☉重慶市璧山區(qū)正則中學(xué)　李洪兵

☉重慶市璧山中學(xué)趙光洪

·重慶市璧山區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)段世彬名師工作室·

問題峰回路轉(zhuǎn)思維自由生長——“一次函數(shù)圖像的應(yīng)用”教學(xué)片段賞析與感悟

☉重慶市璧山區(qū)正則中學(xué)李洪兵

☉重慶市璧山中學(xué)趙光洪

在區(qū)教委組織的深化課程改革現(xiàn)場會（初中數(shù)學(xué)分會）教研活動中，筆者聽了本校郭老師的一堂“一次函數(shù)圖像的應(yīng)用”展示課，精彩紛呈的課堂給人留下了很深的印象，現(xiàn)從中擷取幾個(gè)教學(xué)片段談?wù)勛约旱囊恍┱J(rèn)識和體會，與同行分享.

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷分析一次函數(shù)圖像獲取信息的過程，發(fā)展幾何直觀.

（2）利用一次函數(shù)圖像解決簡單實(shí)際問題，發(fā)展應(yīng)用意識.

（3）進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

二、教學(xué)片段賞析

1.初識圖像，自然切入

情景一展示2016年重慶馬拉松比賽，突出一名身在其中的參賽者，然后介紹：這是我校成功挑戰(zhàn)重慶馬拉松的盧老師（請盧老師起立，并向師生致意問好），圖1是盧老師在訓(xùn)練中路程y（m）關(guān)于時(shí)間x（min）的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）10分鐘時(shí)，盧老師跑了______米；

（2）盧老師跑4000米用了______分鐘；

（3）17分鐘時(shí)，盧老師大約跑了______米；

（4）當(dāng)盧老師跑6000米時(shí)，用了______分鐘.

師：圖1中x軸表示什么？y軸表示什么？

生：x軸表示盧老師出發(fā)的時(shí)間，y軸表示盧老師跑的路程.

師：A、B兩點(diǎn)的實(shí)際意義是什么？

生：點(diǎn)A表示盧老師在10分鐘時(shí)跑了2000米，點(diǎn)B表示盧老師20分鐘時(shí)跑了4000米.

師：怎樣得到17分鐘時(shí)盧老師大約跑了多少米？

生A：通過作圖求得盧老師17分鐘時(shí)大約跑了3500米.作法為：過17所表示的點(diǎn)作x軸的垂線，交AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足就是盧老師所跑的路程.

師：還有其他方法嗎？

生B：已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，當(dāng)x=17時(shí)，代入解析式求得y=3400.

師：兩位同學(xué)的方法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

學(xué)生進(jìn)行方法比較、小結(jié)：法一優(yōu)點(diǎn)：快；缺點(diǎn)：近似，有時(shí)誤差會很大.法二優(yōu)點(diǎn)：準(zhǔn)確；缺點(diǎn)：慢.

情景二圖2表示的是我班運(yùn)動健將陳玲在訓(xùn)練中離起點(diǎn)距離y（m）關(guān)于時(shí)間x（min）的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像回答下列問題：

圖2

（1）該同學(xué)從______米處開始起跑；

（2）該同學(xué)10分鐘跑了______米；

（3）盧老師與同學(xué)比誰的速度更快？

師：該圖像x軸的意義是什么？y軸的意義是什么？

生：x軸表示學(xué)生訓(xùn)練時(shí)間，y軸表示學(xué)生離出發(fā)點(diǎn)的距離.

師：圖像與y軸交點(diǎn)的意義是什么？

生：學(xué)生出發(fā)時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)2000米.

師：和上一條直線比較，傾斜程度沒有這么大，說明了什么？

生C：直線越陡，說明速度越快.

