☉江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院　章　飛

☉廣東深圳市坪山教育科學(xué)研究管理中心袁虹

☉廣東深圳市坪山實(shí)驗(yàn)學(xué)校唐云

典型例題思路探析的微課呈現(xiàn)研究*

☉江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院章飛

☉廣東深圳市坪山教育科學(xué)研究管理中心袁虹

☉廣東深圳市坪山實(shí)驗(yàn)學(xué)校唐云

美藉匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在名著《怎樣解題》中將解決問題的過程分成了四個(gè)步驟：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思.弄清問題，是建立聯(lián)系、獲得解題方案的前提；擬定計(jì)劃，就是解題者根據(jù)自己對(duì)問題的理解，逐步找出條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，最終導(dǎo)出探求結(jié)論的過程；實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，只是擬定計(jì)劃的具體實(shí)現(xiàn)和技術(shù)處理，靠的是耐心和細(xì)心；回顧反思，是問題解決之后對(duì)解決問題的過程、結(jié)果、方法的一個(gè)反思過程，可以更好地外化解題經(jīng)驗(yàn)、提升解題能力，因而是提升學(xué)生解題能力的一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié).因此，微課中典型例題也應(yīng)完整地包括這樣4個(gè)過程，按照微視頻的呈現(xiàn)順序，一般有這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：題目的呈現(xiàn)、題目的理解與分析、題目的解答呈現(xiàn)、解題后的反思與小結(jié).本文則側(cè)重于其中題目理解與分析環(huán)節(jié)的研究工作，希望通過一些具體案例，對(duì)微課程中相應(yīng)類型題目的理解與分析提出一些具體的建議.

一、理解題意

弄清題意是問題解決的第一步，也是形成解題思路的前提，因而，這一環(huán)節(jié)是問題解決的重要環(huán)節(jié).為此，微視頻中應(yīng)很好地外化理解題意的過程，以幫助學(xué)生形成較好的理解題意的習(xí)慣和能力.

1.相關(guān)調(diào)研

如何幫助學(xué)生理解題意，形成較好的理解題意的習(xí)慣呢？我們還是看看學(xué)生在理解題意階段有哪些困惑和數(shù)學(xué)大師對(duì)于理解題意有什么建議.

通過調(diào)研，學(xué)生反映，理解題意階段出現(xiàn)的主要困難有：（1）對(duì)文字量較大的題目，容易感到厭煩，影響到閱讀的情緒；（2）對(duì)于文字量較大的題目，不太能抓住有用的信息；（3）題目的背景、關(guān)鍵的概念和關(guān)鍵信息不易理解.對(duì)于理解題意，波利亞給出下面的建議：“未知量是什么？要求證的是什么？要作的是什么”“已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么”“條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾”“畫一張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)”“將條件的不同部分分開，你能將他們寫出來嗎”.波利亞的建議，并非針對(duì)具體題目的個(gè)性化要求，而是指向了理解問題的一般要求與思路：首先，需要明確具體的目標(biāo)（如未知量是什么）、已知的條件（如已知數(shù)據(jù)是什么）及題目的正確性（如條件是否足以確定未知量）；其次，希望盡可能直觀地表示題意（如畫一張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)）.當(dāng)然，不能將這些建議教條化，波利亞的建議并不是說一定要按序完成這些任務(wù)，而是希望通過其中部分視角，準(zhǔn)確理解題意.因此，其中的條件是什么？絕對(duì)不是簡(jiǎn)單的復(fù)述題目中的信息，常常需要對(duì)該條件的意義作出適度的解讀.

2.設(shè)計(jì)建議

基于調(diào)研結(jié)果和大師的建議，我們建議：讀題時(shí)即時(shí)對(duì)題干信息進(jìn)行選擇性的標(biāo)記和直觀表征.

這樣的做法，是有一定的理論依據(jù)的.

（1）選擇性的標(biāo)記，可以有效地強(qiáng)化重要信息.

對(duì)于一些文字量較大、難度較高的問題，學(xué)生容易感到厭煩，而且常常抓不住有用的信息，甚至出現(xiàn)信息的遺漏，而根據(jù)題目進(jìn)行選擇性的標(biāo)記，實(shí)際上已經(jīng)進(jìn)行了信息的篩選，從而可以再次強(qiáng)化其中的重要信息，避免信息的遺忘.

（2）及時(shí)標(biāo)記，可以增進(jìn)對(duì)關(guān)鍵信息的關(guān)注.

