☉江蘇省無錫市濱湖教研中心　王華民

☉江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)蔡旭林何英

對(duì)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

☉江蘇省無錫市濱湖教研中心王華民

☉江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)蔡旭林何英

近年來，有關(guān)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的問題受到教育界的普遍關(guān)注.高中課標(biāo)的修訂明確提出了培養(yǎng)核心素養(yǎng)的問題.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).“數(shù)學(xué)抽象”位居六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象.本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剶?shù)學(xué)抽象的含義及如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.

一、數(shù)學(xué)抽象的含義

所謂抽象，是指在認(rèn)識(shí)過程中，舍棄事物個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽取出本質(zhì)屬性的過程和方法.數(shù)學(xué)抽象是指通過觀察、分析，撇開事物表象的、外部的、偶然的東西，抽出事物本質(zhì)的、內(nèi)在的、必然的東西，從空間形式和數(shù)量關(guān)系上揭示客觀對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學(xué)研究方法.著名數(shù)學(xué)家歐拉在解決“哥尼斯堡七橋”問題時(shí)，撇開島區(qū)、陸地的其他屬性，將它們抽象成四個(gè)點(diǎn)，把七座橋抽象成七條線，于是，一次無重復(fù)地走過七座橋的問題轉(zhuǎn)化為不重復(fù)地一筆畫成圖形的問題.歐拉這一成功的實(shí)踐采用的就是數(shù)學(xué)抽象的方法.

關(guān)于數(shù)學(xué)，辭海中定義為“數(shù)學(xué)是一門研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，史寧中教授定義為“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)”，認(rèn)為不管是現(xiàn)實(shí)世界中，還是思維想象中的“數(shù)量關(guān)系和空間形式”都屬于數(shù)學(xué)研究的范疇.這表明數(shù)學(xué)抽象的基本特征是數(shù)量化和形式化.

二、在課堂教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的探索

數(shù)學(xué)抽象具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1.形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則；2.形成數(shù)學(xué)命題與模型；3.形成數(shù)學(xué)方法與思想等.以下通過幾個(gè)優(yōu)秀的教學(xué)案例予以詮釋.

（一）在概念教學(xué)中，通過精心設(shè)計(jì)素材，引學(xué)生抽象數(shù)學(xué)概念

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的基本形式.概念的獲得有兩種基本方式——概念的形成與概念的同化.概念的形成是指從一些具體例證出發(fā)，抽取一類事物的共同屬性，從而形成概念；概念同化是指用定義的方式直接揭示概念，學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)理解新概念.可見，概念的形成過程就是對(duì)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、概括的過程，譬如，導(dǎo)數(shù)的概念，就是從物體直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、曲線的斜率以及電流的強(qiáng)度等概念進(jìn)行高度抽象的結(jié)果；譬如“四元數(shù)”，是借助符號(hào)與類比得到更高層次的抽象.“對(duì)數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心概念，也是教學(xué)的難點(diǎn).

案例1高中數(shù)學(xué)必修1“對(duì)數(shù)”概念教學(xué)

在江蘇省高中數(shù)學(xué)評(píng)優(yōu)課上，我們把兩位優(yōu)秀選手的教學(xué)片段整合如下：

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，自然引出對(duì)數(shù)概念

情境1以古代名句引入

上課伊始，“大家知道古代的思想家莊子嗎？”教師乘勢(shì)介紹“老莊哲學(xué)”.（略）

接著，投影：莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”

問題1：取1次，還剩余多長(zhǎng)？（剩余0.5尺）

情境2從逆運(yùn)算的角度引入

課本第68頁(yè)例4某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%.

問題3：寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.

學(xué)生不難列式：經(jīng)過x年，該物質(zhì)的剩留量為y=0.84x.

問題4：只要知道時(shí)間x就可以計(jì)算剩留量y，反過來，如果我們知道了該物質(zhì)的剩留量y，怎么求出所經(jīng)過的時(shí)間x呢？比如經(jīng)過多少年，剩留量為0.5？

即已知0.84x=0.5，求x.

引導(dǎo)學(xué)生得出：這是一個(gè)“已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)”的問題，這是一種新的運(yùn)算，本節(jié)課將要研究它.

問題6：0.84x=0.5中的x是否存在？是否唯一？能否借助之前所學(xué)的指數(shù)函數(shù)內(nèi)容加以說明？

引導(dǎo)學(xué)生得出0.84x=0.5中的x存在且唯一.

（2）從情境中抽象、建構(gòu)對(duì)數(shù)概念

①定義“對(duì)數(shù)”：一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次冪等于N，即ab=N，那么就稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b，其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

②對(duì)定義的說明：教師讓學(xué)生明確對(duì)數(shù)概念的本質(zhì)以及如何書寫等.

