李孝輝

(四川師范大學(xué) 四川 成都 610000)

淺談數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐

李孝輝

(四川師范大學(xué) 四川 成都 610000)

數(shù)學(xué)是一門最基本的自然學(xué)科，數(shù)學(xué)的模型思想作為2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準中新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想之一。本論文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)(2013版)五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”教學(xué)為例，簡單闡述了數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般過程包括：準備、假設(shè)、建立、解釋、運用數(shù)學(xué)模型，強調(diào)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的重要作用。

數(shù)學(xué)建模；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；教學(xué)

1 引言

數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型并運用它解決數(shù)學(xué)問題這一過程的簡稱[1]。數(shù)學(xué)是一門最基礎(chǔ)的自然學(xué)科，數(shù)學(xué)的模型思想作為2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準中新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想之一，尤其應(yīng)當提起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)建模更多地是指使用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不斷讓小學(xué)生從具體事件或現(xiàn)實原型出發(fā)，逐步抽象、概括并建立某種模型，并進行解釋和運用，從而加深對數(shù)學(xué)的理解和感受，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

以人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)(2013版)五年級上冊的“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”教學(xué)為例，試談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的初步嘗試。

2 概念界定

2.1 模型

百度百科這樣解釋模型，通過主觀意識借助實體或者虛擬表現(xiàn)、構(gòu)成客觀闡述形態(tài)、結(jié)構(gòu)的一種表達目的的物件(物件并不等于物體，不局限于實體與虛擬、不限于平面與立體)。

2.2 數(shù)學(xué)模型

目前在我國對數(shù)學(xué)模型還沒有一個十分權(quán)威的定義，但比較一致的認識是：數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界中的原型，為了某一個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)模擬。

簡言之，數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言描述的一類模型。數(shù)學(xué)模型可以是一個或一組代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程或統(tǒng)計學(xué)方程，也可以是它們的某種適當?shù)慕M合，通過這些方程定量地或定性地描述系統(tǒng)各變量之間的相互關(guān)系或因果關(guān)系。數(shù)學(xué)模型一般是用數(shù)學(xué)語言、符號、數(shù)量關(guān)系或圖形來呈現(xiàn)的，具有精確性、直觀性、簡潔性等特點。在小學(xué)階段，主要表現(xiàn)為：數(shù)學(xué)概念、公式、定義、定理、法則等。如關(guān)于三角形(2013版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊)這一數(shù)學(xué)模型則是由數(shù)學(xué)語言結(jié)合圖形兩種呈現(xiàn)方式來呈現(xiàn)的，數(shù)學(xué)語言描述具體為“由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫做三角形?！蓖瑫r也是數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式；如加法交換律(2013版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊)這一數(shù)學(xué)模型，教科書上同時用了多種形式來呈現(xiàn)這一模型，用數(shù)學(xué)語言來描述為“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”，“甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)”，是數(shù)學(xué)語言模型，“▲+★=★+▲”，就轉(zhuǎn)化為了符號模型，“ɑ+b=b+ɑ”，則是字母模型。

2.3 數(shù)學(xué)建模

從現(xiàn)有資料來看，對于“小學(xué)數(shù)學(xué)建?！边@詞尚無確切定義，一般認為數(shù)學(xué)建模利用數(shù)學(xué)語言、符號等建立數(shù)學(xué)模型這一過程。就是通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數(shù)學(xué)模型的全過程。當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述來建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是一個經(jīng)歷觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的過程，也是一個信息捕捉、篩選、整理的過程，更是一個思想與方法的產(chǎn)生與選擇的過程。

3 數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程

從數(shù)學(xué)建模的概念中可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模一般是指解決實際問題，要求學(xué)生能把實際問題歸納或抽象成數(shù)學(xué)模型加以解決。我們認為：小學(xué)數(shù)學(xué)建模是指學(xué)生在教師預(yù)設(shè)的與學(xué)習(xí)課本知識有關(guān)的生活情境中，通過一定的數(shù)學(xué)活動準備數(shù)學(xué)模型、假設(shè)數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)模型、 解釋數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，并以此為載體學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識?？梢赃@樣講，只要有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方，就有數(shù)學(xué)建模。

3.1 準備數(shù)學(xué)模型

了解小學(xué)數(shù)學(xué)問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來包容問題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程，進而用數(shù)學(xué)語言來描述問題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準確。

在“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”這一課例1中，教科書呈現(xiàn)了一段數(shù)學(xué)語言文字并配了一幅圖。數(shù)學(xué)語言文字描述到“同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵(兩端要栽)。一共要栽多少棵樹？”而插圖內(nèi)容為：4個同學(xué)在一棟建筑旁邊隔著一定距離在植樹。明確題目關(guān)鍵信息：總長是100米，只在小路一邊植樹，兩端要栽，每隔5米栽一棵即間距為5米。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：1個同學(xué)代表1棵樹，第一次在皮尺0刻度、5米刻度、10米刻度各站立1名同學(xué)；第二次遞增到20米；第三次遞增到50米。此時教學(xué)過程可以這樣進行：

