馬建秀

“位置”是《數(shù)學(xué)》（人教版）五年級(jí)上冊(cè)第二單元的內(nèi)容。它是學(xué)生在學(xué)習(xí)了上、下、前、后、左、右和東、西、南、北等詞語(yǔ)描述物體方向的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用數(shù)對(duì)確定物體的位置。這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，基于現(xiàn)實(shí)的需要，根據(jù)“行與列”這兩個(gè)因素來(lái)確定物體的位置，繼而學(xué)會(huì)用數(shù)對(duì)表示具體情境中物體的位置，在“讀懂”平面圖的基礎(chǔ)上用有序數(shù)對(duì)來(lái)刻畫(huà)二維空間中某點(diǎn)的位置。通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生從用生活經(jīng)驗(yàn)描述位置（如“靠近講臺(tái)的為第一行”“靠近門的為第一列”）上升為用數(shù)學(xué)方法（即“數(shù)對(duì)”）確定位置，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)空間觀念。

對(duì)學(xué)生而言，只要根據(jù)“數(shù)學(xué)規(guī)定”把現(xiàn)實(shí)空間位置轉(zhuǎn)化到平面圖上，再遵從“從左向右、從下向上”的原則，就能找到一個(gè)數(shù)對(duì)與一個(gè)物體一一對(duì)應(yīng)，學(xué)生易于掌握，學(xué)習(xí)難度不高。因此，課堂上，常常聽(tīng)到學(xué)生說(shuō)“這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)單、好做”。對(duì)于教師而言，簡(jiǎn)單的知識(shí)背后需要挖掘什么數(shù)學(xué)內(nèi)涵呢？讓學(xué)生終生受用，是執(zhí)教者應(yīng)該思考的。

在學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握能力的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想，是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）的目標(biāo)要求。對(duì)于一些教師來(lái)說(shuō)，知識(shí)是顯性的，背后的思想?yún)s是隱性的，霧里看花、水中望月，迷茫而無(wú)所適從。筆者在“位置”一課的設(shè)計(jì)中，試圖讓學(xué)生感受平面直角坐標(biāo)系思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對(duì)應(yīng)思想、結(jié)構(gòu)化思想、符號(hào)思想、函數(shù)思想、變中不變思想、抽象思想、模型思想……

下面談?wù)勅绾螐膶W(xué)習(xí)材料、問(wèn)題思考、教學(xué)活動(dòng)與習(xí)題設(shè)計(jì)四個(gè)方面，讓學(xué)生感悟這些數(shù)學(xué)思想。

一、平面直角坐標(biāo)系思想

課前談話：同學(xué)們，說(shuō)一說(shuō)你們?nèi)ル娪霸嚎措娪皶r(shí)，是怎么找到自己的座位的？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生以前能利用第幾排第幾號(hào)這兩個(gè)信息在電影院找到自己的座位，通過(guò)教師的課前談話，他們已有的經(jīng)驗(yàn)被喚醒，為本課做鋪墊。學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中的座位圖，就是直角坐標(biāo)系的“雛形”。

問(wèn)題思考：為什么具備“行”和“列”兩個(gè)條件，才能確定位置？

1.讓學(xué)生舉例說(shuō)明。他們能夠說(shuō)出確定了“行”，但不知道是這“行”中的哪一個(gè)，或者確定了“列”，不知道是這“列”中的第幾個(gè)，無(wú)法確定位置。

2.接著小黑板出示直角坐標(biāo)系“半成品”：即只畫(huà)出幾列，沒(méi)有畫(huà)出行。讓學(xué)生到臺(tái)前從圖上找到自己的位置，他會(huì)數(shù)出自己坐第幾列，再數(shù)出第幾行，用直尺畫(huà)出行和列的交叉點(diǎn)。

3.追問(wèn)：這一點(diǎn)，屬于“行”還是“列”？學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)只有交點(diǎn)才同時(shí)屬于“行”和“列”。

4.你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，能夠發(fā)現(xiàn)只有滿足“行”和“列”兩個(gè)條件，才能確定唯一的一點(diǎn)，即一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)對(duì)。

【設(shè)計(jì)意圖】此環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)為什么同時(shí)具備“行”和“列”兩個(gè)條件才能確定唯一一點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)兩條直線相交于一點(diǎn)。這一點(diǎn)是建立在原點(diǎn)、方向、單位刻度唯一確定的基礎(chǔ)之上。直角坐標(biāo)系的建立，它使幾何圖形可以用數(shù)或代數(shù)式表示出來(lái)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)“數(shù)與形”做一些鋪墊。