③簡(jiǎn)單運(yùn)用（略）.

評(píng)注：對(duì)數(shù)概念比較抽象構(gòu)成教學(xué)的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的主要方法是化抽象為具體，適當(dāng)增加感性材料作為鋪墊.情境①是通過學(xué)生熟悉的古代名句引入，以史激趣、以史化人.情境②是從數(shù)學(xué)體系的需要，以教材中指數(shù)函數(shù)問題為背景，依次提出四個(gè)問題，問題3、4是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)逆運(yùn)算的角度引出對(duì)數(shù)概念，較為自然；經(jīng)過三次抽象，第一次是從兩個(gè)實(shí)際問題情境舍棄具體的屬性，抽象出數(shù)學(xué)問題；第二次抽象是通過問題5讓學(xué)生觀察、分析兩類實(shí)際問題、兩個(gè)數(shù)學(xué)式子，從中抽象出概念的共同屬性，得出“已知底數(shù)和冪的值求指數(shù)”的新問題，這樣，從解決一類問題的需要引進(jìn)一種新的運(yùn)算，揭示了學(xué)習(xí)“對(duì)數(shù)”的必要性；之后通過分析問題6，發(fā)現(xiàn)了“求指數(shù)x的運(yùn)算不僅存在而且唯一”，可見，進(jìn)行“對(duì)數(shù)”的研究是有價(jià)值的，由此給“對(duì)數(shù)”下定義就水到渠成，下定義可以視為第三次抽象，是把對(duì)數(shù)的本質(zhì)屬性用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述，明確稱呼、記法，使對(duì)數(shù)概念更明確、且容易推廣.由此可見，對(duì)數(shù)概念的教學(xué)是從概念的形成角度，抽象出概念的本質(zhì)屬性，然后從概念同化的角度給對(duì)數(shù)下定義，這是兩種概念獲得方式的結(jié)合，也是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果.提供抽象的事例一般需要3個(gè)，否則抽象的結(jié)論不能令人信服.

（二）在應(yīng)用題教學(xué)中，通過歸納提煉，教學(xué)生抽象數(shù)學(xué)模型

“數(shù)學(xué)建模”是新課標(biāo)提出的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，應(yīng)用題是建模的主要載體，也是中等及中等以下學(xué)生的“攔路虎”.而建立模型的過程，就是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程.教師要讓學(xué)生親歷探索、建模的過程，教學(xué)生抽象數(shù)學(xué)模型和問題的本質(zhì).

案例2高一必修4“三角函數(shù)的應(yīng)用”的教學(xué)片段

無錫市一次學(xué)科帶頭人評(píng)選的課題是“三角函數(shù)的應(yīng)用”，教材上有兩道例題（見下例1、例2），以下是其中一位優(yōu)秀教師的教學(xué)片段.

例1點(diǎn)O是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的平衡位置，取向右方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到平衡位置最遠(yuǎn)處開始記時(shí).

①求物體對(duì)平衡位置的位移x（cm）和時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系？

②求物體在t=5s時(shí)位置？

說明：教材中例1雖容易理解，但教材直接給出了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的函數(shù)關(guān)系，學(xué)生心存疑惑，因此，教師設(shè)置一道簡(jiǎn)單探索題復(fù)習(xí)擬合法建模，暴露振動(dòng)方程的形成過程，而把例1作為練習(xí)，如此處理體現(xiàn)了用教材教的理念.

課堂操作：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境：動(dòng)畫播放簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖片，出示右圖.

問題：點(diǎn)O是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的平衡位置，取向右方向?yàn)槲矬w位移的正方向，下表是物體對(duì)平衡位置位移x（cm）和時(shí)間t（s）的關(guān)系表：

t（s）0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x（cm）1.5 3 1.5 -1.5 -3 -1.5 1.5

試求出物體對(duì)平衡位置的位移x（cm）和時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系.

（2）引導(dǎo)學(xué)生探究

師：觀察表格中數(shù)據(jù)，位移變化具有怎樣的規(guī)律？部分學(xué)生感覺是周期變化，但不夠自信.師問：有什么辦法解決這個(gè)問題呢？學(xué)生覺得可以通過畫圖、觀察.

