李孝輝
(四川師范大學(xué) 四川 成都 610000)
淺談數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐
李孝輝
(四川師范大學(xué) 四川 成都 610000)
數(shù)學(xué)是一門最基本的自然學(xué)科,數(shù)學(xué)的模型思想作為2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準中新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想之一。本論文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)(2013版)五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”教學(xué)為例,簡單闡述了數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般過程包括:準備、假設(shè)、建立、解釋、運用數(shù)學(xué)模型,強調(diào)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的重要作用。
數(shù)學(xué)建模;小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)模型;教學(xué)
數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型并運用它解決數(shù)學(xué)問題這一過程的簡稱[1]。數(shù)學(xué)是一門最基礎(chǔ)的自然學(xué)科,數(shù)學(xué)的模型思想作為2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準中新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想之一,尤其應(yīng)當提起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,數(shù)學(xué)建模更多地是指使用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),不斷讓小學(xué)生從具體事件或現(xiàn)實原型出發(fā),逐步抽象、概括并建立某種模型,并進行解釋和運用,從而加深對數(shù)學(xué)的理解和感受,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。
以人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)(2013版)五年級上冊的“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”教學(xué)為例,試談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的初步嘗試。
2.1 模型
百度百科這樣解釋模型,通過主觀意識借助實體或者虛擬表現(xiàn)、構(gòu)成客觀闡述形態(tài)、結(jié)構(gòu)的一種表達目的的物件(物件并不等于物體,不局限于實體與虛擬、不限于平面與立體)。
2.2 數(shù)學(xué)模型
目前在我國對數(shù)學(xué)模型還沒有一個十分權(quán)威的定義,但比較一致的認識是:數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界中的原型,為了某一個特定目的,作出一些必要的簡化和假設(shè),運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)模擬。
簡言之,數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言描述的一類模型。數(shù)學(xué)模型可以是一個或一組代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程或統(tǒng)計學(xué)方程,也可以是它們的某種適當?shù)慕M合,通過這些方程定量地或定性地描述系統(tǒng)各變量之間的相互關(guān)系或因果關(guān)系。數(shù)學(xué)模型一般是用數(shù)學(xué)語言、符號、數(shù)量關(guān)系或圖形來呈現(xiàn)的,具有精確性、直觀性、簡潔性等特點。在小學(xué)階段,主要表現(xiàn)為:數(shù)學(xué)概念、公式、定義、定理、法則等。如關(guān)于三角形(2013版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊)這一數(shù)學(xué)模型則是由數(shù)學(xué)語言結(jié)合圖形兩種呈現(xiàn)方式來呈現(xiàn)的,數(shù)學(xué)語言描述具體為“由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫做三角形?!蓖瑫r也是數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式;如加法交換律(2013版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊)這一數(shù)學(xué)模型,教科書上同時用了多種形式來呈現(xiàn)這一模型,用數(shù)學(xué)語言來描述為“兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變”,“甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)”,是數(shù)學(xué)語言模型,“▲+★=★+▲”,就轉(zhuǎn)化為了符號模型,“ɑ+b=b+ɑ”,則是字母模型。
2.3 數(shù)學(xué)建模
從現(xiàn)有資料來看,對于“小學(xué)數(shù)學(xué)建?!边@詞尚無確切定義,一般認為數(shù)學(xué)建模利用數(shù)學(xué)語言、符號等建立數(shù)學(xué)模型這一過程。就是通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題,并接受實際的檢驗,來建立數(shù)學(xué)模型的全過程。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時,人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述來建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是一個經(jīng)歷觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的過程,也是一個信息捕捉、篩選、整理的過程,更是一個思想與方法的產(chǎn)生與選擇的過程。
從數(shù)學(xué)建模的概念中可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模一般是指解決實際問題,要求學(xué)生能把實際問題歸納或抽象成數(shù)學(xué)模型加以解決。我們認為:小學(xué)數(shù)學(xué)建模是指學(xué)生在教師預(yù)設(shè)的與學(xué)習(xí)課本知識有關(guān)的生活情境中,通過一定的數(shù)學(xué)活動準備數(shù)學(xué)模型、假設(shè)數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)模型、 解釋數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型,并以此為載體學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識??梢赃@樣講,只要有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方,就有數(shù)學(xué)建模。
3.1 準備數(shù)學(xué)模型
了解小學(xué)數(shù)學(xué)問題的實際背景,明確其實際意義,掌握對象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來包容問題的精髓,數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程,進而用數(shù)學(xué)語言來描述問題。要求符合數(shù)學(xué)理論,符合數(shù)學(xué)習(xí)慣,清晰準確。
在“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”這一課例1中,教科書呈現(xiàn)了一段數(shù)學(xué)語言文字并配了一幅圖。數(shù)學(xué)語言文字描述到“同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹,每隔5米栽一棵(兩端要栽)。一共要栽多少棵樹?”而插圖內(nèi)容為:4個同學(xué)在一棟建筑旁邊隔著一定距離在植樹。明確題目關(guān)鍵信息:總長是100米,只在小路一邊植樹,兩端要栽,每隔5米栽一棵即間距為5米。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境:1個同學(xué)代表1棵樹,第一次在皮尺0刻度、5米刻度、10米刻度各站立1名同學(xué);第二次遞增到20米;第三次遞增到50米。此時教學(xué)過程可以這樣進行:
通過計數(shù),請同學(xué)回答,總長10米時,間隔5米植樹,道路只有一邊栽樹時,兩端要栽的前提下,
問:有幾個間隔?
答:有兩個間隔。
問:栽了多少棵樹?