通過計數(shù)，請同學(xué)回答，總長10米時，間隔5米植樹，道路只有一邊栽樹時，兩端要栽的前提下，

問：有幾個間隔？

答：有兩個間隔。

問：栽了多少棵樹？

答：栽了3棵樹。

問：間隔數(shù)與總長、間距之間的關(guān)系是什么？

答：間隔數(shù)等于總長除以間距。

問：棵數(shù)與間隔數(shù)的數(shù)量關(guān)系是什么？

答：棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。

只有學(xué)生身臨其境，切身體會到題目所表達的實際含義，學(xué)生才能用整體的思維把握整個過程。

3.2 假設(shè)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè)。

根據(jù)建模準備，我們可以提出這樣的假設(shè)1：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數(shù)等于總長除以間距。假設(shè)2：道路一邊植樹(兩端要栽)，棵數(shù)比間隔數(shù)多1。在題目條件不變的情況下，變化總長進行驗證。學(xué)生繼續(xù)回答20米呢？通過計數(shù)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：總長20米時，間隔5米植樹，兩端要栽的前提下，有4個間隔，間隔數(shù)等于總長除以間距，栽了5棵樹，棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。50米呢？通過計數(shù)，學(xué)生也容易發(fā)現(xiàn)：總長50米時，間隔5米植樹，兩端要栽的前提下，有10個間隔，間隔數(shù)等于總長除以間距，栽了11棵樹，棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。通過驗證，得出假設(shè)正確。

3.3 建立數(shù)學(xué)模型

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具)。

通過準備過程、假設(shè)及驗證過程，我們建立這樣的數(shù)學(xué)模型：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數(shù)等于總長除以間距，數(shù)量關(guān)系式：間隔數(shù)=總長÷間距。道路一邊植樹(兩端要栽)，棵數(shù)比間隔數(shù)多1，數(shù)量關(guān)系式：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

3.4 解釋數(shù)學(xué)模型

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析與解釋。在上題中，通過題干信息，能夠很容易得出信息：同學(xué)們在小路的一邊植樹，小路總長100米，每隔5米栽一棵，也就是說一棵樹與它相鄰最近的一顆樹的距離為5米，即間距為5米，小路兩端要栽，問題是一共要栽多少棵樹。根據(jù)除法的意義，很容易得出這樣的結(jié)論：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數(shù)等于總長除以間距，即間隔數(shù)=總長÷間距。再分析栽樹要求，小路一邊栽樹，兩端要栽樹，得出棵樹比間隔數(shù)多1，即棵數(shù)=間隔數(shù)+1。綜上所述，道路一邊植樹(兩端要栽)的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=總長÷間距+1。

3.5 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，包括兩個方面：數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用(練習(xí))和數(shù)學(xué)之外的應(yīng)用(解決具體問題)[2]。為了加強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)該加強數(shù)學(xué)之外應(yīng)用的教學(xué)[3]。在此僅簡單舉例說明數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用(練習(xí))。在教科書“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”練習(xí)題部分，編者設(shè)置了過手練習(xí)題，即“工人們正在架設(shè)電線桿，相鄰兩根間的距離是200米。在總長3000米的筆直路上，一共要架設(shè)多少根電線桿(兩端都架設(shè))？”通過閱讀題目數(shù)學(xué)語言文字信息，得到：道路一側(cè)架設(shè)電線桿相當于小路一邊植樹，兩端都架設(shè)相當于兩端要栽，間距200米，總長3000米，問題為一共要架設(shè)多少根電線桿。根據(jù)數(shù)學(xué)模型間隔數(shù)=總長÷間距，得出間隔數(shù)=3000÷200=15，在根據(jù)數(shù)學(xué)模型棵數(shù)=間隔數(shù)+1，得出電線桿總數(shù)=15+1=16(根)?；蛘咧苯痈鶕?jù)道路一邊植樹(兩端要栽)的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=總長÷間距+1，得出電線桿總數(shù)=3000÷200+1=16(根)。

4 總結(jié)

九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確規(guī)定：“要使學(xué)生受到把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練”“形成用數(shù)學(xué)的意識”。在教學(xué)中，一線教師經(jīng)?？吹接行W(xué)生遇到一個實際問題，無從下手的情況。當我們把這個問題化為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語言進行表達后，尤其是數(shù)學(xué)公式表現(xiàn)時，學(xué)生馬上就會解了?？梢?，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型，是利用數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題的前提。解決實際問題，特別是綜合性較強的實際問題的過程，實際上就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。在教學(xué)中解決實際問題時，要注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計好問題啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動查閱文獻資料和學(xué)習(xí)新知識，鼓勵學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動探索，努力進取的學(xué)風，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神、形成一個生動活潑的環(huán)境和氣氛，教學(xué)過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，強調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果。

[1] 孫丹. 淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的策略與意義[J]. 新課程研究:教師教育, 2011(11):28-29.

[2] 袁明紅. 小學(xué)數(shù)學(xué)的"數(shù)學(xué)建模"教學(xué)策略[J]. 考試周刊, 2015(39):68-68.

[3] 項仁訓(xùn)，沈本領(lǐng).問題—建?！獞?yīng)用——構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的探索[J].江蘇教育，1999，( 6)：36- 37.

李孝輝(1988-)，女，漢族，四川內(nèi)江人，碩士，四川師范大學(xué)，小學(xué)教育。

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