和意義.

1 理解等式的含義是“開篇設(shè)計(jì)”的前提

1.1 教材呈現(xiàn)以圖代文，教學(xué)必需由圖及文(數(shù))

本文所指的教材是指浙江教育出版社義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》(七年級(jí)).“開篇設(shè)計(jì)”以實(shí)驗(yàn)形式呈現(xiàn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生真實(shí)經(jīng)歷等式基本性質(zhì)的形成過程.因此教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須要有實(shí)驗(yàn)操作環(huán)節(jié)，在圖1、圖3的基礎(chǔ)上通過添加(或減少)相同的砝碼個(gè)數(shù)(如圖2、圖4所示)，觀察天平是否平衡，“觸摸”等式基本性質(zhì)1的生活原型.這個(gè)環(huán)節(jié)展示時(shí)要注意3點(diǎn)：1)演示要反復(fù)多次并能讓學(xué)生注意到每一次操作都是“對(duì)稱的”；2)要讓學(xué)生體會(huì)到這種操作是“可逆的”(添加和取出)；3)要注意讓學(xué)生思考操作過程中的不同狀態(tài)：從一種平衡通過“操作”到另一種平衡，在這一變化過程中不變的是什么.

圖1 圖2

圖3 圖4

教材采用合作學(xué)習(xí)的方式，教師輔之以實(shí)驗(yàn)，目的都是為了讓學(xué)生增加體驗(yàn)，獲得經(jīng)驗(yàn)，為接下來的抽象歸納提供直觀的、感性的原型，使得數(shù)學(xué)抽象不再是無源之水、無本之木.

1.2 圖是圖，文是文，數(shù)學(xué)抽象是理性的抽象

1.3 反思一個(gè)案例

在某省級(jí)觀摩課中，筆者發(fā)現(xiàn)幾處課堂細(xì)節(jié)的發(fā)生與上述理解有密切的關(guān)系.第1個(gè)細(xì)節(jié)是教師演示完實(shí)驗(yàn)后學(xué)生在歸納形成等式基本性質(zhì)2時(shí)，忽略了“c≠0”，原因就是教師強(qiáng)調(diào)了2組圖中的“雙箭頭”，而忽視天平稱量的可逆并不是數(shù)學(xué)原理的可逆，失去提升學(xué)生理性思考的絕佳機(jī)會(huì).

2 熟練運(yùn)用等式基本性質(zhì)是“中篇設(shè)計(jì)”的關(guān)鍵

學(xué)生憑借已有的生活經(jīng)驗(yàn)理解等式基本性質(zhì)應(yīng)該不會(huì)困難，但熟練應(yīng)用并在應(yīng)用過程中提升其邏輯思維能力和提煉出解方程的依據(jù)需要對(duì)教材編排有深刻的理解.

等式基本性質(zhì)教學(xué)單元的設(shè)置是為解一元一次方程服務(wù)的.由于在一元一次方程的解決過程中只涉及移項(xiàng)、去分母(分母不含0因子)和合并同類項(xiàng)，因此在等式性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)不必過分強(qiáng)調(diào)分母等于0的情形.一般而言，在等式基本性質(zhì)2的應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)不宜補(bǔ)充如下問題：“已知2x-5y=0，且x≠0，求y與x的比”，留待學(xué)習(xí)分式時(shí)再研究.

3 等式基本性質(zhì)、方程同解、分配律是“收官之篇設(shè)計(jì)”的三大支柱

利用等式基本性質(zhì)可以解一元一次方程，其原因就是在對(duì)方程進(jìn)行變形的過程中，方程本質(zhì)屬性不變.

1)同解方程：解集相同的方程(等價(jià)方程).例如方程x-2=0與方程x=2是2個(gè)同解方程.同解是方程之間的一種等價(jià)關(guān)系，可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的同解方程來代替一個(gè)較復(fù)雜的方程.同解原理：①方程的2邊加上同一個(gè)數(shù)或式(式與方程的定義域相同)，方程的解集不變.容易知道“移項(xiàng)”是一種同解變形.②方程的2邊乘以同一個(gè)非0的數(shù)或不取零值的式(式與方程的定義域相同)，方程的解集不變.