賞析：以學(xué)生身邊的人和事為素材，充分抓住學(xué)生的興奮點(diǎn)，拉近師生距離，快速找到切入點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生看圖，采集信息；談圖，處理信息；用圖，解決問題.通過學(xué)生自己得出多角度處理問題并進(jìn)行比較學(xué)習(xí).教師的不停追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法比較、反思、提煉和小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將圖形還原成實(shí)際問題情景，從圖像的比較來分析問題、研究問題、解決問題.比較圖像的不同，直觀地體現(xiàn)速度的快慢，使學(xué)生對一次函數(shù)圖像的認(rèn)知和應(yīng)用更深一步認(rèn)識.從基本問題入手，讓問題活起來，樹立學(xué)生信心，抓住學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的欲望和動力，為下一個(gè)研究函數(shù)圖像活動做好了鋪墊、準(zhǔn)備和過渡，為函數(shù)圖像與實(shí)際問題的關(guān)系播種萌芽.

2.再識圖像，思維碰撞

情景三如圖3，l1、l2分別是盧老師和陳玲同學(xué)在跑步訓(xùn)練中離起點(diǎn)距離y（m）關(guān)于時(shí)間x（min）的函數(shù)圖像，終點(diǎn)距起點(diǎn)6000m，根據(jù)圖像回答下列問題：

圖3

（1）誰先到達(dá)終點(diǎn)？

（2）出發(fā)后多少分鐘，盧老師追上陳玲同學(xué)？

（3）若要同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，其他條件不變，陳玲同學(xué)需從離起點(diǎn)多少米處起跑？

師：誰先到達(dá)終點(diǎn)？

生：盧老師.

師：為什么？

生D：因?yàn)?0分鐘時(shí)，盧老師已跑6000m，到達(dá)終點(diǎn)，而陳玲同學(xué)才跑5000米，還沒有到達(dá)終點(diǎn).

師：盧老師和陳玲同學(xué)同時(shí)出發(fā)，先到達(dá)終點(diǎn)，盧老師出發(fā)后多少分鐘，追上陳玲同學(xué)？

生E：由前面知道l1、l2分別過兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可以分別求得l1、l2的函數(shù)解析式，再用解析式可準(zhǔn)確地求出交點(diǎn)坐標(biāo)，就能得到盧老師多少時(shí)間、距出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)追上陳玲同學(xué).

生A：從圖像上看，兩直線交于點(diǎn)（20，4000），所以盧老師出發(fā)20分鐘時(shí)追上陳玲同學(xué).

師：很好，兩位同學(xué)從數(shù)（解析式）、形（圖像）兩方面進(jìn)行思考和解決.若要同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，其他條件不變，陳玲同學(xué)需從離起點(diǎn)多少米處起跑？請同學(xué)們先獨(dú)立思考，再在小組中交流，形成小組意見.

師：很好！同學(xué)們還有不同的辦法可以展示給大家嗎？

小組6：直接在圖像上平移，可得到在距出發(fā)點(diǎn)4000米處出發(fā).（小組6的同學(xué)用三角板在黑板上展示，畫出平行線示意圖.小組2認(rèn)為該組畫平行線還有值得改進(jìn)的地方，利用“平移法”畫平行線更好、更準(zhǔn)確，并上黑板展示畫法）

小組9：看到達(dá)時(shí)，盧老師比陳玲同學(xué)多跑1000米，即盧老師跑1000米所用的時(shí)間學(xué)生需要跑2000米，故學(xué)生還要少跑2000米，所以學(xué)生要在距出發(fā)點(diǎn)4000米處出發(fā).

師：不錯(cuò)，三個(gè)組的同學(xué)都提出了各自的見解和辦法，說明同學(xué)們能從不同的角度去觀察、思考、解決問題.很好！小組2特別認(rèn)真，數(shù)學(xué)要求嚴(yán)謹(jǐn)，為我們準(zhǔn)確、全面地解決問題樹立了好榜樣！

賞析：將情景一、二綜合在一起，體現(xiàn)了教師的四點(diǎn)教學(xué)智慧：第一，通過情景一、二的鋪墊和過渡，為情景三積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對問題提出、圖像信息的收集與處理，以及實(shí)際問題的解決做好了充分的知識、經(jīng)驗(yàn)和能力儲備，將身邊的事例用好、用透、用充分.第二，所提出的問題由易到難，既有認(rèn)知水平較低的問題，也有要求學(xué)生能綜合和靈活運(yùn)用所學(xué)知識來回答問題，更有要求學(xué)生能以自己特有的方式創(chuàng)造性地回答問題，通過對問題的分層設(shè)計(jì)、層層深入，逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展.第三，體現(xiàn)教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，小組6的學(xué)生畫出平行線后，小組2立即提出了更好的解決方式，對數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確性提出了更高的要求.第四，再次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法比較、反思、提煉和小結(jié)，利用學(xué)生的思維角度將圖形還原成實(shí)際問題情景，利用圖像的比較來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.

