☉重慶市璧山區(qū)正則中學(xué) 李洪兵
☉重慶市璧山中學(xué)趙光洪
·重慶市璧山區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)段世彬名師工作室·
問題峰回路轉(zhuǎn)思維自由生長——“一次函數(shù)圖像的應(yīng)用”教學(xué)片段賞析與感悟
☉重慶市璧山區(qū)正則中學(xué)李洪兵
☉重慶市璧山中學(xué)趙光洪
在區(qū)教委組織的深化課程改革現(xiàn)場會(初中數(shù)學(xué)分會)教研活動中,筆者聽了本校郭老師的一堂“一次函數(shù)圖像的應(yīng)用”展示課,精彩紛呈的課堂給人留下了很深的印象,現(xiàn)從中擷取幾個(gè)教學(xué)片段談?wù)勛约旱囊恍┱J(rèn)識和體會,與同行分享.
(1)經(jīng)歷分析一次函數(shù)圖像獲取信息的過程,發(fā)展幾何直觀.
(2)利用一次函數(shù)圖像解決簡單實(shí)際問題,發(fā)展應(yīng)用意識.
(3)進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.
1.初識圖像,自然切入
情景一展示2016年重慶馬拉松比賽,突出一名身在其中的參賽者,然后介紹:這是我校成功挑戰(zhàn)重慶馬拉松的盧老師(請盧老師起立,并向師生致意問好),圖1是盧老師在訓(xùn)練中路程y(m)關(guān)于時(shí)間x(min)的函數(shù)圖像,根據(jù)圖像回答下列問題:
(1)10分鐘時(shí),盧老師跑了______米;
(2)盧老師跑4000米用了______分鐘;
(3)17分鐘時(shí),盧老師大約跑了______米;
(4)當(dāng)盧老師跑6000米時(shí),用了______分鐘.
師:圖1中x軸表示什么?y軸表示什么?
生:x軸表示盧老師出發(fā)的時(shí)間,y軸表示盧老師跑的路程.
師:A、B兩點(diǎn)的實(shí)際意義是什么?
生:點(diǎn)A表示盧老師在10分鐘時(shí)跑了2000米,點(diǎn)B表示盧老師20分鐘時(shí)跑了4000米.
師:怎樣得到17分鐘時(shí)盧老師大約跑了多少米?
生A:通過作圖求得盧老師17分鐘時(shí)大約跑了3500米.作法為:過17所表示的點(diǎn)作x軸的垂線,交AB于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作y軸的垂線,垂足就是盧老師所跑的路程.
師:還有其他方法嗎?
生B:已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),求出直線AB的解析式,當(dāng)x=17時(shí),代入解析式求得y=3400.
師:兩位同學(xué)的方法各有什么優(yōu)缺點(diǎn)?
學(xué)生進(jìn)行方法比較、小結(jié):法一優(yōu)點(diǎn):快;缺點(diǎn):近似,有時(shí)誤差會很大.法二優(yōu)點(diǎn):準(zhǔn)確;缺點(diǎn):慢.
情景二圖2表示的是我班運(yùn)動健將陳玲在訓(xùn)練中離起點(diǎn)距離y(m)關(guān)于時(shí)間x(min)的函數(shù)圖像,根據(jù)圖像回答下列問題:
圖2
(1)該同學(xué)從______米處開始起跑;
(2)該同學(xué)10分鐘跑了______米;
(3)盧老師與同學(xué)比誰的速度更快?
師:該圖像x軸的意義是什么?y軸的意義是什么?
生:x軸表示學(xué)生訓(xùn)練時(shí)間,y軸表示學(xué)生離出發(fā)點(diǎn)的距離.
師:圖像與y軸交點(diǎn)的意義是什么?
生:學(xué)生出發(fā)時(shí)距離出發(fā)點(diǎn)2000米.
師:和上一條直線比較,傾斜程度沒有這么大,說明了什么?
生C:直線越陡,說明速度越快.
