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        試析一類排列組合題型的常見解法與錯解

        2016-11-29 09:31:52左峰輝北京電子科技職業(yè)學(xué)院北京100176
        人間 2016年14期
        關(guān)鍵詞:郵筒排列組合封信

        左峰輝(北京電子科技職業(yè)學(xué)院,北京 100176)

        試析一類排列組合題型的常見解法與錯解

        左峰輝
        (北京電子科技職業(yè)學(xué)院,北京100176)

        本文分為典型例題分析和歸納結(jié)語兩部分,通過利用計數(shù)原理對于典型解法的分析,理清對于m個元素任意放入n個位置類型題的常見錯誤并歸納基本解法,指出其中的解題要點(diǎn)和注意條件。并對教學(xué)提出建議。

        一類排列組合問題;計數(shù)原理;錯解分析;典型解法

        排列組合中對于m個元素任意放入n個位置類型題題的解法看似簡單,實(shí)際在應(yīng)用中也有許多需要注意的地方。正確的解決此類題目,對于理解排列組合的基本原理,基本方法;理清錯解的原因,及對正確地解題有積極的意義。

        一、典型例題分析

        例1,現(xiàn)有3封不同的信投入4個不同的郵筒,問有多少種不同的投法?

        解法1,從郵筒入手,因?yàn)槊總€郵筒都可以投3封信,又考慮4個郵筒都可以投入3封信,4個郵筒相當(dāng)于可以分4步完成投信,根據(jù)分

        評步注計:數(shù)分原析理,解共1中有的 3解4種法投。法每。個郵筒可以投入3封信,也可以投入1封、2封或0封信,故每個郵筒有4種投法。解法1沒有搞清楚每一步中要考慮的是完成該步共有多少種方法,故解法1是錯誤的。

        解法2,既然每個郵筒可以投入3封信,也可以投入1封、2封或0封信,故每個郵筒有4種投法。考慮共有4共郵筒,既分4步完成投信。故共有 44種投法。

        評注:分析解2中的解法。每個郵筒可以投入3封信,也可以投入1封、2封或0封信,故每個郵筒有4種投法。這種說法應(yīng)該說是沒有問題的,但這里投入2封信只是一類投法,實(shí)際上它包含共3種方法,投入1封信也是一類投法,實(shí)際上它包含共3種方法。每個郵筒共有共8種投法。故解法2也是錯解。

        解法3,既然每個郵筒共有8種投法??紤]共有4共郵筒,既分4步完評成投注信:。分故析共解有3中 84的種解投法法。。雖然每個郵筒共有8種投法是不錯的,但對應(yīng)每種在第一個郵筒的投法,第二個郵筒的投法卻是不同的。例如,當(dāng)?shù)谝粋€郵筒投入2封信時,第二個郵筒可能投入1封信,也可以是0封信。這時第二個郵筒不能再投入3封信了。既當(dāng)?shù)谝粋€郵筒不同的投入方法時,第二個郵筒的投法要分別討論。故解法3也是錯解。

        而如果還是按此思路直接按分步原理解題,則在第一步,既在考慮第一個郵筒的投法種數(shù)時就必須分類,并針對第一步的每一種投法在第二步種再進(jìn)行分類。如此需要分類解決。為簡便起見,將可能的分類的情況分類來討論如下。

        解法4 按照4個郵筒分別投入的信件數(shù)可以分為:3、0、0、0;2、1、0、0;1、1、1、0等幾類方法。對應(yīng)的投法總數(shù)為:=64種。

        由此我們得到從郵筒入手需用分類討論,注意避免重復(fù)與遺漏。

        同時,我們還可以從信件入手,解法如下。

        解法5,從信件入手, 因?yàn)槊糠庑哦伎梢酝度?個郵筒中的每一個,既每封信有4種投法。共有3封信,相當(dāng)于投信可以分3步完成,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有34=64種投法。

        評注:解法5是直接應(yīng)用分步原理解題,是本題的最簡潔解法。

        例2,現(xiàn)有3封不同的信投入4個相同的袋子,問有多少種不同的投法?