實(shí)際問題中可能出現(xiàn)學(xué)生并不熟悉的概念，也可能有一些容易出現(xiàn)理解偏差的詞語，在閱讀題目時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些概念、詞語進(jìn)行解讀，從而形成正確的理解.也許有些信息暫時(shí)還很難準(zhǔn)確理解，在讀題的時(shí)候可以做出適當(dāng)?shù)臉?biāo)記符號(hào)，給自己提個(gè)醒，后面在與其他信息的相互作用中，也許不經(jīng)意間就理解了這個(gè)信息.

（3）直觀表征，可以深化對(duì)重要信息的理解.

讀題的時(shí)候，通過指針或者標(biāo)注筆畫批，只是對(duì)信息做了一個(gè)篩選工作，起到了強(qiáng)化的作用.為了更好地理解題意，還需要對(duì)這些信息進(jìn)行適當(dāng)解讀，即將題目中的重要信息通過適當(dāng)?shù)姆绞奖硎境鰜?當(dāng)然，這樣的表征最好是直觀的圖形，因?yàn)閳D形直觀、形象，有助于理解相關(guān)概念，有助于反映相關(guān)量之間的關(guān)系.對(duì)于幾何題，常常是設(shè)法將這個(gè)信息標(biāo)注到圖形中；對(duì)于代數(shù)問題，往往是用另外一種方式將題目中的信息說出來，如可以設(shè)法用一個(gè)圖形表示相應(yīng)的關(guān)系，或者在題目旁邊將這句話的意思用相應(yīng)的式子表示出來.直觀表征，常常需要對(duì)信息做一定的挖掘，實(shí)際上相當(dāng)于將條件向前推進(jìn)了一步，從而不經(jīng)意間降低了題目的難度.下面分別選擇幾何、代數(shù)各一個(gè)例子加以說明.

例1如圖1，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B= 30°，求∠BAC的度數(shù).

圖1

圖2

微視頻中，題目呈現(xiàn)之后，建議一邊讀題（同時(shí)用鼠標(biāo)指著對(duì)應(yīng)的文字）一邊在圖形中標(biāo)注，得到圖2.具體過程大致如下：“AD是∠EAC的平分線，圖形中怎么表示呢？（稍停頓）對(duì)，說明∠EAD=∠CAD（圖形中做出相應(yīng)的標(biāo)記）”“AD∥BC，這兩條線平行（鼠標(biāo)對(duì)應(yīng)指認(rèn)），怎么表示這個(gè)關(guān)系呢？對(duì)，可以得到同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等，也就是說，∠B=∠EAD，∠C=∠DAC（圖形中做出相應(yīng)的標(biāo)記）”“啊哈，四個(gè)角都相等，∠B=30°（圖形中做出相應(yīng)的標(biāo)記），相信你一定可以求出所有角的度數(shù)了”.通過這樣的信息解讀與標(biāo)注，問題已經(jīng)迎刃而解了.這里，AD與BC的平行關(guān)系，不甚好標(biāo)注，而借助平行線的性質(zhì)，在圖形中標(biāo)注了“∠C=∠DAC，∠B=∠EAD”，實(shí)際上已將條件往前推進(jìn)了一步.

例2電力維修工要到30千米遠(yuǎn)的郊區(qū)進(jìn)行電力搶修.技術(shù)工人騎摩托車先走，15分鐘后，搶修車裝載著所需材料出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知搶修車的速度是摩托車的1.5倍，求這兩種車的速度.

根據(jù)課題組的調(diào)研，本題宜采用“首先留出學(xué)生讀的時(shí)間，然后老師選擇性地讀題并解釋”這種方式呈現(xiàn).本例中，教師可以選擇性地讀題，并依次對(duì)“30千米”“先走，15分鐘”“同時(shí)到達(dá)”“搶修車的速度是摩托車的1.5倍”“求兩車的速度”這些信息用標(biāo)簽筆進(jìn)行標(biāo)記，并在標(biāo)注的時(shí)候做出相應(yīng)的解釋：“30千米，說明兩種車的行駛距離都是30千米”“摩托車先走，15分鐘后搶修車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)，說明什么？對(duì)，說明摩托車比搶修車的行駛時(shí)間多15分鐘”“搶修車的速度是摩托車的1.5倍，要求兩車速度，如果設(shè)摩托車的速度為v，那么搶修車的速度就可設(shè)為1.5v了”.實(shí)際上，至此已經(jīng)完成了題意的解讀工作，但這些信息之間的關(guān)系還很凌亂，因此，有必要將相關(guān)信息整理出來，為此，可以和學(xué)生繼續(xù)交流：“這里涉及兩種車的時(shí)間、速度、路程，需要將這些信息更清楚地整理出來，你們有什么好的經(jīng)驗(yàn)？（稍停頓）對(duì)，涉及兩個(gè)對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又分別有幾個(gè)不同的量，可以列出一個(gè)二維的表格，如圖3……”.通過這樣的交流，不難在屏幕上生成圖3.“還有哪個(gè)信息沒有用到？對(duì)，15分鐘.再利用兩車行駛時(shí)間相差15分鐘，相信你已經(jīng)得到了相應(yīng)的方程了”.

