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        自然解法“無果”,另辟蹊徑“有門”

        2016-11-24 10:06:22江蘇南京金陵中學(xué)河西分校李玉榮
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年14期
        關(guān)鍵詞:延長線方程組直角三角形

        ☉江蘇南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

        自然解法“無果”,另辟蹊徑“有門”

        ☉江蘇南京金陵中學(xué)河西分校李玉榮

        一般而言,解題時最容易想到的解法當(dāng)屬自然解法,數(shù)學(xué)難題的自然解法通常不夠簡潔,有時甚至根本無法完成.改進(jìn)自然解法或另辟蹊徑,促使從自然解法走向完美解法是教師解題教學(xué)的職責(zé)和理想目標(biāo),路難走,但必須前行.

        題目如圖1,在梯形ABED中,∠D=∠E=90°,△ABC是等邊三角形,且點C在DE上,如果AD=7,BE= 11,求△ABC的面積.(第24屆希望杯初二)

        圖1

        圖2

        解法1:如圖2,作BF⊥DA交DA的延長線于點F,得矩形DEBF.

        所以AF=BE-AD=4.設(shè)DC=x,CE=y,則BF=x+y.

        圖3

        這是二元二次方程組,初中生有能力求解嗎?

        解法2:如圖3,作AF⊥BE交BE于點F,得矩形DEFA,所以BF=BEAD=4.設(shè)AB=AC=BC=x,則DC=

        這是無理方程,初中生有能力求解嗎?

        點評:這兩種解法是命題者提供的,從解題過程看,上述兩種解法的難點顯然是所列方程(組)超越了學(xué)生的能力范疇,難以求解,致使考生大多無法最終求出結(jié)果.可見解法雖很自然,但卻并不完美.作為教師可以繼續(xù)求解.

        解得y2=3,從而BC2=BE2+CE2=121+3=124.

        再兩邊平方、整理得:x4-124x2=0,解得x2=124.

        教師的求解固然可行,但改進(jìn)解法讓學(xué)生能夠理解、接受勢在必行.怎樣改進(jìn)這個自然解法呢?注意到△ABC是等邊三角形,其特殊的角及線段相等可以使人聯(lián)想到輔助圓,構(gòu)造出特殊的直角三角形,避開自然解法中的方程組,得到以下完美解法.

        圖4

        另解1:如圖4,作BF⊥DA交DA的延長線于點F,則AF=BE-AD=4;

        延長AD至點G,使得DG=AD= 7,則CG=CA=CB,故點G、A、B在以C為圓心,CA為半徑的⊙C上.

        【評注】此解法恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助圓,根據(jù)“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”得到一個含30°角的直角三角形,巧妙地求出了BF,過程十分簡潔,令人拍案叫絕.

        另解2:如圖5,作AG⊥BE于點

        圖5

        在Rt△AGB中,根據(jù)勾股定理得:

        AB2=AG2+BG2=124.

        【評注】此解法恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助圓,得到兩個含30°角的直角三角形,巧妙地將AG轉(zhuǎn)化為“AG=DE=DF+EF”求解,過程十分簡潔,數(shù)學(xué)之精躍然紙上.

        在解題教學(xué)中,本著自然生成的原則,尋求自然解法無可厚非,但因循守舊、故步自封也會一無所獲.當(dāng)用自然解法受挫時,教師就必須想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)自然解法,或另辟蹊徑尋求其他解法,從而起到化隱為顯、化難為易的解題效果,實現(xiàn)解題從自然到完美的蛻變和升華.這正如人類的生存一樣:尊重自然、敬畏自然,但要生活得更美好,必須適度改造自然、美化自然.Z

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