        由上例分析,其最簡潔的解法如下:

        解法1,從門票入手, 因?yàn)槊繌堥T票都可以分配到4個袋子中的每一個,既每張門票都有4種分配方法。共有3張門票,相當(dāng)于分配可以分3步完成,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有3種投法。

        評注:分析解1中的解法。4個袋子是相同的,并不對應(yīng)4種分法。解1的解法含有重復(fù)的計數(shù)。解法1是錯解。

        正確的解法是:按照4個袋子分別分配的信封數(shù)可以分為:3、0、0、0;2、1、0、0;1、1、1、0等幾種方法。對應(yīng)的分法總數(shù)為:

        又注:此題不可以從信封入手去分步,而只能從袋子入手分類討論。

        例3,現(xiàn)有3張游泳館的門票分配給4班級,問有多少種不同的分法?

        由例1分析可知,其最簡潔的解法如下:

        解法1,從門票入手, 因?yàn)槊繌堥T票都可以分配到4個班級中的每一個,既每張門票都有4種分配方法。共有3張門票,相當(dāng)于分配可以分3步完成,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有 43種投法。

        評注:分析解1中的解法。3張游泳館門票是相同的,不適合作為分步的依據(jù)。解1的解法含有重復(fù)的計數(shù)。解法1是錯解。

        正確的解法是:按照4個班級分別分配的門票數(shù)可以分為:3、0、0、0;2、1、0、0;1、1、1、0等幾種方法。對應(yīng)的分法總數(shù)為:

        又注:此題不可以從門票入手去分步,而只能從班級入手分類討論。

        例4,現(xiàn)有3張相同的的郵票隨機(jī)放入4個相同的信封,問有多少種不同的分法?

        評注:本題也不可以從郵票入手去分步,而只能從信封入手分類討論。且不同的分類法即是分法種數(shù)。

        二、結(jié)語

        對于m個元素任意放入n個位置類型題(其中元素的認(rèn)定可以依據(jù)“必須用完”為依據(jù),而位置可以依據(jù)“可以為空”來區(qū)分。)由以上討論可以得到以下結(jié)論:

        ①都可以應(yīng)用計數(shù)原理來解,也說明了計數(shù)原理的基礎(chǔ)作用。

        ②都可以從位置入手分類討論。注意避免重復(fù)與遺漏。

        ③只有當(dāng)元素與位置都互不同時,從元素入手,其最簡潔的解法才是 nm。也可以從位置入手分類討論。需要選擇元素并排列。

        ④當(dāng)元素不同時而位置相同時,可以由位置入手,分類考慮。需要⑤選當(dāng)擇元元素素不

        相需

        同排時列而。位不置可不從同元時素,入可手以;由其位解置不入是手n,m分。類考慮。不需要選擇元素但要排列。不可從元素入手;其解不是 nm。

        ⑥當(dāng)元素相同時而位置也相同時,也可以由位置入手,分類考慮。不需要選擇元素也不需排列。注意其中對于每一類分類不需再排列了。不可從元素入手;其解也不是 nm。

        教學(xué)中需結(jié)合學(xué)生和課時情況安排教學(xué)的難度,以使學(xué)生理解正解與錯解的原因,使學(xué)生知其然并知其所以然。引導(dǎo)學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)又靈活的學(xué)風(fēng)。

        [1]華瑞芬.排列組合中的球與盒子問題[J].高中生學(xué)習(xí)(高二版),2013年,第11期.

        [2]陶興模.排列組合題中的錯解剖析[J].高考金刊,2004年,第11期.

        [3]薄濤.高中數(shù)學(xué)排列組合的多樣解題思路[J].考試周刊,2012第53期.

        [4]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心 編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué) 選修2-3 [M].北京:人民教育出版社.

        G712

        A

        1671-864X(2016)05-0132-01

        左峰輝,女,北京電子科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教師,主要研究方向:數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)應(yīng)用。

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