答:栽了3棵樹。
問:間隔數(shù)與總長、間距之間的關(guān)系是什么?
答:間隔數(shù)等于總長除以間距。
問:棵數(shù)與間隔數(shù)的數(shù)量關(guān)系是什么?
答:棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。
只有學(xué)生身臨其境,切身體會到題目所表達的實際含義,學(xué)生才能用整體的思維把握整個過程。
3.2 假設(shè)數(shù)學(xué)模型
根據(jù)實際對象的特征和建模的目的,對問題進行必要的簡化,并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè)。
根據(jù)建模準備,我們可以提出這樣的假設(shè)1:道路一邊植樹(兩端要栽),間隔數(shù)等于總長除以間距。假設(shè)2:道路一邊植樹(兩端要栽),棵數(shù)比間隔數(shù)多1。在題目條件不變的情況下,變化總長進行驗證。學(xué)生繼續(xù)回答20米呢?通過計數(shù),學(xué)生容易發(fā)現(xiàn):總長20米時,間隔5米植樹,兩端要栽的前提下,有4個間隔,間隔數(shù)等于總長除以間距,栽了5棵樹,棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。50米呢?通過計數(shù),學(xué)生也容易發(fā)現(xiàn):總長50米時,間隔5米植樹,兩端要栽的前提下,有10個間隔,間隔數(shù)等于總長除以間距,栽了11棵樹,棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。通過驗證,得出假設(shè)正確。
3.3 建立數(shù)學(xué)模型
在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具)。
通過準備過程、假設(shè)及驗證過程,我們建立這樣的數(shù)學(xué)模型:道路一邊植樹(兩端要栽),間隔數(shù)等于總長除以間距,數(shù)量關(guān)系式:間隔數(shù)=總長÷間距。道路一邊植樹(兩端要栽),棵數(shù)比間隔數(shù)多1,數(shù)量關(guān)系式:棵數(shù)=間隔數(shù)+1。
3.4 解釋數(shù)學(xué)模型
對所要建立模型的思路進行闡述,對所得的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析與解釋。在上題中,通過題干信息,能夠很容易得出信息:同學(xué)們在小路的一邊植樹,小路總長100米,每隔5米栽一棵,也就是說一棵樹與它相鄰最近的一顆樹的距離為5米,即間距為5米,小路兩端要栽,問題是一共要栽多少棵樹。根據(jù)除法的意義,很容易得出這樣的結(jié)論:道路一邊植樹(兩端要栽),間隔數(shù)等于總長除以間距,即間隔數(shù)=總長÷間距。再分析栽樹要求,小路一邊栽樹,兩端要栽樹,得出棵樹比間隔數(shù)多1,即棵數(shù)=間隔數(shù)+1。綜上所述,道路一邊植樹(兩端要栽)的數(shù)學(xué)模型:棵數(shù)=總長÷間距+1。
3.5 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型
建立數(shù)學(xué)模型是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用,包括兩個方面:數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用(練習(xí))和數(shù)學(xué)之外的應(yīng)用(解決具體問題)[2]。為了加強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng),應(yīng)該加強數(shù)學(xué)之外應(yīng)用的教學(xué)[3]。在此僅簡單舉例說明數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用(練習(xí))。在教科書“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”練習(xí)題部分,編者設(shè)置了過手練習(xí)題,即“工人們正在架設(shè)電線桿,相鄰兩根間的距離是200米。在總長3000米的筆直路上,一共要架設(shè)多少根電線桿(兩端都架設(shè))?”通過閱讀題目數(shù)學(xué)語言文字信息,得到:道路一側(cè)架設(shè)電線桿相當于小路一邊植樹,兩端都架設(shè)相當于兩端要栽,間距200米,總長3000米,問題為一共要架設(shè)多少根電線桿。根據(jù)數(shù)學(xué)模型間隔數(shù)=總長÷間距,得出間隔數(shù)=3000÷200=15,在根據(jù)數(shù)學(xué)模型棵數(shù)=間隔數(shù)+1,得出電線桿總數(shù)=15+1=16(根)?;蛘咧苯痈鶕?jù)道路一邊植樹(兩端要栽)的數(shù)學(xué)模型:棵數(shù)=總長÷間距+1,得出電線桿總數(shù)=3000÷200+1=16(根)。
九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確規(guī)定:“要使學(xué)生受到把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練”“形成用數(shù)學(xué)的意識”。在教學(xué)中,一線教師經(jīng)??吹接行W(xué)生遇到一個實際問題,無從下手的情況。當我們把這個問題化為數(shù)學(xué)模型,用數(shù)學(xué)語言進行表達后,尤其是數(shù)學(xué)公式表現(xiàn)時,學(xué)生馬上就會解了??梢?,建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型,是利用數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題的前提。解決實際問題,特別是綜合性較強的實際問題的過程,實際上就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。在教學(xué)中解決實際問題時,要注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括為數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。
數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主,教師利用一些事先設(shè)計好問題啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生主動查閱文獻資料和學(xué)習(xí)新知識,鼓勵學(xué)生積極開展討論和辯論,培養(yǎng)學(xué)生主動探索,努力進取的學(xué)風,培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力,培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神、形成一個生動活潑的環(huán)境和氣氛,教學(xué)過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力,增強他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力,提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì),強調(diào)的是獲取新知識的能力,是解決問題的過程,而不是知識與結(jié)果。
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李孝輝(1988-),女,漢族,四川內(nèi)江人,碩士,四川師范大學(xué),小學(xué)教育。
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1672-5832(2016)06-0104-02