圖3

二、思路探析

有了第一步，對(duì)于條件和結(jié)論的標(biāo)注、解釋，下面自然是分析它們之間的差距了，將條件與結(jié)論聯(lián)結(jié)起來，形成解題計(jì)劃.那么，具體如何形成解題計(jì)劃呢？顯然，不同類型題目的理解難度及理解問題的側(cè)重點(diǎn)有所不同，因此，不同類型題目解題計(jì)劃的擬定過程有一定的差異.下面，我們以案例的形式，分類研討在微課中理解與分析各類問題的具體策略.正如文2所分析的，我們選擇了其中5類問題作為代表.

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過二元一次方程組的解法，本例就不再是一個(gè)新的問題了，而只是原有知識(shí)的一道鞏固練習(xí)題.鞏固練習(xí)題的思路探析的一般做法是：確定題目的特征，回憶這類問題的解法，然后直接套用方法解題，如微課中呈現(xiàn)本題后的引導(dǎo)語言可以是：“這是一個(gè)典型的二元一次方程組，二元一次方程組有哪些解法？你準(zhǔn)備用哪個(gè)解法？”“對(duì)，可以試著用加減消元法，為了消去x，可以…”.

如果學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)過二元一次方程組的解法，這道題目就是一個(gè)原始問題了.面對(duì)原始問題，最好能引領(lǐng)學(xué)生自主形成解決方案，為此，一般的做法是：調(diào)用原有的解決問題的經(jīng)驗(yàn)，將現(xiàn)有問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題，凸顯蘊(yùn)含其中的化歸思想.具體地，微課中本題的引導(dǎo)語言可以是：“這是一個(gè)方程組，我們以前學(xué)習(xí)過哪些方程？它們有什么特點(diǎn)”“對(duì)，以前學(xué)習(xí)的是一元一次方程，就是只有一個(gè)未知數(shù)的一次方程，這里是二元一次方程組，有兩個(gè)未知數(shù)，怎么辦呢”“那就想辦法‘扔掉’一個(gè)未知數(shù)唄！對(duì)頭，但可不能直接‘粗暴地’將兩個(gè)式子中的y扔掉喲，還得保證得到的新式子仍然滿足原來的方程組，你有哪些好辦法”“有人發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)式子相加就可以扔掉y了，你同意嗎？……”“下面先自己解一解，待會(huì)兒再對(duì)答案”.

一般地，對(duì)于多數(shù)文字較短的代數(shù)題，題意的理解難度不大，擬定計(jì)劃的思路基本相近，大致如下：分析題目的特征，回顧原有的經(jīng)驗(yàn)，直接可用原有經(jīng)驗(yàn)的已經(jīng)形成了解題計(jì)劃，如果不直接可用，設(shè)法消除差異借助原有經(jīng)驗(yàn)形成解題計(jì)劃.

圖4

圖5

例4如圖4，AB=BC=CD= DE=EF.若∠A=18°，求∠DEF.

讀題階段，教師一般可以解釋信息“AB=BC=CD=DE=EF”并在圖中標(biāo)注出來，得到圖5.下面自然是關(guān)注信息的聯(lián)結(jié)，進(jìn)而尋求解題思路了.如何聯(lián)結(jié)呢？自然利用∠A及上面得到的那些等角了，因此，可引導(dǎo)的語言是：“根據(jù)∠A及圖中標(biāo)注的那些等角，你可以依次求出哪些角？相信你一定可以逐步得到∠DEF.（稍停片刻后）對(duì)，由∠A=18°，可以得到∠ACB=18°……”.

一般地，對(duì)于文字量較短、難度較小的幾何題，在信息理解與直觀標(biāo)注之后，條件、結(jié)論之間的差距已經(jīng)比較小了，解題思路不難獲得，因此，對(duì)于這類問題，擬定計(jì)劃的思路基本相近，大致如下：盡可能直觀地標(biāo)注信息，然后觀察條件與結(jié)論的差距，形成解題計(jì)劃.

例5如圖6，梯形ABCD中，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，并與AD相交于同一點(diǎn)E，求證：AB+CD= BC.

