張建華，李 楊，吳學(xué)禮，趙 民，莊沈陽(yáng)

(1.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北省生產(chǎn)過(guò)程自動(dòng)化工程技術(shù)研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾 161006)

?

基于U模型的混沌系統(tǒng)Super-Twisting同步控制研究

張建華1,2，李 楊2,3，吳學(xué)禮1,2，趙 民1，莊沈陽(yáng)4

(1.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北省生產(chǎn)過(guò)程自動(dòng)化工程技術(shù)研究中心，河北石家莊 050018；3.河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊 050018；4.齊齊哈爾大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，黑龍江齊齊哈爾 161006)

提出了一種基于U模型的混沌系統(tǒng)Super-Twisting同步控制方法，對(duì)混沌系統(tǒng)的混沌控制進(jìn)行了描述，結(jié)合混沌系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀和非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一些成果，提出了混沌控制與同步的一些新方法，設(shè)計(jì)出相應(yīng)的控制器實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間混沌同步控制。針對(duì)Lorenz 系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果證明了所給方法的有效性。

穩(wěn)定性理論；混沌系統(tǒng)；同步；U模型；Super-Twisting算法；有限時(shí)間

混沌現(xiàn)象廣泛地存在于自然界，它是非線性系統(tǒng)所包含的一種比較特殊的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)?；煦缡且环N非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)形式，其明顯特點(diǎn)是對(duì)噪聲和初始值的敏感性。類似隨機(jī)現(xiàn)象是混沌現(xiàn)象在確定性系統(tǒng)中本身固有的一種特性?；煦绗F(xiàn)象揭示了自然界及人類社會(huì)中普遍存在的統(tǒng)一性問(wèn)題，即復(fù)雜性與有序和無(wú)序、確定性和隨機(jī)性彼此間的統(tǒng)一，加深了人們對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)?！盎煦纭笔墙浅Ｒ俗⒛康臒狳c(diǎn)研究問(wèn)題，它掀起了繼相對(duì)論和量子力學(xué)以來(lái)基礎(chǔ)科學(xué)的第三次革命。在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問(wèn)題中，混沌無(wú)處不在，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象背后可能隱藏的簡(jiǎn)單規(guī)律[1-2]。

混沌同步原理是PECORA和CARROLL在1990年提出的，在非線性系統(tǒng)研究中，混沌系統(tǒng)同步控制已成為學(xué)者們研究的熱門領(lǐng)域[3]。混沌同步的研究受到了包括通訊、信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域中大量研究人員的關(guān)注[4-6]，包括線性反饋[3]和自適應(yīng)[4]等方法實(shí)現(xiàn)同步[5]和反同步[6]等控制，具有很大的應(yīng)用潛力和發(fā)展前景[7-9]。所謂混沌系統(tǒng)同步控制，是指一個(gè)混沌動(dòng)力學(xué)軌道收斂于另一個(gè)混沌動(dòng)力學(xué)軌道，以致兩個(gè)系統(tǒng)始終保持步調(diào)的一致[10-11]。近年來(lái)，學(xué)者們提出了很多有關(guān)混沌同步的方法[12-13]應(yīng)用到同步控制的設(shè)計(jì)過(guò)程中，如反推控制、延時(shí)反饋控制、基于觀測(cè)器控制和滑?？刂频?。

滑?？刂颇軌蚩朔到y(tǒng)的不確定性，對(duì)干擾和未建模動(dòng)態(tài)具有很強(qiáng)的魯棒性，尤其是對(duì)非線性系統(tǒng)的控制具有良好的控制效果[14-16]。U模型為傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)通用的模型結(jié)構(gòu)，相對(duì)于其他方法的優(yōu)點(diǎn):U模型可以采用時(shí)變參數(shù)多項(xiàng)式的方式表示一大類平滑非線性系統(tǒng)，而且U模型的形式不會(huì)使對(duì)象的非線性特性有任何損失，可以優(yōu)化非線性系統(tǒng)的控制器部分的設(shè)計(jì)；U模型可以將非線性動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)換為一類僅有偽輸入的參數(shù)時(shí)變非線性多項(xiàng)式模型，它的提出將為非線性對(duì)象控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供一個(gè)良好的發(fā)展方向；U模型可以把繁瑣的模型轉(zhuǎn)換到一種簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)模型[17-18]。

Super-Twisting算法[19-20]是一種高階滑?？刂品椒ǎ梢越鉀Q有限時(shí)間的同步控制問(wèn)題，特別是通過(guò)設(shè)計(jì)嚴(yán)格的Lyapunov泛函[21]給出有限時(shí)間收斂性。這里借助U模型控制方法，將系統(tǒng)的控制輸出設(shè)計(jì)為虛擬控制的控制輸入，解決非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題，通過(guò)Super-Twisting滑?？刂频挠邢迺r(shí)間收斂特性，設(shè)計(jì)有限時(shí)間滑模同步控制器。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

