翟新康，王斌團，李小鵬，張彥軍

（中航工業(yè)一飛院，西安 710089）

基于支持向量回歸的整體翼梁結構應力強度因子預測技術

翟新康，王斌團，李小鵬，張彥軍

（中航工業(yè)一飛院，西安 710089）

利用支持向量回歸機理論，通過對樣本空間的回歸分析，構建了以整體翼梁結構截面參數(shù)尺寸為輸入、應力強度因子為輸出的回歸模型。通過該模型，可以對任意一組參數(shù)下含裂紋整體翼梁結構裂紋尖端應力強度因子進行預測。經(jīng)計算，整體翼梁裂紋尖端應力強度因子的預測值與有限元分析計算值的絕對誤差平均值分別為1.2%，滿足工程要求。采用該方法進行結構參數(shù)靈敏度分析和優(yōu)化設計，可以大大減少計算量，提出的分析技術可供飛機結構設計參考。

支持向量回歸；整體翼梁；含裂紋結構；應力強度因子

0　引言

對于含裂紋的整體翼梁結構，其裂紋尖端應力強度因子不能直接通過《應力強度因子手冊》或相應的計算公式得到，雖然通過有限元的方法可以計算，但是卻非常耗時。在對整體翼梁結構進行參數(shù)靈敏度分析和優(yōu)化設計時，需要計算成千上萬組參數(shù)下的應力強度因子，若每一步都調(diào)用有限元程序，則效率會十分低下。為了解決這個問題，提出了建立基于支持向量機的應力強度因子代理模型，該模型反映了整體翼梁結構截面參數(shù)與應力強度因子的關系，基于該模型，可以通過預測，得到任一組結構參數(shù)下的應力強度因子。

1　支持向量回歸機介紹

支持向量機（Support Vector Machine，簡稱SVM），是20世紀90年代Vapnik等人提出的將統(tǒng)計理論、機器學習、優(yōu)化理論等有機結合，根據(jù)結構風險最小化原則來自動學習模型的結構，通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)來改變模型結構，成為繼神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊辨識等方法之后用于黑箱辨識的熱點方法。支持向量機能較好地解決小樣本、非線性、高維數(shù)識別和局部極小點等實際問題。

1.1支持向量回歸機算法

支持向量回歸的基本思想是，針對不滿足線性關系的樣本集(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)，通過輸入空間到輸出空間的非線性映射φ，將樣本集中的數(shù)據(jù)x映射到高維空間F，并在特征空間F中用下述函數(shù)進行線性回歸，即：

上式中，b為閾值，w為回歸系數(shù)向量。影響w的因素有：經(jīng)驗風險的總和以及使其在高維空間平坦的。

式中，m為訓練樣本個數(shù)，E(f(xi)-yi)是損失函數(shù)，C為懲罰因子。

為控制函數(shù)的復雜性，應使線性回歸函數(shù)盡量平坦，并考慮可能超出精度的回歸誤差，引入松弛因子ξ和ξ*，以處理不滿足上式的數(shù)據(jù)點。根據(jù)統(tǒng)計學習理論的結構風險最小化準則，SVR方法通過最小化目標函數(shù)來確定w和b：

上式中，第一項是使回歸函數(shù)更為平坦，泛化能力更好；第二項則為減少誤差，懲罰因子C是一個常數(shù)，且C＞0，用來控制對超出誤差ε的樣本的懲罰程度。建立拉格朗日方程：

代入式(5)，可以得到對偶優(yōu)化問題：

由此，SVM的函數(shù)回歸問題就可以歸結為二次規(guī)劃問題(7)。求解該二次規(guī)劃問題，可以得到用訓練樣本點表示的w：

式中，ai和是最小化的解。由此可求得線性回歸函數(shù)：

1.2支持向量機建立回歸模型的流程

采用MATLAB上的LIBSVM工具箱進行回歸模型建立。采用高斯徑向基核函數(shù)建立模型。影響支持向量機回歸模型預測精度和泛化能力的參數(shù)包括懲罰函數(shù)C、不敏感參數(shù)ε以及核參數(shù)σ等。

高斯徑向基核函數(shù)確定后，其參數(shù)σ、C和ε可以認為調(diào)節(jié)。這里采用數(shù)學規(guī)劃法的方式來尋求最優(yōu)參數(shù)C、ε和σ，然后用參數(shù)C、ε和σ來訓練整個訓練集。

對模型的檢驗有兩個評價指標：

均方誤差：

相關系數(shù)：

其中，n代表樣本點個數(shù)；yi代表響應的真實值代表預測值；代表響應的平均值。MSE越趨近于0，說明模型的精度越高；R2在[0,1]之間變化，其值越接近1說明誤差越小，擬合精度越高。其流程圖如圖1所示。

圖1　建立代理模型流程圖

2　整體翼梁結構參數(shù)及應力強度因子計算

翼梁結構參數(shù)如圖2所示。梁的材料為7050-T7451，彈性模量E=70Gpa，泊松比μ=0.33，強度極限斷裂韌性

為了分析止裂筋條對結構應力強度因子的影響，這里只分析腹板到止裂筋條這一段路徑的裂紋擴展。假設初始裂紋存在于翼梁中間，下緣條完全斷裂，并擴展至腹板上25mm處；臨界裂紋位置為止裂筋條。假設整體翼梁結構上的裂紋按直線擴展。按照常規(guī)的有限元理論建模并進行裂尖有限元應力強度因子計算[1]。