二、數(shù)形結(jié)合思想與一一對(duì)應(yīng)思想

學(xué)習(xí)材料：平面座位圖

【設(shè)計(jì)意圖】將空間座位轉(zhuǎn)化為平面圖，是學(xué)生學(xué)習(xí)本課的難點(diǎn)。這需要遵從數(shù)學(xué)規(guī)定：以觀察者的角度，圖上按照從左向右的順序排列為列，從下向上的順序排列為行；空間位置從左向右為列，從前向后為行。這是發(fā)展學(xué)生空間觀念的極好載體。數(shù)對(duì)確定位置的本質(zhì)就是數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)。包括空間方向與平面方向的一一對(duì)應(yīng)，數(shù)與形的一一對(duì)應(yīng)。只有將空間座位的形與數(shù)對(duì)應(yīng)，即由形想數(shù)，才能用這個(gè)數(shù)對(duì)找到平面的唯一點(diǎn)（即由數(shù)想形）。數(shù)對(duì)就是這個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程的橋梁紐帶。

習(xí)題設(shè)計(jì)：

1.（2，2）（2，4）這兩個(gè)數(shù)對(duì)有什么特點(diǎn)？你能想到它的圖形嗎？

2.（3，5） （6，5）呢？由此你發(fā)現(xiàn)了什么？

3.出示點(diǎn)子圖：

①圖上三個(gè)紅點(diǎn)連起來(lái)是什么圖形？

②如果要形成平行四邊形，需要把哪個(gè)黑點(diǎn)變成紅點(diǎn)。

③這個(gè)點(diǎn)的數(shù)對(duì)是什么？可以看作把哪個(gè)點(diǎn)平移幾個(gè)格形成？

【設(shè)計(jì)意圖】“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。本題是感悟數(shù)形結(jié)合的很好載體。形幫數(shù)，數(shù)助形的同時(shí)，還能將平移知識(shí)融入，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

教學(xué)活動(dòng)：

規(guī)則：老師請(qǐng)一個(gè)同學(xué)出來(lái)說(shuō)數(shù)對(duì)，這個(gè)同學(xué)再找另一個(gè)同學(xué)到黑板的平面座位圖上把這個(gè)點(diǎn)找出來(lái)，然后對(duì)應(yīng)空間座位那個(gè)同學(xué)站起來(lái)。站對(duì)的同學(xué)再出來(lái)說(shuō)數(shù)對(duì)，重復(fù)活動(dòng)。

【設(shè)計(jì)意圖】此活動(dòng)需要學(xué)生帶著問(wèn)題，思維在不同個(gè)體中形成連鎖反應(yīng)，全班同學(xué)都能參與，可謂“以點(diǎn)帶面”。此活動(dòng)學(xué)生在思中學(xué)，學(xué)中悟，熱鬧的背后，一一對(duì)應(yīng)與數(shù)形結(jié)合思想潛移默化在他們心中。同時(shí)也感悟到有了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就便于交流與溝通，就能使空間有結(jié)構(gòu)、有序，使我們的認(rèn)知不混亂。

三、結(jié)構(gòu)化思想與符號(hào)思想

導(dǎo)入新課：老師要找一個(gè)同學(xué)回答問(wèn)題，他在第4排的第3個(gè)，會(huì)是誰(shuí)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生會(huì)指出同時(shí)有四個(gè)同學(xué)符合條件。使他們感受到?jīng)]有規(guī)定目標(biāo)是不確定的，生活是紊亂的，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的必要性。

問(wèn)題思考：老師要想從他們四個(gè)之中只選一個(gè)怎么辦？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生討論的結(jié)果是必須得有個(gè)人為規(guī)定：是從左向右還是從右向左。在認(rèn)知沖突中，體會(huì)數(shù)學(xué)規(guī)定的必要性和合理性，讓學(xué)生經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化的過(guò)程。

學(xué)習(xí)材料：出示座位圖，在座位圖的下方和左側(cè)標(biāo)出1、2、3……這樣就建立了坐標(biāo)系的初步表象，再把數(shù)字連接成一條直線，就出現(xiàn)了數(shù)軸。

【設(shè)計(jì)意圖】原來(lái)的座位圖在直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)，其結(jié)構(gòu)清晰化。