賞析:以學(xué)生身邊的人和事為素材,充分抓住學(xué)生的興奮點(diǎn),拉近師生距離,快速找到切入點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生看圖,采集信息;談圖,處理信息;用圖,解決問題.通過學(xué)生自己得出多角度處理問題并進(jìn)行比較學(xué)習(xí).教師的不停追問,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法比較、反思、提煉和小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生將圖形還原成實(shí)際問題情景,從圖像的比較來分析問題、研究問題、解決問題.比較圖像的不同,直觀地體現(xiàn)速度的快慢,使學(xué)生對一次函數(shù)圖像的認(rèn)知和應(yīng)用更深一步認(rèn)識.從基本問題入手,讓問題活起來,樹立學(xué)生信心,抓住學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的欲望和動力,為下一個(gè)研究函數(shù)圖像活動做好了鋪墊、準(zhǔn)備和過渡,為函數(shù)圖像與實(shí)際問題的關(guān)系播種萌芽.
2.再識圖像,思維碰撞
情景三如圖3,l1、l2分別是盧老師和陳玲同學(xué)在跑步訓(xùn)練中離起點(diǎn)距離y(m)關(guān)于時(shí)間x(min)的函數(shù)圖像,終點(diǎn)距起點(diǎn)6000m,根據(jù)圖像回答下列問題:
圖3
(1)誰先到達(dá)終點(diǎn)?
(2)出發(fā)后多少分鐘,盧老師追上陳玲同學(xué)?
(3)若要同時(shí)到達(dá)終點(diǎn),其他條件不變,陳玲同學(xué)需從離起點(diǎn)多少米處起跑?
師:誰先到達(dá)終點(diǎn)?
生:盧老師.
師:為什么?
生D:因?yàn)?0分鐘時(shí),盧老師已跑6000m,到達(dá)終點(diǎn),而陳玲同學(xué)才跑5000米,還沒有到達(dá)終點(diǎn).
師:盧老師和陳玲同學(xué)同時(shí)出發(fā),先到達(dá)終點(diǎn),盧老師出發(fā)后多少分鐘,追上陳玲同學(xué)?
生E:由前面知道l1、l2分別過兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法可以分別求得l1、l2的函數(shù)解析式,再用解析式可準(zhǔn)確地求出交點(diǎn)坐標(biāo),就能得到盧老師多少時(shí)間、距出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)追上陳玲同學(xué).
生A:從圖像上看,兩直線交于點(diǎn)(20,4000),所以盧老師出發(fā)20分鐘時(shí)追上陳玲同學(xué).
師:很好,兩位同學(xué)從數(shù)(解析式)、形(圖像)兩方面進(jìn)行思考和解決.若要同時(shí)到達(dá)終點(diǎn),其他條件不變,陳玲同學(xué)需從離起點(diǎn)多少米處起跑?請同學(xué)們先獨(dú)立思考,再在小組中交流,形成小組意見.
師:很好!同學(xué)們還有不同的辦法可以展示給大家嗎?
小組6:直接在圖像上平移,可得到在距出發(fā)點(diǎn)4000米處出發(fā).(小組6的同學(xué)用三角板在黑板上展示,畫出平行線示意圖.小組2認(rèn)為該組畫平行線還有值得改進(jìn)的地方,利用“平移法”畫平行線更好、更準(zhǔn)確,并上黑板展示畫法)
小組9:看到達(dá)時(shí),盧老師比陳玲同學(xué)多跑1000米,即盧老師跑1000米所用的時(shí)間學(xué)生需要跑2000米,故學(xué)生還要少跑2000米,所以學(xué)生要在距出發(fā)點(diǎn)4000米處出發(fā).
師:不錯(cuò),三個(gè)組的同學(xué)都提出了各自的見解和辦法,說明同學(xué)們能從不同的角度去觀察、思考、解決問題.很好!小組2特別認(rèn)真,數(shù)學(xué)要求嚴(yán)謹(jǐn),為我們準(zhǔn)確、全面地解決問題樹立了好榜樣!