3　基于支持向量回歸機應力強度因子代理模型的建立

3.1樣本空間設計

選擇拉丁超立方的取樣方式，使樣本均勻地分布在整個取值范圍內(nèi)。進行整體翼梁結構代理模型樣本空間設計時，對結構參數(shù)數(shù)據(jù)進行抽樣，樣本容量為100，記樣本為X。將樣本帶入整體翼梁結構的參數(shù)化模型，模型中裂紋長度選擇為1/3H-25mm（止裂筋條下25mm），計算應力強度因子的值，記所有的樣本值為Y。

圖2　整體翼梁結構截面示參數(shù)意圖

3.2數(shù)據(jù)歸一化處理

在進行建模預測之前，首先需要對各數(shù)據(jù)進行歸一化處理，將所有具有不同量綱指標的值規(guī)范化到[-1，l]區(qū)間內(nèi)以減少訓練過程中數(shù)值計算的復度，以避免在指標中數(shù)值較大的數(shù)值控制了整個訓練的過程。

首先找出每個參數(shù)樣本當中的最大值及最小值及樣本值的最大最小值，即ymin，然后利用公式(10)進行歸一化處理。

式中，x*為歸一化后的值。

對模型的輸入數(shù)據(jù)進行歸一化操作后，同時也應該對模型的輸出數(shù)據(jù)進行反歸一化操作。反歸一化操作和歸一化操作是個互逆的過程，作用是還原計算數(shù)據(jù)恢復實際值，反歸一化公式為：

歸一化后的樣本及樣本值分別記為X'，Y'。

3.3代理模型的建立

直接采用安裝在MATLAB上的LIBSVM工具箱進行回歸模型建立。核函數(shù)選擇高斯核函數(shù)，選擇好核函數(shù)及相關參數(shù)后，調(diào)用MATLAB中LIBSVM工具箱的svmtrain函數(shù)進行回歸訓練。

式中，Y表示樣本值列向量；X表示樣本矩陣；s表示選擇支持向量機類型，3表示用支持向量機進行回歸訓練；t表示選擇核函數(shù)，2為高斯核函數(shù)。a，b，c為支持向量機參數(shù)的值。通過運行得到了應力強度因子的代理模型。

在對應力強度因子進行預測時，調(diào)用LIBSVM中的svmpredict函數(shù)，調(diào)用格式如下：

式中，testx表示待預測的樣本矩陣；psy表示預測結果列向量；testy表示預測結果估計值，可以給任意一組列向量；mse表示誤差，當testy為任意時，該誤差無參考價值。

通過數(shù)學規(guī)劃法來對支持向量機參數(shù)進行優(yōu)化，具體步驟如下：

1）確定設計變量，即懲罰函數(shù)C、不敏感參數(shù)ε以及核參數(shù)σ；

2）建立優(yōu)化目標，優(yōu)化目標是使支持向量機代理模型的精度最高，具體表示為將n個樣本隨機分為兩組，一組容量為n-10，另一組容量為10，第一組作為訓練樣本，第二組作為檢測樣本。用第一組樣本建立起來的模型對第二組樣本進行預測，將第二組的實際值與預測者的均方誤差最小作為優(yōu)化目標；

3）約束條件，根據(jù)文獻及經(jīng)驗，選擇參數(shù)的取值范圍，約束條件就為參數(shù)取值的上下限；

4）在MATLAB中編寫數(shù)學規(guī)劃法程序；

5）運行程序求最優(yōu)值。

通過數(shù)學規(guī)劃法優(yōu)化，整體翼梁建立代理模型時，C的值為98965，ε的值為0.0114，σ的值為0.1025。根據(jù)優(yōu)化出來的參數(shù)值，帶入式(12)，建立代理模型。在以后的應力強度因子預測時，將預測樣本帶入式(13)即可。

3.4代理模型精度檢驗

為了檢驗代理模型的精度，利用拉丁超立方采樣方法對整體翼梁結構截面參數(shù)進行采樣，樣本容量為5，如表1所示。

表1　整體翼梁結構檢驗樣本數(shù)據(jù)

將表1數(shù)據(jù)帶入整體翼梁結構參數(shù)化模型，通過ANSYS有限元分析軟件計算得到應力強度因子。然后再根據(jù)應力強度因子代理模型model1對檢驗樣本進行預測，得到應力強度因子預測值。應力強度因子計算值與預測值如表2所示。

【】【】

表2　應力強度因子計算值與預測值

將結果進行歸一化處理，再計算代理模型的均方根誤差和相關系數(shù)：

均方誤差：MSE=0.0503，相關系數(shù)：R2=0.9947。

由均方根誤差和相關系數(shù)可知，應力強度因子代理模型復合精度要求。

4　結論

提出的基于支持向量回歸的整體翼梁結構應力強度因子預測技術，其計算結構與有限元分析計算結果吻合且誤差較小，滿足工程要求。使用該方法可以大大減小計算量，同時也適用于其他結構應力強度因子計算及優(yōu)化分析。

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Methodology for resdual strength evaluation of cracked wing beam integrated structure

ZHAI Xin-kang, WANG Bin-tuan, LI Xiao-peng, ZHANG Yan-jun

O346.1

A

1009-0134(2016)02-0142-04

2015-12-03

翟新康（1977 -），男，陜西洋縣人，高級工程師，碩士，主要從事飛機結構強度、疲勞與損傷容限設計和試驗工作。