圖6

圖7

圖8

本題文字量較例4稍長(zhǎng)，理解難度也不是很大.根據(jù)文2的調(diào)研，在題目呈現(xiàn)階段，不管是否留出時(shí)間給學(xué)生閱讀，一般都需要對(duì)題目中的信息進(jìn)行解釋與標(biāo)注.對(duì)題目適度解讀后，一般可以得到圖7.但即使進(jìn)行了這樣的標(biāo)注，題意已經(jīng)很清楚了，但距離目標(biāo)還有一定的距離.這時(shí)，就需要引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)與信息之間的距離了.一般可以這樣思考，“目標(biāo)是什么？是兩條線段的長(zhǎng)度和等于另一條線段（用筆指著對(duì)應(yīng)圖形解說）”“以前做過類似的問題嗎？以前做的題目與這道題目的區(qū)別是什么”“對(duì)，以前的題目中一般是證明兩條線段相等，這里要證兩線的和等于另一條線段，這是一個(gè)新的題型，怎么轉(zhuǎn)化為原來研究過的問題呢？（停頓一段時(shí)間后）對(duì)，聰明的你想到，將長(zhǎng)的截成兩段或者將短的拼成一段就可以了.我們不妨將長(zhǎng)的截成兩段吧，如在BC上截取一段BF，使它等于AB，下面只要證明剩下的一段FC=CD，這時(shí)問題一定已經(jīng)轉(zhuǎn)化成已經(jīng)研究過的問題了”……

一般地，對(duì)于較復(fù)雜的問題，在題意信息標(biāo)注之后，還不能得到解題思路，這時(shí)關(guān)鍵是分析條件和結(jié)論之間的差距，這時(shí)常常分析結(jié)論的特征，由結(jié)論倒過來思考，這樣從兩邊夾逼，一般不難得到解題思路.另外，這樣的思路，最好能在分析的過程中，在圖形或者題目旁邊用簡(jiǎn)潔的語言或者流程圖表示出來.例如，本例中，在分析過程中，建議逐步書寫出下面的流程圖：截取BF=BA→證明△ABE≌△FBE→證明△FCE≌△DCE→CF=CD.流程圖，很好地外化了思維過程，其中三個(gè)箭頭，很清楚地點(diǎn)出了其中的三個(gè)關(guān)鍵步驟.解答呈現(xiàn)時(shí)，建議將流程圖放置到解答旁邊，可以要求學(xué)生根據(jù)流程圖補(bǔ)全解答，也可以讓學(xué)生結(jié)合解答進(jìn)行比對(duì).

例6服裝店購(gòu)進(jìn)某款服裝，加價(jià)40%后標(biāo)價(jià)，若按標(biāo)價(jià)的八折銷售，仍可獲利15元，求這款服裝每件的進(jìn)價(jià).

這是具有現(xiàn)實(shí)背景的應(yīng)用題，根據(jù)文2的調(diào)研，本題宜采用“首先留出學(xué)生讀的時(shí)間，然后老師選擇性地讀題并解釋”這種方式呈現(xiàn).本例中，讀題時(shí)，應(yīng)依次對(duì)“加價(jià)40%”“八折”“獲利15元”“求進(jìn)價(jià)”這些信息用標(biāo)簽筆進(jìn)行標(biāo)記，并在標(biāo)注的時(shí)候做出相應(yīng)的解釋：“漲40%標(biāo)價(jià)，就是在原來成本價(jià)的基礎(chǔ)上上漲了40%后標(biāo)價(jià)”“再打8折，何為8折，就是以標(biāo)價(jià)的80%銷售”“利潤(rùn)15元，所謂利潤(rùn)就是銷售價(jià)格高出成本的部分”“我們要求的是什么？原來的進(jìn)價(jià)，一般可以設(shè)這個(gè)進(jìn)價(jià)為x”.實(shí)際上，讀題并解釋關(guān)鍵信息的過程，已經(jīng)協(xié)助學(xué)生理解了題目中具體信息的含義，初步完成了題意的理解工作.但要形成解題思路，還需要將這些信息聯(lián)系起來.對(duì)于代數(shù)應(yīng)用題，一般可以按照信息的邏輯關(guān)系借助圖表將信息串起來.例如，本案例中，可以在上面解釋關(guān)鍵信息時(shí)，邊解釋邊畫圖，得到圖9.

