潺潺流水在溯源——對(duì)一個(gè)幾何模型及其應(yīng)用的探索

2016-11-24 10:06:22河北晉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)苑建廣

中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年14期

關(guān)鍵詞：延長(zhǎng)線菱形中點(diǎn)

☉河北晉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)　苑建廣

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一、模型展示

在圖1中，有△DMB∽△BNE.延長(zhǎng)BM到A，使MA= MB；延長(zhǎng)BN到C，使NC=NB；取AC的中點(diǎn)P.連接PM、PN、PD、PE、DE.則有△DPE∽△DMB∽△BNE.

證明：由已知條件，易知：

圖1

所以△DMP∽△DBE.

類似地，可得△PNE∽△DBE.

則∠MDP=∠BDE，

∠PEN=∠DEB.

則∠PDE=∠MDB，

∠PED=∠NEB=∠MBD.

則△DPE∽△DMB∽△BNE.

當(dāng)圖形變化為其他情形時(shí)，只需對(duì)推證∠DBE=∠DMP的過(guò)程稍作調(diào)整即可.此處不再贅述.

以該模型為基礎(chǔ)，構(gòu)建的中考（模擬）題已經(jīng)枚不勝舉.為了體會(huì)模型與具體題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以借助幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件制作動(dòng)態(tài)圖形，使其中的點(diǎn)D可以控制△DMB的形狀，點(diǎn)A可以控制△DMB的大小與位置，點(diǎn)E可以控制△BNE的大小與位置.

二、模型應(yīng)用

例1（2015年黑龍江·齊齊哈爾卷）如圖1-1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無(wú)需寫證明過(guò)程）.

圖1-1

圖1-2

（1）如圖1-2，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N，其余條件不變時(shí)，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系.請(qǐng)寫出猜想，并給予證明.

圖1-3

（2）如圖1-3，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，其余條件不變時(shí)，探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系.請(qǐng)直接寫出猜想.

分析：調(diào)整模型中點(diǎn)D的位置，使∠DMB=90°，DM=MB；調(diào)整點(diǎn)E的位置，使A、B、C共線，再補(bǔ)充完善圖形，使四邊形BXAD和四邊形BYCE成為正方形，如圖1-4所示，此時(shí)的模型與圖1-2整體構(gòu)造無(wú)異，只是字母不同罷了.借助模型之處理思路：易知△DPE∽△DMB∽△BNE，而△DMB、△BNE均為等腰直角三角形.對(duì)于圖1-2，自然有△FMD是等腰直角三角形，即DM⊥FM且DM=FM.

調(diào)整模型中點(diǎn)D的位置，使∠DMB=90°，DM=MB；調(diào)整點(diǎn)E的位置，使∠ABC=45°，再補(bǔ)充完善圖形，使四邊形BXAD和四邊形BYCE成為正方形，如圖1-5所示，此時(shí)的模型與圖1-3整體構(gòu)造無(wú)異，只是字母不同罷了.借助模型之處理思路：易知△DPE∽△DMB∽△BNE，而△DMB、△BNE均為等腰直角三角形.對(duì)于圖1-3，自然有△FMD是等腰直角三角形，即DM⊥FM且DM=FM.

圖1-4

圖1-5

運(yùn)用此法解題，原題中的點(diǎn)N及與之相關(guān)的線段MN、EN是冗余條件.而對(duì)于其他思路，則可能并非多余.

例2（2015年江蘇·揚(yáng)州模擬卷）操作與證明：如圖2-1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF.取AF的中點(diǎn)M、EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN.

（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形.

猜想與發(fā)現(xiàn)：

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.

結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是_______；

結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是_______.

拓展與探究：

（3）如圖2-2，將圖2-1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則（2）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2-1

圖2-2

分析：（1）容易證明.我們直接面對(duì)（2）、（3），感受其與模型的內(nèi)在聯(lián)系.

調(diào)整模型中點(diǎn)D的位置，使∠DMB=90°，DM=MB；再調(diào)整點(diǎn)E到線段AB上，并補(bǔ)充完善圖形，使四邊形BXAD成為正方形，△CBY成為等腰直角三角形，如圖2-3所示，此時(shí)的模型與圖2-1整體構(gòu)造無(wú)異，只是字母不同罷了.借助模型之處理思路：易知△DPE∽△DMB∽△BNE，而△DMB、△BNE均為等腰直角三角形.對(duì)于圖2-1，自然有△DMN是等腰直角三角形，即DM⊥MN且DM=MN.

圖2-3

圖2-4

調(diào)整模型中點(diǎn)D的位置，使∠DMB=90°，DM=MB；再調(diào)整點(diǎn)E到線段AB的延長(zhǎng)線上，并補(bǔ)充完善圖形，使四邊形BXAD成為正方形，△CBY成為等腰直角三角形，如圖2-4所示，此時(shí)的模型與圖2-2整體構(gòu)造無(wú)異，只是字母不同罷了.借助模型之處理思路：易知△DPE∽△DMB∽△BNE，而△DMB、△BNE均為等腰直角三角形.對(duì)于圖2-2，自然有△DMN是等腰直角三角形，即DM⊥MN且DM=MN.

