☉江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué)　姚梅華

注重?cái)?shù)學(xué)變式教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)——以高三復(fù)習(xí)課《正弦定理與余弦定理》為例

☉江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué)姚梅華

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，如何真正做到精講精練，提高復(fù)習(xí)效率，是高三數(shù)學(xué)老師所面對(duì)的一個(gè)重要課題.從典型的基礎(chǔ)問題，課本題入手，通過一題多解、觸類旁通，或一題多變、舉一反三，進(jìn)行有效的變式教學(xué)既是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，也是新課程背景下引發(fā)學(xué)生自主、合作、探究的重要途徑.下面以一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課《正弦定理與余弦定理》為例，通過對(duì)高考試題的循本索源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、變中生成的教學(xué)實(shí)況，對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課作出思考.

一、課堂教學(xué)片段與賞析

（一）回歸課本，喚醒知識(shí)

問題1（必修5P21第7題）把一根長(zhǎng)為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形ABC的兩邊AB和BC，且ABC=120°，如何鋸斷木條，才能使△ABC的周長(zhǎng)最小？

教師（展示學(xué)生預(yù)習(xí)作業(yè)的過程）：請(qǐng)同學(xué)講解解題思路.

生1：要使△ABC的周長(zhǎng)最小，只要AC邊最短，設(shè)AB邊為x，則BC邊為30-x，由余弦定理可以用x表示AC=，當(dāng)x=15時(shí)，AC最小，△ABC的周長(zhǎng)最小.

教師：同學(xué)的解法給出了三角形中的最值問題的常用解題方法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊的函數(shù)關(guān)系，在解決此類應(yīng)用問題時(shí)還需注意什么？

生2：函數(shù)要有定義域，應(yīng)用題要有單位名稱并作答.

教師：同學(xué)1的解法實(shí)際上給出了求三角形中的最值問題的具體方法.那么下面的問題你能解嗎？

問題2（必修5P19例4）如圖1，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊做等邊三角形ABC，問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？

圖1

教師展示學(xué)生解答：

生3：以邊為自變量，設(shè)AB=x，則由余弦定理得

教師：本題解答的困難在于函數(shù)最值，但是導(dǎo)數(shù)法應(yīng)該能解答本題，過程有點(diǎn)煩瑣.

生4：以角為自變量，設(shè)∠AOB=α，0<α<π.由余弦定理得

教師：兩位同學(xué)分別選擇了以邊和角為自變量，但是在解答過程中的難度完全不同，所以在解答三角形問題時(shí)，要合理地選擇邊或角為參數(shù).

賞析：從問題1和問題2這兩個(gè)最基本的課本問題出發(fā)，通過學(xué)生預(yù)習(xí)解答，展示了解答三角形問題的常規(guī)視點(diǎn)，幫助學(xué)生在解決問題中回顧知識(shí)和方法.從課本題出發(fā)，讓學(xué)生回歸課本，但是回歸課本不是簡(jiǎn)單的對(duì)課本知識(shí)進(jìn)行歸納和梳理，而是要在此基礎(chǔ)上要有質(zhì)的飛躍，通過課本題讓學(xué)生把握高考題與課本題之間的聯(lián)系.

（二）推陳出新，變中出彩

生5：已知三角形中的一對(duì)邊和角，可以用余弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中的邊的關(guān)系，即a2+c2-ac=4，利用基本不等式求得ac的最大值即可得的最大值.

教師：同學(xué)5用了余弦定理得到了三角形中邊的關(guān)系，利用基本不等式求解最值，解題過程中要注意的是基本不等式中的等號(hào)成立的條件.

生6：已知三角形中的一對(duì)邊和角，可以用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角形中的角的關(guān)系，即sinC，可得，結(jié)合定義域，由三角函數(shù)的最值，可得面積的取值范圍.

教師：同學(xué)6給出了用函數(shù)模型來求解，建立了關(guān)于角的函數(shù)模型，而且注意到了求解函數(shù)最值時(shí)的函數(shù)定義域.如果本題作為一道填空題來求解，如何很快得到答案呢？

教師提示：AC確定的時(shí)候，B為動(dòng)點(diǎn)，它的軌跡是以AC為弦的圓的優(yōu)弧，從而當(dāng)B點(diǎn)離開AC最遠(yuǎn)的時(shí)候，即三角形為等腰三角形的時(shí)候面積最大.從本題的解答可以得出，三角形問題的求解還應(yīng)該注意圖形特征，用數(shù)形結(jié)合可以快速解決有些問題.

問題4（教材24頁第7題）如圖2，已知∠A是定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長(zhǎng)，設(shè)AQ=a，AP= b，當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最大？

教師：本題是課本習(xí)題，我們剛才研究的問題3就是這個(gè)課本題的特殊情形.通過剛才的討論，我們可以知道：①當(dāng)a=b時(shí)，△APQ的面積有最大值；進(jìn)一步研究，我們還能發(fā)現(xiàn)；②當(dāng)a=b時(shí)，△APQ的周長(zhǎng)有最大值.

賞析：運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.創(chuàng)新，即通過舊的知識(shí)，新的組合，得出新的結(jié)果的過程.“新”可以是與別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同.在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面，多角度，多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討，多爭(zhēng)論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣.

圖2

（三）互動(dòng)探究，拓展空間

老師：針對(duì)問題4中，我們不妨進(jìn)一步思考……

探究1如圖3，已知∠POQ= θ為定值，，過定點(diǎn)M引線段AB，分別交OP、OQ于A，B.求證：

（1）當(dāng)MA=MB，即M是線段AB中點(diǎn)時(shí)，△OAB的面積最??；

（2）△OAB是以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)，截線段的乘積MA·MB最小.