圖9

下面自然是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)上面的信息列出關(guān)于未知數(shù)x的方程.具體引導(dǎo)過程可以如下：“根據(jù)上面的條件，試著用含x的式子表示上述各量”“不妨表示其中的售價(jià)吧.這里有兩個(gè)箭頭指向售價(jià)，那就應(yīng)該有兩種表示的方法了”“相信，你已經(jīng)得到了兩種不同的表示方法.對(duì)，根據(jù)上面的箭頭，標(biāo)價(jià)為1.4x，銷售價(jià)為1.4x×0.8；根據(jù)下面的箭頭，銷售價(jià)又可以表示為x+15，這不就得到方程0.8（1+40%）x=x+15了”.引導(dǎo)過程中同步點(diǎn)擊屏幕，最終呈現(xiàn)在屏幕上的信息如圖10所示.

圖10

一般地，對(duì)于應(yīng)用題，理解題意階段，更需要關(guān)注信息的解讀，但要形成解題思路，還要注意加強(qiáng)信息的聯(lián)系，需要引導(dǎo)學(xué)生借助圖表等凸顯信息之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生形成解題思路.

例7將自然數(shù)按以下規(guī)律排列：

表中數(shù)2在第二行第一列，與有序數(shù)對(duì)（2，1）對(duì)應(yīng)，數(shù)5與（1，3）對(duì)應(yīng)，數(shù)14與（3，4）對(duì)應(yīng)，根據(jù)這一規(guī)律，數(shù)2015對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)為_______.

這是一道關(guān)于自然數(shù)排列的閱讀理解題，根據(jù)文2的調(diào)查，建議首先留出學(xué)生自主閱讀的時(shí)間，然后老師選擇性地解讀題目.本題對(duì)于題目信息的解讀主要在于數(shù)字排列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，因此，教師可以首先提出問題：“按照以下規(guī)律，到底是什么規(guī)律呢，你發(fā)現(xiàn)了嗎”“這是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的排列問題.不妨按照1、2、3、4、5、6…的順序描畫一下，相信你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了相應(yīng)的排列規(guī)律”“對(duì)，排列的規(guī)律是這樣的（在圖上用筆畫出排列的順序）”.至此已經(jīng)完成了對(duì)題意的理解.

下面自然進(jìn)入計(jì)劃擬定階段.“有同學(xué)說，知道排列的方法了，那就按照順序一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)到2015唄！相信你不會(huì)同意這位同學(xué)的做法的.看來還得進(jìn)一步研究一些關(guān)鍵位置上的數(shù)字的特點(diǎn)”“哪些位置的點(diǎn)較為特殊呢？這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)又有什么規(guī)律呢”“具體畫一畫，不難發(fā)現(xiàn)第一排或者第一列的點(diǎn)很重要，確定了這些點(diǎn)就可以很自然地往縱深發(fā)展了.那么，這些點(diǎn)有什么規(guī)律呢”“相信聰明的你，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律了.第一列的第一行是12，第3行是32，依次類推，第一列奇數(shù)行是這個(gè)奇數(shù)的平方；第一行的第2列是22，第4列是42，以此類推，第一排偶數(shù)列是這個(gè)偶數(shù)的平方.下面，我們可以先研究2015靠近哪個(gè)平方數(shù)，然后從這個(gè)特殊位置入手推算出2015相應(yīng)的位置”“不難算出，452=2025，2015的位置是（45，1），2015應(yīng)在這個(gè)點(diǎn)的右邊，相差10個(gè)位置，對(duì)應(yīng)的位置是（45，11）.”

這是一道代數(shù)規(guī)律探究題，其“題眼”是關(guān)鍵位置上數(shù)字的規(guī)律，如何尋找到這樣的“題眼”呢？實(shí)際上也沒有特殊的技巧，還是讓學(xué)生更好地感受題意，本題就是數(shù)字的排列規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)按序排數(shù)的活動(dòng)，通過活動(dòng)學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)一些拐彎的點(diǎn)，這就是本題的特殊點(diǎn)，下面自然聚焦于這些點(diǎn)的規(guī)律探究了.

本文以題目為例，嘗試得到不同類型問題思路探析的一般思路，希望對(duì)一線教師的微課設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義.當(dāng)然，即使是同一類題目，具體到各個(gè)題目，還有很多個(gè)性差異，因此，希望得到一個(gè)統(tǒng)一的思路分析方法，可能是枉然的，還需要具體問題具體分析.

1.［美］波利亞，著.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002.

2.袁虹，章飛，王羅成.微視頻中題目呈現(xiàn)方式的調(diào)查研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（6）.Z

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究課題——MOOCs背景下初中數(shù)學(xué)微課程設(shè)計(jì)與案例研究（課題編號(hào)：14YJA880099）.