3.三識圖像，問題開放

情景四圖4是盧老師和陳玲同學(xué)在跑步中離起點(diǎn)y（m）與時(shí)間x（min）的函數(shù)圖像，終點(diǎn)距起點(diǎn)6000m.

圖4

師：盧老師可以休息多長時(shí)間？

生：根據(jù)前面的圖像我們知道，盧老師跑完全程需要30分鐘，而陳玲同學(xué)需要40分鐘，所以盧老師可以在中途休息10分鐘的時(shí)間.

師：如果盧老師為了和陳玲同學(xué)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，他還可以有哪些辦法？盧老師的圖像又該怎樣畫？請同學(xué)們先獨(dú)立思考，再大家交流.

生F：由前面的問題可以知道盧老師跑完全程用時(shí)比同學(xué)少用10分鐘，盧老師可以晚出發(fā)10分鐘.畫出的圖像為以（10，0）、（40，6000）為端點(diǎn)的線段.

師：對出發(fā)時(shí)間進(jìn)行調(diào)整，也是一種選擇.

生B：盧老師可以減慢跑步速度，畫出的圖像為以（0，0）、（40，6000）為端點(diǎn)的線段.

師：剛才兩位同學(xué)分別從時(shí)間、速度兩個(gè)方面變化入手，還有其他辦法嗎？

生H：可以改勻速跑步為變速跑步，只要符合實(shí)際意義即可，所以圖像也不一定是線段，也可以是曲線，但曲線的右端點(diǎn)一定為（40，6000），而左端點(diǎn)不一定是（0，0）.這更符合我們?nèi)粘Ｉ钪械膶?shí)際情況.（生H上黑板畫出曲線，并解釋圖像的實(shí)際意義，如所跑的路是上坡、平路或下坡，口渴喝水，調(diào)整狀態(tài)等）

賞析：郭老師在提出問題后，并沒有就此罷休，而是進(jìn)一步提出更開放的問題供學(xué)生思考、參與和解答.設(shè)法讓學(xué)生敢于突破常規(guī)去尋求多種解決問題的策略和途徑.郭老師的追問引導(dǎo)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)課本、挑戰(zhàn)教師、挑戰(zhàn)權(quán)威，提出新想法、新創(chuàng)意、新探索.事實(shí)證明郭老師是成功的！生活是創(chuàng)新的源泉，數(shù)學(xué)知識來源于生活實(shí)踐，數(shù)學(xué)活動就是讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析生活中的一些事例，去解決或解釋生活實(shí)際中可能遇到的現(xiàn)象和問題，并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

三、感悟

郭老師這堂課與其他課相比，知識難度不高，但她能做到利用學(xué)生身邊熟悉的一個(gè)生活實(shí)際問題貫穿整個(gè)教學(xué)活動過程，充分挖掘?qū)嶋H問題中的數(shù)學(xué)要素，環(huán)環(huán)相扣，根據(jù)課堂教學(xué)情況不斷追問，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方法解決問題，并對各種方法、角度進(jìn)行比較分析，進(jìn)行反思、取舍和應(yīng)用，為本堂課記下了精彩的一筆，既造就了學(xué)生的精彩也造就了教師的精彩.精彩之處體現(xiàn)在以下四點(diǎn)：

1.目標(biāo)明確，著眼學(xué)生的核心素養(yǎng)