賞析:將情景一、二綜合在一起,體現(xiàn)了教師的四點(diǎn)教學(xué)智慧:第一,通過情景一、二的鋪墊和過渡,為情景三積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),對問題提出、圖像信息的收集與處理,以及實(shí)際問題的解決做好了充分的知識、經(jīng)驗(yàn)和能力儲備,將身邊的事例用好、用透、用充分.第二,所提出的問題由易到難,既有認(rèn)知水平較低的問題,也有要求學(xué)生能綜合和靈活運(yùn)用所學(xué)知識來回答問題,更有要求學(xué)生能以自己特有的方式創(chuàng)造性地回答問題,通過對問題的分層設(shè)計(jì)、層層深入,逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展.第三,體現(xiàn)教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn),小組6的學(xué)生畫出平行線后,小組2立即提出了更好的解決方式,對數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確性提出了更高的要求.第四,再次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法比較、反思、提煉和小結(jié),利用學(xué)生的思維角度將圖形還原成實(shí)際問題情景,利用圖像的比較來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.
3.三識圖像,問題開放
情景四圖4是盧老師和陳玲同學(xué)在跑步中離起點(diǎn)y(m)與時(shí)間x(min)的函數(shù)圖像,終點(diǎn)距起點(diǎn)6000m.
圖4
師:盧老師可以休息多長時(shí)間?
生:根據(jù)前面的圖像我們知道,盧老師跑完全程需要30分鐘,而陳玲同學(xué)需要40分鐘,所以盧老師可以在中途休息10分鐘的時(shí)間.
師:如果盧老師為了和陳玲同學(xué)同時(shí)到達(dá)終點(diǎn),他還可以有哪些辦法?盧老師的圖像又該怎樣畫?請同學(xué)們先獨(dú)立思考,再大家交流.
生F:由前面的問題可以知道盧老師跑完全程用時(shí)比同學(xué)少用10分鐘,盧老師可以晚出發(fā)10分鐘.畫出的圖像為以(10,0)、(40,6000)為端點(diǎn)的線段.
師:對出發(fā)時(shí)間進(jìn)行調(diào)整,也是一種選擇.
生B:盧老師可以減慢跑步速度,畫出的圖像為以(0,0)、(40,6000)為端點(diǎn)的線段.
師:剛才兩位同學(xué)分別從時(shí)間、速度兩個(gè)方面變化入手,還有其他辦法嗎?
生H:可以改勻速跑步為變速跑步,只要符合實(shí)際意義即可,所以圖像也不一定是線段,也可以是曲線,但曲線的右端點(diǎn)一定為(40,6000),而左端點(diǎn)不一定是(0,0).這更符合我們?nèi)粘I钪械膶?shí)際情況.(生H上黑板畫出曲線,并解釋圖像的實(shí)際意義,如所跑的路是上坡、平路或下坡,口渴喝水,調(diào)整狀態(tài)等)
賞析:郭老師在提出問題后,并沒有就此罷休,而是進(jìn)一步提出更開放的問題供學(xué)生思考、參與和解答.設(shè)法讓學(xué)生敢于突破常規(guī)去尋求多種解決問題的策略和途徑.郭老師的追問引導(dǎo)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)課本、挑戰(zhàn)教師、挑戰(zhàn)權(quán)威,提出新想法、新創(chuàng)意、新探索.事實(shí)證明郭老師是成功的!生活是創(chuàng)新的源泉,數(shù)學(xué)知識來源于生活實(shí)踐,數(shù)學(xué)活動就是讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析生活中的一些事例,去解決或解釋生活實(shí)際中可能遇到的現(xiàn)象和問題,并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.
郭老師這堂課與其他課相比,知識難度不高,但她能做到利用學(xué)生身邊熟悉的一個(gè)生活實(shí)際問題貫穿整個(gè)教學(xué)活動過程,充分挖掘?qū)嶋H問題中的數(shù)學(xué)要素,環(huán)環(huán)相扣,根據(jù)課堂教學(xué)情況不斷追問,引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方法解決問題,并對各種方法、角度進(jìn)行比較分析,進(jìn)行反思、取舍和應(yīng)用,為本堂課記下了精彩的一筆,既造就了學(xué)生的精彩也造就了教師的精彩.精彩之處體現(xiàn)在以下四點(diǎn):
1.目標(biāo)明確,著眼學(xué)生的核心素養(yǎng)
從目標(biāo)可以看出,分析一次函數(shù)圖像獲取信息的過程,發(fā)展幾何直觀.本節(jié)課正是通過學(xué)生身邊的事例,讓學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)的方法予以解決,增強(qiáng)應(yīng)用意識,提高實(shí)踐能力.[1]課堂中通過學(xué)生識圖、辯圖、用圖、畫圖,就是將相對抽象的思考對象“圖形化”,讓實(shí)際問題“圖形化”,把跑的路程與時(shí)間這一過程變得直觀;通過對圖像平移——讓圖形動起來,說明學(xué)生已逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識,這種對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和運(yùn)用的能力,應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的;[2]通過對一次函數(shù)圖形的不斷應(yīng)用,去發(fā)現(xiàn)、描述、解決問題,從而有助于探索解決問題的思路,預(yù)測結(jié)果.同時(shí),本節(jié)課中滲透模型思想,運(yùn)用函數(shù)圖像(不一定是一次函數(shù)圖像,生H就是一個(gè)例子)幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.所以學(xué)生的應(yīng)用意識、幾何直觀、模型思想等核心素養(yǎng)得到了一定的提升.