教師給每位學(xué)生下發(fā)畫圖紙，學(xué)生在紙上描點(diǎn)、畫散點(diǎn)圖.部分學(xué)生覺得可以用正弦型函數(shù)x=Asin（ωt+φ）來擬合這些數(shù)據(jù)，有的學(xué)生覺得也可以用余弦型函數(shù).教師為方便起見，統(tǒng)一用正弦型函數(shù).之后，學(xué)生用待定系數(shù)法求出x=3sin

（3）學(xué)生練習(xí)（解決教材例1）

（4）回顧小結(jié)

教師提出下列問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象、回味.

①通過上述解答，請(qǐng)你說出一個(gè)物體的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

②從今天研究函數(shù)的方法，結(jié)合初中研究函數(shù)的方法（一次、二次、反比例函數(shù)），你覺得研究函數(shù)的一般方法是什么？

③請(qǐng)大家歸納提煉解決三角應(yīng)用問題的基本思路，重點(diǎn)是什么？從而推廣到解決一般應(yīng)用題.

請(qǐng)3～4位學(xué)生回答，整理如下：

①物體的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以用正弦型函數(shù)，也可用余弦型函數(shù)，其本質(zhì)是周期函數(shù).

②通過列表、描點(diǎn)、畫圖獲得性質(zhì)，即擬合法是研究函數(shù)的一般方法.

③解決三角應(yīng)用問題的基本思路（見流程圖），重點(diǎn)是建模，難點(diǎn)是聯(lián)想到畫圖.

解決一般應(yīng)用題的基本思路也類似，

通過審題、尋找數(shù)量關(guān)系，建立模型.再通過解模，從而回答原問題.

例2一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)算時(shí)間.

①將點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；

②點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：略）

說明：本題是三角函數(shù)在圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)用，信息多，綜合性強(qiáng)，高一學(xué)生顯得困難，需要突破建模之難點(diǎn).

課堂操作：

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境

情境：投影明代科學(xué)家宋應(yīng)星《天工開物》中的水車和三峽水電站的大型機(jī)組的圖片（略）.

問題：從上述兩幅圖片看，水輪在生活中起了重要作用，水輪的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是什么？用什么函數(shù)描述這種運(yùn)動(dòng)？出示例2（把半徑改為4m）.

（2）通過師生對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生探究

解答要點(diǎn)如下：①明確本題目標(biāo)z（m）（表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)）→z（m）=yP+2→t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為

②略.

（3）教師通過下列問題引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象

①變式：若半徑為r，角速度為ω，起點(diǎn)P0分別在第

一、第二、第三象限時(shí)，點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)怎樣？

②例2這種圓周運(yùn)動(dòng)高度z與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

③結(jié)合例1，你覺得還有哪些學(xué)習(xí)、生活中的運(yùn)動(dòng)問題也滿足這個(gè)規(guī)律？

請(qǐng)3-4位學(xué)生回答，整理如下：

①z表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)為：z=rsin（ωt+φ）-rsinφ；

②z滿足解析式z=Asin（ωt+φ）+B，本質(zhì)是周期函數(shù)；

③除了剛才的彈簧振子、水輪，還有鐘擺、摩天輪等含周期現(xiàn)象的問題，都可以歸結(jié)為這一公式.

評(píng)注：對(duì)教材中的例1、例2的處理顯示了教師的智慧，其一，從生活中的問題（簡(jiǎn)諧振動(dòng)、水輪）出發(fā)精心設(shè)計(jì)問題情境，有益于促進(jìn)學(xué)生理解問題；其二，圍繞問題的解答，在教師引導(dǎo)下，學(xué)生都親歷了數(shù)學(xué)探究；其三，解答后讓學(xué)生回顧反思，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，例1中三個(gè)問題：①是抽象出物體簡(jiǎn)諧振動(dòng)的數(shù)學(xué)本質(zhì)；②是抽象出研究函數(shù)的一般方法；③是讓學(xué)生提煉解決三角應(yīng)用問題的基本思路，乃至一般應(yīng)用問題的基本思路.例2中的三個(gè)問題：①是把例2這一具體問題進(jìn)行變式推廣，歸結(jié)為一個(gè)表達(dá)式；②抽象出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一類問題的本質(zhì)——三角函數(shù)的周期性（三角函數(shù)的最重要的性質(zhì)之一）；③是通過舉例，讓學(xué)生說出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的外延.這是在教學(xué)生抽象數(shù)學(xué)模型，抽象問題的實(shí)質(zhì).

（三）在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，實(shí)施有效變式，讓學(xué)生抽象問題的本質(zhì)

復(fù)習(xí)課是高中數(shù)學(xué)的主要課型之一，其重點(diǎn)是問題的選編與精講，這里主要談如何通過變式精講，教學(xué)生歸納數(shù)學(xué)方法、抽象問題的本質(zhì).“變式”是指通過變條件、變結(jié)論等，對(duì)命題進(jìn)行不同角度、不同層次的變式，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法體系.