從目標(biāo)可以看出，分析一次函數(shù)圖像獲取信息的過程，發(fā)展幾何直觀.本節(jié)課正是通過學(xué)生身邊的事例，讓學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力.［1］課堂中通過學(xué)生識圖、辯圖、用圖、畫圖，就是將相對抽象的思考對象“圖形化”，讓實(shí)際問題“圖形化”，把跑的路程與時(shí)間這一過程變得直觀；通過對圖像平移——讓圖形動起來，說明學(xué)生已逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識，這種對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和運(yùn)用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的；［2］通過對一次函數(shù)圖形的不斷應(yīng)用，去發(fā)現(xiàn)、描述、解決問題，從而有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.同時(shí)，本節(jié)課中滲透模型思想，運(yùn)用函數(shù)圖像（不一定是一次函數(shù)圖像，生H就是一個(gè)例子）幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.所以學(xué)生的應(yīng)用意識、幾何直觀、模型思想等核心素養(yǎng)得到了一定的提升.

2.問題變式，著眼學(xué)生的發(fā)散思維

本節(jié)課應(yīng)用身邊事例，情景真實(shí)自然，通過問題變式，給人一種新鮮、生動的感覺，喚起了學(xué)生的求知欲和新鮮感，給學(xué)生注入主動參與學(xué)習(xí)的動力，保持參與教學(xué)活動的興趣和熱情，樹立自信.課堂教學(xué)要交流、要互動、要以學(xué)生發(fā)展為本，讓學(xué)生在課堂中真正的動腦筋.［3］通過這堂課可以看出，在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面、多角度、多渠道地思考問題，讓學(xué)生多探討、多爭論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，能誘導(dǎo)學(xué)生猜測各種不同的條件、結(jié)論、思路，利于對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行過程性評價(jià).郭老師注重問題的變式教學(xué)，做到了“把學(xué)生思維激起來，學(xué)生動起來，老師靜下來.”

3.授之以漁，著眼學(xué)生的探究能力

常言道：授之以魚不如授之以漁.郭老師在教學(xué)活動中，注重對自主學(xué)習(xí)的引領(lǐng)，將學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)滲透在課堂教學(xué)中，對自主、合作、探究等活動給足空間.獨(dú)立思考與合作交流是相互關(guān)聯(lián)的兩種不同的學(xué)習(xí)方式，合作交流能讓學(xué)生交流思想、彌補(bǔ)不足、共同進(jìn)步且能培養(yǎng)交流表達(dá)能力，而獨(dú)立思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的過程，只有經(jīng)過獨(dú)立思考才能知曉數(shù)學(xué)的本質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的原理.獨(dú)立思考是基礎(chǔ)，創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生獨(dú)立思考，當(dāng)學(xué)生充分思考且思維出現(xiàn)差異時(shí)，方可進(jìn)行合作交流，讓不同的思考在交流中展現(xiàn)出思維碰撞的火花，促進(jìn)思維能力和學(xué)習(xí)興趣的提升，從而構(gòu)建生動活潑的學(xué)習(xí)環(huán)境.［4］

4.開放探索，著眼學(xué)生的四基四能

本節(jié)課的教學(xué)活動中，無論是問題的開放性或探索性，都注重學(xué)生的興趣和體驗(yàn)，注重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，注重對學(xué)生、老師提出的觀點(diǎn)、方法進(jìn)行反思，學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).教學(xué)活動過程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！蹦芰?，而建立數(shù)學(xué)模型對于提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力有著重要的作用，因此，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題及問題反思，使學(xué)生的“四能”得到充分的展現(xiàn).

四、值得商榷的幾個(gè)地方

課堂是藝術(shù)的，是技術(shù)的，也是學(xué)術(shù)的，筆者認(rèn)為本節(jié)課也有兩個(gè)值得商榷的地方.

（1）在情景三中，用代數(shù)方法解決問題時(shí)，讓學(xué)生寫出詳細(xì)的解答過程，起到示范引領(lǐng)作用，是否更好些.

（2）在情景四中，可否先不給出問題，讓學(xué)生提問，再給出問題，或讓學(xué)生以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)自己去編題，更利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，也許還有更精彩的課堂表現(xiàn).

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.李洪兵，肖國琴.豁然自然盎然昂然——中考模擬試卷評講的一種嘗試［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.

4.朱國生.合理對話，層層深入，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之妙——以“反比例函數(shù)（第12課時(shí)）”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.H