典型的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)，可以通過(guò)下面的系統(tǒng)進(jìn)行描述：

(1)

式中：x1，x2和x3是混沌系統(tǒng)狀態(tài)變量。系統(tǒng)參數(shù)α∈[0,1]，當(dāng)0≤α<0.8時(shí)，式(1)稱為L(zhǎng)orenz混沌系統(tǒng)；當(dāng)α=0.8時(shí)，式(1)稱為L(zhǎng)ü混沌系統(tǒng)；當(dāng)0.8<α≤1時(shí)，式(1)稱為Chen混沌系統(tǒng)。

帶有不確定外界擾動(dòng)的混沌系統(tǒng)可以描述為

(2)

式中：Δ1，Δ2和Δ3是外界擾動(dòng)。

用于同步的子混沌系統(tǒng)描述為

(3)

式中：y1,y2,y3表示子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)；ui指的是子系統(tǒng)的控制輸入。

2 基于Super-Twisting算法的滑模同步控制

Super-Twisting算法[21]是一種二階滑?？刂品椒?，系統(tǒng)表示為

(4)

(5)

選取Lyapunov泛函為

V=ζTPζ，

(6)

于是就有

(7)

滿足Lyapunov等式

ATP+PA=-Q。

(8)

考慮沒(méi)有外界擾動(dòng)的系統(tǒng)，ρ1=ρ2=0和控制增益k1,k2，于是就有如下的條件等價(jià)：

1)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0是有限時(shí)間穩(wěn)定的；

2)矩陣A是Hurwitz的，也就是所有的特征值的實(shí)部都在左半平面；

3)控制增益是正數(shù)，即k1>0,k2>0；

4)對(duì)于任意正定對(duì)稱的矩陣Q=QT>0，對(duì)于Lyapunov等式(8)存在正定對(duì)稱解P=PT>0。對(duì)于函數(shù)V(x)，解的軌跡在t=0有x(0)=x0，會(huì)在有限時(shí)間T(x0)內(nèi)達(dá)到原點(diǎn)，并且有如下關(guān)系成立：

關(guān)于收斂性的研究表明系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂的，并且具有很好的魯棒性。

定理1 針對(duì)主混沌系統(tǒng)(1)，子混沌系統(tǒng)(3)，對(duì)于任意的常數(shù)ki>0,li>0,i=1,2,3，設(shè)計(jì)如下的Super-Twisting滑?？刂破鳎?/p>

(9)

其中，自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

(10)

那么主混沌系統(tǒng)(1)，子混沌系統(tǒng)(3)可以在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步。

證明 為設(shè)計(jì)控制器以實(shí)現(xiàn)主混沌系統(tǒng)和子混沌系統(tǒng)的同步，首先構(gòu)造誤差狀態(tài)：

ei=yi-xi,i=1,2,3,

(11)

針對(duì)主混沌系統(tǒng)(1)，子混沌系統(tǒng)(3)可以得到：

(12)

根據(jù)U模型控制方法將控制器(9)帶入可得誤差系統(tǒng)見(jiàn)式(13)：

(13)

對(duì)于誤差系統(tǒng)(13)，根據(jù)Super-Twisting滑模控制方法可以得到系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂，所以主混沌系統(tǒng)和子混沌系統(tǒng)能夠達(dá)到有限時(shí)間同步。

同步控制算法具有很強(qiáng)的魯棒性，如果針對(duì)帶有不確定外界擾動(dòng)的混沌系統(tǒng)(2)進(jìn)行同步控制，同樣采用定理1中的同步控制器，誤差系統(tǒng)表示為

(14)

3 數(shù)值仿真

為說(shuō)明同步控制的性能，這里對(duì)同步控制的算法給出相應(yīng)的仿真實(shí)驗(yàn)。

算例1 考慮如下混沌系統(tǒng)，主系統(tǒng)為

子系統(tǒng)為

選取定理1中設(shè)計(jì)的控制器，帶入控制器之后可以得到如下結(jié)果。

通過(guò)數(shù)值仿真，選取初始條件為

(x1(0)x2(0)x3(0))T=(-5 1 5)T，

(y1(0)y2(0)y3(0))T=(0 0 0)T，

(v1(0)v2(0)v3(0))T=(1 1 1)T，

控制增益l1=1，l2=1,l3=5,

(15)

