山西祁縣第三中學(xué)　暢建芬

淺析初中數(shù)學(xué)中點(diǎn)問題

山西祁縣第三中學(xué)暢建芬

初中數(shù)學(xué)線段中點(diǎn)

線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn)，與中點(diǎn)有關(guān)的問題很多。在近幾年的中考題中，中點(diǎn)問題是高頻題，涉及到選擇、填空、簡答每一種題型。添加適當(dāng)?shù)妮o助線，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)是處理中點(diǎn)問題的關(guān)鍵。

一、等腰三角形的“三線合一”

如果已知等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，就要聯(lián)想到“三線合一”的性質(zhì)。

例如：如圖，已知：∠BAC=60°，AB= AC=2，D為BC邊的中點(diǎn)，則AD=____

分析：知道了底邊BC的中點(diǎn)D，應(yīng)該聯(lián)想到“三線合一”，連接AD，則AD既是底邊的中線又是底邊的高線還是頂角的角平分線，再利用直角三角形的銳角三角函數(shù)或勾股定理都可以解決問題。

二、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

如果已知中有垂直或直角，就要看中點(diǎn)是否是直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理來解決問題。

例如：如圖，已知△ABC中，BD、CE為高線，點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn).求證：MN⊥DE.

分析：本題是從另一類重要的特殊圖形——直角三角形入手，揭示中點(diǎn)問題的解法。由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。因此如果題目中有直角三角形斜邊中點(diǎn)的條件，那么最好的輔助線是做出斜邊中線，這樣就能得到兩個(gè)腰長相等的等腰三角形，把直角三角形問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題，從而實(shí)現(xiàn)直角三角形與等腰三角形的互化，可以獲得更多的條件，為解題提供思路。

三、三角形的中位線

如果條件告訴的中點(diǎn)既不是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，也不是等腰三角形底邊的中點(diǎn)，可聯(lián)想三角形的中位線定理。

例如：如圖，△ABC中，中線BE、CD相交于 F，求證：FC=2FD.

分析：由已知三角形兩邊的中點(diǎn)，想到連接兩中點(diǎn)構(gòu)成中位線，運(yùn)用中位線定理解決問題。

四、遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形

例如：如圖：梯形 ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，CD=3，E為AB中點(diǎn)，求證：DE⊥EC。

分析：如果直接證明，是不容易的，聯(lián)想到AD∥BC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，我們延長DE，與CB的延長線交于點(diǎn)F，這樣，我們不但構(gòu)造出一對八字型的全等三角形，還得到了一個(gè)等腰三角形，從而利用等腰三角形的“三線合一”解決問題。

五、遇到中點(diǎn)，倍長中線構(gòu)造全等

例如：如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中線AD=2，求BC的長.

分析：AD為BC邊上的中線，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，這樣就構(gòu)造了全等而且利用勾股定理的逆定理得到了一個(gè)直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理得以解決。

六、中線平分三角形的面積

例如：如下圖（左）所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE、BE。求證

分析：如果直接證明，是不容易，我們就構(gòu)造出一對八字型的全等三角形，如下圖（右），就把三角形ADE遷移到三角形ECF的位置上，問題就好解決了。

七、垂徑定理

例如：如下圖所示，AB是⊙O的弦，點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，若 AB=8cm，OC=3cm，則⊙O的半徑為______cm．

分析：由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，想到圓的垂徑定理，得到OC⊥AB，這樣就可以利用直角三角形的勾股定理來解決問題。

八、在解決幾何圖形問題時(shí)，我們對一些典型問題要掌握一些常用的解題方法

有些題目綜合性比較強(qiáng)，但萬變不離其宗，我們只要能從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，仍然可以利用中點(diǎn)問題的一般方法來應(yīng)對。

例如1、已知AD是△ABC的角平分線，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中點(diǎn).則MN的長為______.

分析：已知AD是角平分線，CN⊥AD，可以想到AN具有角平分線和高線兩種角色，這種情況只有在等腰三角形中才有，所以延長CN與AB相交就會(huì)得到一個(gè)等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到N為中點(diǎn)，再由三角形中位線定理得出結(jié)果。

2.如上圖（右），已知△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足.求證：G是CE的中點(diǎn)。

分析：要證明G為CE的中點(diǎn)，而已知DG⊥CE，只要證明△CDE是等腰三角形，從而得到輔助線，連接DE去證明DE=DC,而DC=BE，從而利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得以證明。

往往一道數(shù)學(xué)題并不是單一的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，而是多種知識(shí)的綜合，所以在處理中點(diǎn)問題時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高學(xué)生的圖形結(jié)合能力，綜合分析能力與概括能力，實(shí)現(xiàn)各知識(shí)間的互相轉(zhuǎn)換。

總之，中點(diǎn)問題的種類還很多，需要我們進(jìn)一步去研究探索。