☉天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學　劉家良

尋求不同切入點，提升學生思維品質(zhì)——一道中考壓軸題解析有感

☉天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學劉家良

（Ⅰ）如圖1，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標；

（Ⅱ）如圖2，當點A′落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S；

圖1

圖2

說明：2015年天津市中考數(shù)學試卷共25道題，由易到難的比為7:2:1.此題為第24題，第（Ⅰ）問屬“7”的范疇，第（Ⅱ）問應在“2”內(nèi)，第（Ⅲ）問應在“1”內(nèi)，是全卷中的壓軸題之一.

一、試題分析

這是一道以軸對稱變換為“背景”，以軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、面積運算為考點，以轉化、建模、分類、歸納為思想的中考試題.其中第（Ⅰ）問根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，尋找到等邊或等角，借助勾股定理列出方程或通過三角函數(shù)式變形的途徑求值.此問起點低，側重基礎知識的考查；第（Ⅱ）問求重疊圖形的面積.因為四邊形MNBC是一個不規(guī)則的四邊形，無法直接求得面積，所以求面積時，可結合與其相關圖形之間的聯(lián)系將其轉化為若干個可求三角形面積的和、差運算，或連接對角線BN將其化為兩個可求三角形面積之和，這兩種思維方式切入的路徑雖然有別，但都融入了一個化未知為已知的轉化思想.用含字母m的式子表示字母S，涉及代數(shù)式的布列及其運算，體現(xiàn)了建模思想；第（Ⅲ）問求m的值，可歸結為由函數(shù)值求自變量的值，實則是解方程，但要注意函數(shù)式中的自變量的取值范圍.求出m值后需驗證該值是否在函數(shù)自變量m的取值范圍內(nèi).缺乏解后驗證是絕大多數(shù)學生此問失分的主要原因，故求函數(shù)解析式的同時應注意到自變量的取值范圍.

二、試題解答

（Ⅱ）方法1：由局部到整體聯(lián)想到三角形面積的和、差化法.

因為∠A=∠A′=30°，所以∠CMO=∠A+∠A′=60°.

方法2：由大化小聯(lián)想到圖形面積的分割法.

圖3

三、解析之感——在尋求不同切入點中優(yōu)化學生思維品質(zhì)

經(jīng)一番拼搏完成一題后自然是高興的，高興之余還要靜下心來及時跟進，想一想：此問是否為特殊情形，圖形中還蘊藏著哪些有價值的信息而沒有被發(fā)現(xiàn)和揭示出來，對接下來一問的解題思路有無鋪墊和啟發(fā)的作用，還有無其他情況和繼續(xù)拓展的空間；除此方法之外，還有無其他的方法，若有其他方法，這些方法之間在數(shù)學思想的應用上有無共同“語言”.案例中的每一問都給出了兩種方法，體驗到思考問題的多視角；解題后的驗證是一種思維的反思，能彌補因一時不周而造成的缺陷，提高解題的準確性，所以解題后驗證是解題成功的一個重要環(huán)節(jié).H