根據(jù)控制增益可以得到矩陣， 于是可以得到

λ(P)=(1.109 8 2.075 6),λ(Q)=(0.334 3 1.237 8),

于是就有T=79.813 2，有限時(shí)間和初始條件有關(guān)，同時(shí)由于對(duì)于LMI求解過(guò)程中得到的矩陣P,Q只是滿足條件的一組，所以給出的收斂時(shí)間只是說(shuō)明在有限時(shí)間內(nèi)收斂，很難得出系統(tǒng)的收斂時(shí)間。圖1描述的是Lorenz混沌系統(tǒng)的混沌特性；圖2描述的是Lorenz主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x1和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y1；圖3描述的是Lorenz主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x2和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y2；圖4描述的是Lorenz主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x3和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y3；圖5給出同步誤差曲線。通過(guò)仿真曲線可以看出，系統(tǒng)中增加控制器作用之后，子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)是y1,y2,y3已經(jīng)分別同步到主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2,x3中。

圖1 Lorenz系統(tǒng)的混沌特性Fig.1 Chaotic attractor by Lorenz system

圖2 Lorenz系統(tǒng)x1的仿真Fig.2 State trajectories of Lorenz system x1

圖3 Lorenz系統(tǒng)x2的仿真Fig.3 State trajectories of Lorenz system x2

圖4 Lorenz系統(tǒng)x3的仿真Fig.4 State trajectories of Lorenz system x3

圖5 同步誤差曲線Fig.5 Error trajectories of synchronization

算例2 考慮Chen混沌系統(tǒng)同步控制性能，選取定理中設(shè)計(jì)的控制器，帶入控制器之后可以得到。

通過(guò)數(shù)值仿真，選取初始條件為

(x1(0)x2(0)x3(0))T=(-5 1 5)T，

(y1(0)y2(0)y3(0))T=(0 0 0)T，

(v1(0)v2(0)v3(0))T=(1 1 1)T，

控制增益l1=1,l2=1,l3=5

圖6描述的是Chen混沌系統(tǒng)的混沌特性；圖7描述的是Chen主混沌系統(tǒng)x1的狀態(tài)和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y1；圖8描述的是Chen主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x2和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y2；圖9描述的是Chen主混沌系統(tǒng)的狀態(tài)x3和子混沌系統(tǒng)的狀態(tài)y3；圖10給出了同步誤差曲線。

圖6 Chen系統(tǒng)的混沌特性Fig.6 Chaotic attractor by Chen system

圖7 Chen混沌系統(tǒng)x1的仿真Fig.7 State trajectories of Chen system x1

圖8 Chen混沌系統(tǒng)x2的仿真Fig.8 State trajectories of Chen system x2

圖9 Chen混沌系統(tǒng)x3的仿真Fig.9 State trajectories of Chen system x3

圖10 同步誤差曲線Fig.10 Error trajectories of synchronization

4 結(jié) 論

基于U模型的控制過(guò)程，研究混沌系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題，提出了一種Super Twisting混沌同步控制方法，對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行有限時(shí)間同步控制，并計(jì)算出收斂時(shí)間。針對(duì)Lorenz 系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果證明了所給方法的有效性。

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Study on Super-Twisting synchronization control of chaotic system based on U model

ZHANG Jianhua1,2, LI Yang2,3, WU Xueli1,2, ZHAO Min1, ZHUANG Shenyang4

(1.School of Electrical Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；2.Hebei Provincial Research Center for Technologies in Process Engineering Automation, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；3.School of Information Science and Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China；4.College of Computer and Control Engineering, Qiqihar University, Qiqihar, Heilongjiang 161006, China)

A U model based Super-Twisting synchronization control method for chaotic systems is proposed. The chaos control of chaotic systems is prescribed, then, based on the current research status of chaotic systems and some useful research results in nonlinear system design, some new methods for chaos control and synchronization are provided, and the controller is designed to achieve the finite time chaos synchronization. The numerical simulations are carried out for Lorenz system and Chen system, and the result proves the effectiveness of the method.

stability theorem; chaotic system; synchronization; U model; Super-Twisting algorithm; finite time

1008-1542(2016)03-0268-07

10.7535/hbkd.2016yx03009

2016-02-29；

2016-03-31；責(zé)任編輯：李 穆

河北省自然科學(xué)基金(F2015208128)；河北省教育廳基金(QN20140157, BJ2016020)

張建華(1980—)，男，吉林延吉人，講師，博士，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂?、航跡優(yōu)化方面的研究。

E-mail:zhangjianhua@hebust.edu.cn

TP273

A

張建華，李 楊，吳學(xué)禮，等.基于U模型的混沌系統(tǒng)Super-Twisting同步控制研究[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2016,37(3):268-274.

ZHANG Jianhua, LI Yang, WU Xueli,et al.Study on Super-Twisting synchronization control of chaotic system based on U model[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(3):268-274.