當(dāng)方程變形不滿足同解原理時(shí)，變形后的方程就有可能出現(xiàn)增根或失根.因此在教學(xué)時(shí)必須注意利用等式性質(zhì)解一元一次方程并不是沒有原則的使用，是在利用由等式性質(zhì)導(dǎo)出的“移項(xiàng)”、“去分母(這里指方程的2邊同乘以或除以一個(gè)非0的數(shù))”和乘法分配律解一元一次方程.這就是講解例2需要滲透的關(guān)鍵點(diǎn)，也是對(duì)講解“1例5練”所獲得認(rèn)識(shí)的理性提升和自然延續(xù).

2)從同解原理中可以知道“移項(xiàng)”是同解變形；“去分母”時(shí)，方程的2邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)非0的數(shù)也是同解變形.這2條構(gòu)成解一元一次方程的全部依據(jù).由此看來“檢驗(yàn)”一元一次方程的解是“多余”的，那么教材為何在例2之后編排“檢驗(yàn)”？解讀不好會(huì)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生困惑，即學(xué)生不清楚到底什么時(shí)候需要檢驗(yàn)方程的解(正常的解一元一次方程不會(huì)產(chǎn)生增根和失根)，什么時(shí)候不需要檢驗(yàn).教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)不必過分強(qiáng)調(diào)“檢驗(yàn)”環(huán)節(jié)，知道通過“檢驗(yàn)”可以判定解得的“解”是否正確就夠了.原因非常簡(jiǎn)單：時(shí)候未到！等到學(xué)解分式方程并且增根出現(xiàn)時(shí)，在學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突時(shí)(增根從哪里來的)，分析強(qiáng)調(diào)教學(xué)效果會(huì)更好.當(dāng)然更加不必去補(bǔ)充“體現(xiàn)所謂檢驗(yàn)必要性”的例題了.

3)教材不涉及方程同解原理是為了突出基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想都是平實(shí)樸素、平易近人的，但要教得平易近人需對(duì)教材作深入研究.表面上看方程中的“未知量”是不定元，實(shí)際上是一個(gè)未知量和已知量之間約定關(guān)系式中的待定量，是一個(gè)確定的數(shù)，因此它滿足數(shù)的全部運(yùn)算律.解代數(shù)方程的基本原理就是有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律把所給的代數(shù)方程簡(jiǎn)化，從而確定其中所含的“未知數(shù)”所應(yīng)取之值[1].在簡(jiǎn)化一元一次方程的過程中使用“移項(xiàng)”和“去分母”等手段，其本身并不構(gòu)成解代數(shù)方程的核心思想方法，通過這些手段需要表達(dá)的是可以通過系統(tǒng)的、程序化的方法達(dá)成化未知為已知的目的(算法思想的直接滲透).

由此可知，例2的教學(xué)中需要淡化等式性質(zhì)的直接應(yīng)用，要注重等式性質(zhì)和“移項(xiàng)”、“去分母”的交替使用.不必過分強(qiáng)調(diào)等式性質(zhì)的適用性，而要體驗(yàn)其中“以簡(jiǎn)馭繁，化未知為已知”的簡(jiǎn)樸道理，體驗(yàn)解決問題的系統(tǒng)性和規(guī)律性，也就是解決問題的程序性，讓算法思想根植于學(xué)生的心中.設(shè)計(jì)好等式基本性質(zhì)的教學(xué)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)解方程提供最好的范本.

[1] 項(xiàng)武義．基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)[M]．北京：人民教育出版社，2004．

王紅權(quán)，男，杭州市普通教育研究室中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，中學(xué)高級(jí)教師，曾獲杭州市教育系統(tǒng)優(yōu)秀教師、教壇新秀、優(yōu)秀黨員，杭州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，中國(guó)統(tǒng)計(jì)教育學(xué)會(huì)基礎(chǔ)教育分會(huì)理事，浙江省數(shù)學(xué)會(huì)理事，浙江省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)分會(huì)常務(wù)理事，杭州市數(shù)學(xué)會(huì)秘書長(zhǎng).近年來主持浙江省、杭州市重點(diǎn)規(guī)劃課題多項(xiàng)，獲獎(jiǎng)多項(xiàng)，參與國(guó)家社科、教育部重點(diǎn)課題多項(xiàng)，已在各類雜志發(fā)表論文50余篇．

本文是全國(guó)教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年教育部重點(diǎn)課題“中小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究”(編號(hào)：G0A107010)及2014年浙江省教研課題“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念‘習(xí)得型’習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)研究”(編號(hào)：14B002)的研究成果之一．