學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的“問題”意識(shí)，學(xué)生有疑問，才會(huì)去思考，才能有聯(lián)想、有思考、有探究、有創(chuàng)新

圖3

探究2海岸線MAN，∠A=2θ，現(xiàn)用長(zhǎng)為l的攔網(wǎng)圍成一養(yǎng)殖場(chǎng)，其中B∈MA，C∈NA.

（1）若BC=l，求養(yǎng)殖場(chǎng)面積最大值；

（2）若B、C為定點(diǎn)，BC

（3）若（2）中B、C可選擇，求四邊形養(yǎng)殖場(chǎng)ACDB面積的最大值.

賞析：課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，探究問題的發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)識(shí)從感性上升到了理性的層面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和思維的深刻性、創(chuàng)造性.并能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情.

圖4

二、對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課如何用好教材，回歸課本的幾點(diǎn)思考

學(xué)習(xí)問題從本質(zhì)上說就是一個(gè)一個(gè)問題解決的過程，學(xué)生在問題解決過程中，不僅能應(yīng)用和獲取知識(shí)與技能，經(jīng)歷問題解決的過程，而且還能了解問題解決的科學(xué)方法，逐漸形成正確的態(tài)度和樹立正確的觀點(diǎn).在高三復(fù)習(xí)中，一個(gè)好的問題設(shè)計(jì)不僅僅是創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的情景，更主要是為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的開展找到一個(gè)好的載體，因而合理挖掘教材資源，創(chuàng)設(shè)問題情景，每一位教師都應(yīng)該關(guān)注思考.

1.感受數(shù)學(xué)直覺，適時(shí)回歸課本

本節(jié)課教師把看似互不關(guān)聯(lián)的幾個(gè)問題，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想和方法把它們串在了一起，從不同的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和探索，處處讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)直覺，每一個(gè)發(fā)現(xiàn)總是想方設(shè)法盡量讓學(xué)生得出來，教師的作用這是引導(dǎo)，在關(guān)鍵處導(dǎo)一導(dǎo)、推一推，打造出一幅“涓涓細(xì)流潤(rùn)芬芳”的美好圖景，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的過程中自然的解決了問題，問題1的研究引發(fā)了如何求三角形中的最值問題，通過問題1的研究喚醒了學(xué)生解決最值問題的常用方法；問題2的方法體現(xiàn)圖形問題的常用解題方法，讓學(xué)生體會(huì)邊參數(shù)和角參數(shù)的優(yōu)劣，數(shù)形結(jié)合的妙用，問題的選擇回到了課本的原點(diǎn)，但是思想方法又高于課本.這種高三復(fù)習(xí)課的處理方法體現(xiàn)了源于課本，又高于課本的教學(xué)策略.

2.突出學(xué)生主體，培養(yǎng)思維能力

如何使課堂始終處在一種研究性學(xué)習(xí)的氛圍之中，單靠一兩個(gè)提問是不夠的，需要教師站在高處，從一節(jié)課的整體統(tǒng)一謀劃，設(shè)計(jì)出一組系統(tǒng)的有計(jì)劃、有步驟的提問，這樣的提問要有一定的思維深度，才能激發(fā)學(xué)生探究的欲望，使課堂在探究性學(xué)習(xí)的氛圍之中從多方位培養(yǎng)學(xué)生的思維能力乃至創(chuàng)造能力.在教學(xué)中教師留給學(xué)生足夠的體驗(yàn)、實(shí)踐、認(rèn)識(shí)表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，讓他們?cè)趯?shí)踐中獲得體會(huì)，學(xué)到知識(shí)，讓學(xué)生在解題過程中親身經(jīng)歷和實(shí)踐體驗(yàn)，學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)在課堂里得到了有效的提升.

3.追求數(shù)學(xué)本真，滲透數(shù)學(xué)思想

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，不能單純的模仿與記憶，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)過程更是如此，教師在教學(xué)過程中處處滲透數(shù)學(xué)思想方法，追求數(shù)學(xué)的本真，以問題為背景，激發(fā)學(xué)生開展活動(dòng)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)、觀察、思考、歸納、抽象、概括、運(yùn)用，力求使學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出理性的判斷，鼓勵(lì)學(xué)生能夠更注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念、方法與語言去提出、分析和解決問題.通過引進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)思想的歷程，品嘗數(shù)學(xué)的味道，教給學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、意識(shí)、思想、方法去觀察、分析、解決問題所必要的思維策略，這對(duì)學(xué)生來說終身受用.

4.拓寬學(xué)生視野，彰顯數(shù)學(xué)美感

數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)際上是一個(gè)探索自然界潛藏奧秘的過程，這本身就是一個(gè)體驗(yàn)美的過程經(jīng)歷.讓身為數(shù)學(xué)教師的我們運(yùn)用數(shù)學(xué)美的魅力將我們的學(xué)生凝聚在我們的身旁，去感悟數(shù)學(xué)，去學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)文化，那么首先我們就得從課堂開始，對(duì)課堂教學(xué)精益求精，讓學(xué)生徜徉在充滿文化氣息的數(shù)學(xué)課堂里，深深地愛上數(shù)學(xué)，主動(dòng)地去學(xué)數(shù)學(xué).在宏觀上追求數(shù)學(xué)的理性之美、簡(jiǎn)約之美，在問題的解決過程中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱之美，方法之美.Z