2.問題變式,著眼學(xué)生的發(fā)散思維
本節(jié)課應(yīng)用身邊事例,情景真實(shí)自然,通過問題變式,給人一種新鮮、生動的感覺,喚起了學(xué)生的求知欲和新鮮感,給學(xué)生注入主動參與學(xué)習(xí)的動力,保持參與教學(xué)活動的興趣和熱情,樹立自信.課堂教學(xué)要交流、要互動、要以學(xué)生發(fā)展為本,讓學(xué)生在課堂中真正的動腦筋.[3]通過這堂課可以看出,在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面、多角度、多渠道地思考問題,讓學(xué)生多探討、多爭論,能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性,大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣,能誘導(dǎo)學(xué)生猜測各種不同的條件、結(jié)論、思路,利于對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行過程性評價(jià).郭老師注重問題的變式教學(xué),做到了“把學(xué)生思維激起來,學(xué)生動起來,老師靜下來.”
3.授之以漁,著眼學(xué)生的探究能力
常言道:授之以魚不如授之以漁.郭老師在教學(xué)活動中,注重對自主學(xué)習(xí)的引領(lǐng),將學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)滲透在課堂教學(xué)中,對自主、合作、探究等活動給足空間.獨(dú)立思考與合作交流是相互關(guān)聯(lián)的兩種不同的學(xué)習(xí)方式,合作交流能讓學(xué)生交流思想、彌補(bǔ)不足、共同進(jìn)步且能培養(yǎng)交流表達(dá)能力,而獨(dú)立思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的過程,只有經(jīng)過獨(dú)立思考才能知曉數(shù)學(xué)的本質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的原理.獨(dú)立思考是基礎(chǔ),創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生獨(dú)立思考,當(dāng)學(xué)生充分思考且思維出現(xiàn)差異時(shí),方可進(jìn)行合作交流,讓不同的思考在交流中展現(xiàn)出思維碰撞的火花,促進(jìn)思維能力和學(xué)習(xí)興趣的提升,從而構(gòu)建生動活潑的學(xué)習(xí)環(huán)境.[4]
4.開放探索,著眼學(xué)生的四基四能
本節(jié)課的教學(xué)活動中,無論是問題的開放性或探索性,都注重學(xué)生的興趣和體驗(yàn),注重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn),注重對學(xué)生、老師提出的觀點(diǎn)、方法進(jìn)行反思,學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).教學(xué)活動過程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想,培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?!蹦芰?,而建立數(shù)學(xué)模型對于提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力有著重要的作用,因此,學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題及問題反思,使學(xué)生的“四能”得到充分的展現(xiàn).
課堂是藝術(shù)的,是技術(shù)的,也是學(xué)術(shù)的,筆者認(rèn)為本節(jié)課也有兩個(gè)值得商榷的地方.
(1)在情景三中,用代數(shù)方法解決問題時(shí),讓學(xué)生寫出詳細(xì)的解答過程,起到示范引領(lǐng)作用,是否更好些.
(2)在情景四中,可否先不給出問題,讓學(xué)生提問,再給出問題,或讓學(xué)生以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)自己去編題,更利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,也許還有更精彩的課堂表現(xiàn).
1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
2.教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
3.李洪兵,肖國琴.豁然自然盎然昂然——中考模擬試卷評講的一種嘗試[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(11).
4.朱國生.合理對話,層層深入,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之妙——以“反比例函數(shù)(第12課時(shí))”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(4).H