問(wèn)題思考：

1.如何簡(jiǎn)潔地表示第3行的第2列？

請(qǐng)學(xué)生將自己的表示方法一一呈現(xiàn)在黑板上。并說(shuō)出某些表示方法不合理的理由。

2.（3，2）（2，3）這兩種表示方法，有什么不同？

3.如何才能讓大家都看明白？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過(guò)程，發(fā)展符號(hào)意識(shí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的魅力，同時(shí)體會(huì)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性。同一個(gè)位置可以出現(xiàn)兩種記法，必須統(tǒng)一才便于溝通與交流，結(jié)構(gòu)化思想隨之產(chǎn)生。

四、函數(shù)思想

習(xí)題設(shè)計(jì)：在方格中描出（1，1）（2，2） （3，3）（4，4）（5，5）的位置。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)描點(diǎn)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在一條斜線上。

問(wèn)題思考：

1.這些點(diǎn)有什么特點(diǎn)？學(xué)生看出行數(shù)和列數(shù)相同。

2.能連成什么圖形？通過(guò)動(dòng)手操作，能連成一條直線。

3.你還能說(shuō)出一個(gè)數(shù)對(duì)的點(diǎn)也是在這條斜線上較遠(yuǎn)的位置嗎？

4.（x，x）表示什么意思？

【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)展學(xué)生的空間想象力，為以后學(xué)習(xí)y=x的正比例函數(shù)做準(zhǔn)備。

教學(xué)活動(dòng)：

師：下課了，我想請(qǐng)同學(xué)們帶著今天的知識(shí)離開(kāi)課堂，走出數(shù)學(xué)味。

1.（5，6）同學(xué)先走

2.（x，4）同學(xué)離開(kāi)

3.（4，y）同學(xué)離開(kāi)

4.（x，y）同學(xué)走

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生帶著問(wèn)題離開(kāi)課堂，充滿了喜悅和好奇，覺(jué)得這樣的數(shù)學(xué)課很有趣。使在游戲活動(dòng)中加深了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的鞏固，悄悄地滲透函數(shù)思想。

五、變中不變思想

問(wèn)題思考：

1.如果我們班的黑板在窗戶這面，表示你位置的數(shù)對(duì)會(huì)不會(huì)改變？請(qǐng)嘗試寫(xiě)出來(lái)。

2.你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)對(duì)變了。

3.什么變了，什么沒(méi)變？大部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)對(duì)變了，位置沒(méi)變。

4.造成數(shù)對(duì)變的直接原因是什么？“行”和“列”變了。

5.由此你想說(shuō)什么？

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生進(jìn)一步感受確定行和列，要以觀察者角度考察，數(shù)對(duì)隨觀察者的角度改變而改變，不變的是位置，感受變中有不變的現(xiàn)象存在。

六、抽象思想

學(xué)習(xí)材料：空間座位——平面圖形——點(diǎn)子圖——直角坐標(biāo)系——數(shù)對(duì)。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)是逐步的抽象，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，發(fā)展和體會(huì)抽象思想。

習(xí)題設(shè)計(jì)：把自己的位置用直尺在坐標(biāo)系上畫(huà)出來(lái)。

【設(shè)計(jì)意圖】把學(xué)生站成一排成一列抽象成一條直線，再把兩隊(duì)交叉那個(gè)同學(xué)抽象成一個(gè)點(diǎn)。抽象思想是最上位的思想，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，有了抽象才能把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法解決。

七、模型思想

問(wèn)題思考：生活中還有哪里用數(shù)對(duì)確定位置？

學(xué)生可能會(huì)說(shuō)出停車場(chǎng)、門牌號(hào)、電影院、操場(chǎng)站隊(duì)、儲(chǔ)物柜、課程表……

【設(shè)計(jì)意圖】這些生活中的問(wèn)題，能夠運(yùn)用數(shù)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，就使生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化。建立模型思想，才能把生活問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決，溝通數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。

新課程理念中，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)形成能力，更重要的是讓學(xué)生從中體會(huì)一些基本思想?！拔恢谩币徽n的設(shè)計(jì)，在顯性知識(shí)的背后，挖掘出諸多的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)這一課例，或許能給數(shù)學(xué)教師指明一點(diǎn)方向：當(dāng)學(xué)生把學(xué)過(guò)的知識(shí)及做過(guò)的習(xí)題遺忘后，只有數(shù)學(xué)思想才能沉淀下來(lái)，為學(xué)生的終生發(fā)展服務(wù)。人們都說(shuō)：“一流的教師教思想，二流的教師教方法，三流的教師教知識(shí)”，成為一流教師應(yīng)該是我們不懈的追求。