例3（2015年福建·晉江模擬卷）問(wèn)題：如圖3-1，將菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，點(diǎn)G在BC邊上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC.已知∠ABC=120°.

（1）直接寫出圖3-1中線段PG與PC的位置關(guān)系及∠PCG的大小.

（2）將圖3-1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E恰好落在CB的延長(zhǎng)線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖3-2）.你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立？寫出你的猜想并加以證明.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

圖3-4

例4（2015年遼寧·葫蘆島卷）在△ABC中，AB= AC，點(diǎn)F是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點(diǎn)A在BC的同側(cè)，連接BE，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接AG、DG.

（1）如圖4-1，當(dāng)∠BAC=∠DCF=90°時(shí)，直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖4-2，當(dāng)∠BAC=∠DCF=60°時(shí)，試探究AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)∠BAC=∠DCF=α?xí)r，直接寫出AG與DG的數(shù)量關(guān)系.

圖4-1

圖4-2

分析：（1）和（2）是（3）的特殊情形.我們直接面對(duì)（3），感受其與模型的內(nèi)在聯(lián)系.

圖4-3

圖4-4

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)教師要想提高教學(xué)實(shí)效，需手握兩把利劍——“善變”和“深挖”.

“善變”對(duì)應(yīng)變式教學(xué)，是中國(guó)數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)而有效的做法.從一個(gè)模型開(kāi)始，展開(kāi)萬(wàn)千變化，構(gòu)造出眾多似曾相識(shí)卻又面孔陌生的新題目，顯然是一種命題的藝術(shù).但“萬(wàn)變不離其宗”，由于我們?cè)谌粘＝忸}中，通過(guò)對(duì)比已經(jīng)做過(guò)的題目之間的聯(lián)系，“深挖”其本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的深層解構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了存在于其中的數(shù)學(xué)模型，所以在面對(duì)形形色色的與之相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，才有了思維的洞察力，能夠“透過(guò)表面現(xiàn)象看出本質(zhì)”，通過(guò)化歸和完善圖形，找到問(wèn)題的通用解法.

那么，該模型的本質(zhì)究竟是什么呢？如何在未來(lái)的解題中順利提取出該模型，從而化生為熟，運(yùn)用通解，順利解決此類問(wèn)題呢？

一方面，模型中的兩個(gè)已知相似三角形△DMB和△BNE的對(duì)應(yīng)關(guān)系為點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，有一個(gè)非對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)（B）是共用的，且在△DMB中沿周界D→M→B→D轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與在△BNE中沿周界B→N→E→B轉(zhuǎn)動(dòng)的方向是一致的，均為逆（或順）時(shí)針?lè)较?

另一方面，點(diǎn)P是把對(duì)應(yīng)邊BM和BN各延長(zhǎng)一倍分別至點(diǎn)A和C后所取的AC的中點(diǎn).

這時(shí)，點(diǎn)P與頂點(diǎn)D和E組成的三角形（△DPE）是與原來(lái)的兩個(gè)相似三角形（△DMB和△BNE）相似的，且在△DPE中沿周界D→P→E→D轉(zhuǎn)動(dòng)的方向仍與前述方向具有一致性.

要在形形色色、紛繁復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)并抽取出該模型就要抓住幾個(gè)關(guān)鍵信息，一是中點(diǎn)P，二是兩個(gè)相似三角形△DMB和△BNE，且其中M和N分別是BA和BC的中點(diǎn).

在上述各個(gè)例題中，模型多是不明顯的存在著，需要通過(guò)連接已知正方形（或菱形）的對(duì)角線，或取已知等腰三角形底邊上的高來(lái)構(gòu)造出點(diǎn)M和點(diǎn)N，這時(shí)模型才能浮出水面.抽取模型是最為關(guān)鍵的步驟.此步驟完成后，就是把對(duì)模型的證明過(guò)程向具體問(wèn)題的遷移了，只要熟練掌握了模型的證明，在遷移中對(duì)角的等量關(guān)系和線段之間的等量或比例關(guān)系作適當(dāng)調(diào)整，是很容易完成證明的.如果我們對(duì)這種利用模型解決此類問(wèn)題的思路與標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)比，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)利用模型解題的方法非常奇巧，簡(jiǎn)潔清新.

數(shù)學(xué)題海深闊無(wú)邊.以有限的生命，數(shù)學(xué)題是解不完的.倘若在做過(guò)一部分題目后，深入反思，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題間的聯(lián)系和本質(zhì)，就能牽一發(fā)而動(dòng)全身，手握“源”，從而從容應(yīng)對(duì)“流”.這不恰恰相當(dāng)于掌握了更多的定理，有了更多的解題武器了嗎？教師之教和學(xué)生之學(xué)都應(yīng)在這方面下大功夫，溯本求源，去感受和研究題目的本質(zhì)與內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)化歸，而不是沉入題海，難以自拔.歸曰：“潺潺流水在浚源”.

文末，提供兩例相關(guān)問(wèn)題.請(qǐng)讀者予以探究.

練習(xí)1：（2008年北京卷）請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖5-1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC.若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及的值.

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決.

圖5-1

圖5-2

請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：

（2）將圖5-1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖5-2）.你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.