案例3在高三“三角”復(fù)習(xí)教學(xué)中，一位教師出示問題：

在△ABC中，若三角A，B，C所對(duì)的三邊依次為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，求角B的取值范圍.

解答后，教師可進(jìn)行下列變式：

變式1：若a，b，c成等差數(shù)列，則∠B的取值范圍____________.

變式2：若a，b，c成等差數(shù)列，且sinB+cosB=k，則k的取值范圍______.

讓學(xué)生進(jìn)行依次回答下列問題，進(jìn)行抽象、應(yīng)用：

（1）從原題及變式題中抽象一下，這是一類什么問題？

（2）請(qǐng)說出解決這類問題的方法及流程，該問題的本質(zhì)是什么？

（3）請(qǐng)你編一道問題，讓同伴求解.

通過2～3位學(xué)生回答，歸納起來，有以下幾點(diǎn)：

（1）這是一類求三角形中某一個(gè)角（或余弦值）的取值范圍（或最值）問題.

（2）解題方法及流程：轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系→用余弦定理表示角的余弦→變形、結(jié)合基本不等式→求余弦值的范圍→根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，求角的范圍或最值.

（3）學(xué)生自編題（選取其中兩題）：

題2：若ma+nb=kc，|k|＞|m|且|k|＞|n|，則cosC的最小值為____________.

評(píng)注：在學(xué)生解答一道問題后，教師通過三個(gè)變式題，變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性，這種從特殊到一般，推廣引申的過程就是一種弱抽象的過程.通過對(duì)該題組的解答及抽象思考，學(xué)生不僅掌握了解決這一類問題的方法，獲得整體認(rèn)識(shí)，而且透過現(xiàn)象弄清了這類問題的本質(zhì)，喜悅之情溢于言表.當(dāng)然，變式需要依據(jù)學(xué)情與內(nèi)容，適度進(jìn)行.之后，讓學(xué)生嘗試自編習(xí)題，是為加深學(xué)生對(duì)一類問題本質(zhì)的理解.

三、數(shù)學(xué)抽象的意義及操作要點(diǎn)

綜上，數(shù)學(xué)抽象，可以把表面復(fù)雜的東西變得簡(jiǎn)單，把表面混沌的東西變得清晰，把表面無關(guān)的東西變得統(tǒng)一.數(shù)學(xué)抽象的意義，歸納一下有四點(diǎn)：1.數(shù)學(xué)研究對(duì)象通過符號(hào)形式進(jìn)行推理和運(yùn)算，給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來極大的方便，它是數(shù)學(xué)發(fā)展和人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要方法；2.通過抽象，讓學(xué)生親身經(jīng)歷新知建立的觀察、分析、抽象、概括的全過程，有益于他們學(xué)習(xí)科學(xué)研究的一般方法，有益于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知力和抽象能力；3.引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象抽象問題的本質(zhì)，實(shí)際是教學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考，這對(duì)于改變某些地區(qū)學(xué)生依賴教師、被動(dòng)學(xué)習(xí)有積極的意義；4.數(shù)學(xué)抽象也是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法.正是數(shù)學(xué)的高度抽象性，使得數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，可以提煉數(shù)學(xué)概念，概括數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題時(shí)有意識(shí)地區(qū)分問題的主次，抓住事物的本質(zhì).

操作上，其一，不論是概念教學(xué)還是應(yīng)用題、習(xí)題教學(xué)，要預(yù)留一點(diǎn)時(shí)間，把抽象的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生；其二，在新授課教學(xué)中，教師要精心創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、抽象，提煉數(shù)學(xué)概念，歸納數(shù)學(xué)結(jié)論、抽象數(shù)學(xué)模型；在復(fù)習(xí)課或習(xí)題課教學(xué)中，教師要進(jìn)行有效的變式訓(xùn)練，使學(xué)生更好地把握問題的本質(zhì)和規(guī)律；其三，要遵循循序漸進(jìn)的原則，起點(diǎn)低，由易到難，發(fā)現(xiàn)并肯定學(xué)生的閃光處，不斷給予學(xué)生成功的機(jī)會(huì).培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，從上述案例不難發(fā)現(xiàn)，在課堂上有意識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，潤(rùn)物細(xì)無聲，只要堅(jiān)持下去，就能積小勝為大勝.

1.王華民，侯斌.從一堂概念課的不同導(dǎo)入談數(shù)學(xué)史融入教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（8）.

2.王華民，儲(chǔ)六春.從對(duì)一堂“建模課”的分析，談教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（3）.Z